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專題7 選考模塊
一、極坐標系
1.直角坐標與極坐標的互化公式是什么?
把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)、(ρ,θ),則x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=yx(x≠0)(ρ>0,θ∈[0,2π)).
2.常見的極坐標方程有哪些?
(1)直線的極坐標方程:若直線過點M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的方程為ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
(2)幾個特殊位置的直線的極坐標方程:
①直線過極點:θ=α;
②直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸:ρcosθ=a;
③直線過點Mb,π2(b>0)且平行于極軸:ρsinθ=b.
(3)圓的極坐標方程:
①圓心位于極點,半徑為r:ρ=r;
②圓心位于點M(r,0),半徑為r:ρ=2rcos θ;
③圓心位于點Mr,π2,半徑為r:ρ=2rsin θ.
二、參數(shù)方程
1.圓、橢圓的參數(shù)方程是什么?
(1)圓心在點M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為x=x0+rcosα,y=y0+rsinα(α為參數(shù),0≤α≤2π).
(2)橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosα,y=bsinα(α為參數(shù),0≤α≤2π).
2.將參數(shù)方程化為普通方程有哪些方法?要注意什么?
將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,一般需要對參數(shù)方程進行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.
3.直線的參數(shù)方程是什么?你能說出參數(shù)t的幾何意義嗎?
經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任意一點,則t表示有向線段P0P的數(shù)量.
三、絕對值不等式
1.解含有絕對值的不等式有哪些方法?
含有絕對值的不等式的解法:
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a;
(2)|f(x)|
0)?-ab?a-b>0;a0,即ρ2=3+6,
所以AB=ρ2-ρ1=3+6-1.
(二)參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.
3.(2018全國Ⅲ卷T22改編)已知曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),在同一平面直角坐標系中,將曲線C經(jīng)過伸縮變換x=23x,y=y后得到曲線C,過點(0,1)且傾斜角為α的直線l與C交于A,B兩點.
(1)若α=2π3,求弦長|AB|;
(2)求線段的AB的中點P的軌跡的參數(shù)方程.
解析? (1)將x=3cosθ,y=2sinθ代入x=23x,y=y,得C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)).
所以曲線C的普通方程為x2+y2=4.
由已知得直線l的方程為y=-3x+1,圓心(0,0)到直線l的距離d=12,
所以弦長|AB|=222-122=15.
(2)因為點(0,1)在圓內(nèi),所以l與圓恒相交,α∈[0,π).
直線l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=1+tsinα(t為參數(shù)).
把l的參數(shù)方程代入x2+y2=4得t2+2tsin α-3=0.
設(shè)點A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,于是tA+tB=-2sin α,tP=-sin α.
又點P的坐標(x,y)滿足x=tPcosα,y=1+tPsinα,
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=-12sin2α,y=12+12cos2α(α為參數(shù),α∈[0,π)).
4.(2017全國Ⅰ卷T22改編)在平面直角坐標系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線l:x=2+tcosα,y=3+tsinα(t為參數(shù))與曲線C:x=2cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A,B.
(1)若α=π3,求線段AB的中點M的坐標;
(2)若|PA||PB|=|OP|2,其中P(2,3),求直線l的斜率.
解析? (1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x24+y2=1.
當α=π3時,設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為t0,
則直線l的方程為x=2+12t,y=3+32t(t為參數(shù)),代入曲線C的普通方程x24+y2=1,得13t2+56t+48=0.
設(shè)直線l上的點A,B對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,
則t0=t1+t22=-2813,代入直線l的參數(shù)方程得點M的坐標為1213,-313.
(2)將x=2+tcosα,y=3+tsinα代入曲線C的普通方程x24+y2=1,
得(cos2α+4sin2α)t2+(83sin α+4cos α)t+12=0.
因為|PA||PB|=|t1t2|=12cos2α+4sin2α,又|OP|2=7,所以12cos2α+4sin2α=7,
化簡得sin2α=521,所以tan2α=516,解得tan α=54或tan α=-54.
由于Δ=(83sin α+4cos α)2-48(cos2α+4sin2α)>0,即cos α(23sin α-cos α)>0,則tan α>36.
綜上,tan α=54,所以直線l的斜率為54.
(三)極坐標與參數(shù)方程的綜合也是高考命題的重點之一,以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.
5.(2017全國Ⅰ卷T11改編)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=1+cosα,y=sinα(α為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為x=cosβ,y=1+sinβ(β為參數(shù)).
(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標方程.
(2)以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l1:θ=απ6<α<π2,將射線l1按順時針方向旋轉(zhuǎn)π6得到射線l2:θ=α-π6,且射線l1與曲線C1交于O,P兩點,射線l2與曲線C2交于O,Q兩點,求|OP||OQ|的最大值.
解析? (1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為(x-1)2+y2=1,所以C1的極坐標方程為ρ=2cos θ.
將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2+(y-1)2=1,所以C2的極坐標方程為ρ=2sin θ.
(2)設(shè)點P的極坐標為(ρ1,α),即ρ1=2cos α,設(shè)點Q的極坐標為ρ2,α-π6,即ρ2=2sinα-π6,
則|OP||OQ|=|ρ1ρ2|=2cos α2sinα-π6
=4cos α32sinα-12cosα
=23sin αcos α-2cos2α
=3sin 2α-cos 2α-1
=2sin2α-π6-1.
因為π6<α<π2,所以π6<2α-π6<5π6,
當2α-π6=π2,即α=π3時,|OP||OQ|取最大值,最大值為1.
6.(2016全國Ⅱ卷T23改編)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=2,M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足OMOP=4.
(1)求點P的軌跡C2的直角坐標方程.
(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),其中0≤α<π,l與C2交于點A,OA=3,求直線l的斜率.
解析? (1)設(shè)點P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),點M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0),
由題意可知OP=ρ,OM=ρ1=2sinθ.
由OPOM=4得曲線C2的極坐標方程為ρ=2sin θρ>0,
∴點P的軌跡C2的直角坐標方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).
(2)(法一)由直線的參數(shù)方程可知,直線l過原點且傾斜角為α,則直線l的極坐標方程為θ=α,
聯(lián)立θ=α,ρ=2sinθ(ρ>0),
∴點A的極坐標為(2sin α,α).
∴OA=2sin α=3,得sinα=32,
解得α=π3或α=2π3,∴tan α=3或tan α=-3,
∴直線l的斜率為3或-3.
(法二)由題意OA=3≠2分析可知直線l的斜率一定存在,且由直線l的參數(shù)方程可得,直線l過原點.設(shè)直線l的普通方程為y=kx,
∴點(0,1)到l的距離d=11+k2=1-322,可得k=3,
∴直線l的斜率為3或-3.
二、不等式選講
(一)不等式選講主要有考查解絕對值不等式,求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍,難度不大,主要考查基本運算能力、推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.
1.(2018全國Ⅱ卷T23改編)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-a|.
(1)當a=2時,求不等式f(x)>5的解集;
(2)對任意實數(shù)x,都有f(x)≥3成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解析? (1)∵f(x)=|x+1|+|x-a|,
∴當a=2時,f(x)=|x+1|+|x-2|=-2x+1,x<-1,3,-1≤x≤2,2x-1,x>2.
又f(x)>5,∴x<-1,-2x+1>5或-1≤x≤2,3>5或x>2,2x-1>5,∴x<-1,x<-2或x∈?或x>2,x>3,∴x<-2或x>3,∴f(x)>5的解集為(-∞,-2)∪(3,+∞).
(2)∵f(x)=|x+1|+|x-a|≥|a+1|,當且僅當(x+1)(x-a)≤0時,等號成立,∴f(x)min=|a+1|.
又對任意實數(shù)x,都有f(x)≥3成立,
∴f(x)min≥3,∴|a+1|≥3,∴a+1≥3或a+1≤-3,∴a≥2或a≤-4.
故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-4]∪[2,+∞).
2.(2018全國Ⅲ卷T23改編)已知函數(shù)fx=2x-1+x-2.
(1)在給出的平面直角坐標系中作出函數(shù)fx的圖象,并寫出不等式f(x)≥3的解集;(不要求寫出解題過程)
(2)若不等式fx≥1m+1n(m,n>0)對任意的x∈R恒成立,求m+n的最小值.
解析? (1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
從圖中可知,不等式fx≥3的解集為(-∞,0]∪[2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)min=32,
所以f(x)≥1m+1n恒成立,即f(x)min≥1m+1n,所以1m+1n≤32,所以m+nmn≤32.
因為m,n>0,
所以m+n≤32mn≤32m+n22,當且僅當m=n時取等號.
所以m+n≥83,當且僅當m=n=43時,等號成立,故m+n的最小值為83.
(二)不等式選講還有考查不等式證明,主要通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.常與基本不等式、恒成立問題結(jié)合考查.
3.(2017全國Ⅰ卷T5改編)設(shè)a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求證:
(1)a3+b3≥2;
(2)(a+b)(a5+b5)≥4.
解析? (1)∵a>0,b>0,a2b+ab2=2,
∴(a3+b3)-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,
∴a3+b3≥2.
(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,
∵a>0,b>0,a3+b3≥2,∴(a+b)(a5+b5)≥22=4.
4.(2016全國Ⅱ卷T24改編)已知函數(shù)f(x)=x-1-x+2.
(1)求不等式-22m-n.
解析? (1)依題意得f(x)=|x-1|-x+2=3,x≤-2,-2x-1,-20,
所以1-4mn2>4m-n2,即1-4mn>2|m-n|.
1.在已知極坐標方程求與曲線有關(guān)的交點、距離、線段長等幾何問題時,如果不能直接用極坐標解決,或用極坐標解決較麻煩,可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決.
2.過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù)),t的幾何意義是P0P的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為12(t1+t2).
3.絕對值不等式的三種常用解法:零點分段法、幾何法(利用絕對值幾何意義)、構(gòu)造函數(shù)法.零點分段法體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
4.利用絕對值三角不等式定理|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|求函數(shù)的最值,要注意其中等號成立的條件,利用基本不等式求最值也必須滿足等號成立的條件.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.
5.分析法是證明不等式的重要方法,當所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系,較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時,可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.
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