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2017-2018學(xué)年度下學(xué)期高二期末考試 數(shù)學(xué)試題（文科） 本試卷共23題，時(shí)間：120分鐘，共150分，共4頁 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 設(shè)，則（ ） A． B． C．0 D．1 2. 已知集合，，則 （ ） A． B． C． D． 3. 如果甲去旅游，那么乙、丙和丁將一起去．據(jù)此，下列結(jié)論正確的是（ ） A．如果甲沒去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人沒去． B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去． C．如果丙沒去旅游，那么甲和丁不會(huì)都去． D．如果丁沒去旅游，那么乙和丙不會(huì)都去． 4. 若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則 （ ） A． B．1 C．2 D．4 5.若，則 （ ） A． B． C． D． 6. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，該女子第3天所織布的尺數(shù)為（ ） A． B． C． D． 7. 鈍角三角形的面積是， ，則 ( ) A．5 B． C．2 D．1 8. 雙曲線：的漸近線方程為，則的離心率為（ ） A． B． C． D． 9. 某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)在主視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為( ) A． B． C． D．2 10.某數(shù)列滿足：第1項(xiàng)是0，第2項(xiàng)是1， 從第三項(xiàng)開始， 每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和．某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)求這個(gè)數(shù)列的前 10項(xiàng)和的程序框圖，那么在空白矩形框和判斷框內(nèi)應(yīng)分別填入 的語句是（ ） A．， B．， C．， D．， 11. 在正方體中，為棱的中點(diǎn)， 則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 12. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 已知向量，的夾角是，若，，則 14. 若滿足約束條件，設(shè)的最大值為，最小值為，則________. 15. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________． 16. 已知，則滿足的的取值范圍為______． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）設(shè)等差數(shù)列滿足，。 （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值。 18．（12分）從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm）， 結(jié)果如下： 甲品種：271　273　280　285　285 287　292　294　295　301　303　303　307 308　310　314　319　323　325　325 328　331　334　337　352 乙品種：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318 320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成兩品種的棉花的纖維長(zhǎng)度的莖葉圖. (2) 根據(jù)以上莖葉圖，對(duì)甲、乙兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論： ①　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ ②　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，， 底面ABCD． （1）證明：； （2）設(shè)PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高． 20．（12分）已知點(diǎn)分別為橢圓：的左右頂點(diǎn)，為上異于的一點(diǎn)，直線的斜率分別是． （1）求證：； （2）設(shè)為上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，， 求證：△面積是定值． 21．（12分）已知函數(shù)． （1）設(shè)，求函數(shù)的極值； （2）若，且當(dāng)時(shí)，恒成立，試確定的取值范圍． （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] （10分） 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程； （2）設(shè)為上任意兩點(diǎn)，且，求的最大值． 23．[選修4-5：不等式選講] （10分） 設(shè)． （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 2017-2018學(xué)年度下學(xué)期高二期末考試 數(shù)學(xué)（文科）參考答案 BDCCB ABCBD AC 13. 14. 6 15. 16. 17. 解：（1）由得 可解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為…………（6分） （2）由（1）知 因?yàn)? 所以當(dāng)n=5時(shí)，取得最大值. …………（12分） 18. 解：（1） …………（4分） （2）①乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度普遍大于甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度）． ②甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度更集中（穩(wěn)定）．甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度更大）． ③甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為307mm，乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為318mm． ④乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度基本上是對(duì)稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度除一個(gè)特殊值（352）外，也大致對(duì)稱，其分布較均勻． …………（12分）（以上答出其中任何兩條即可） 19. 解：（1）因?yàn)椋?由余弦定理得, 從而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD…………（6分） （2）如圖，作DEPB，垂足為E.已知PD底面ABCD，則PDBC.由（1）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD. 故BC平面PBD，BCDE.則DE平面PBC. 由題設(shè)知，PD=1，則BD=，PB=2， 根據(jù)DEPB=PDBD，得DE=，即棱錐D—PBC的高為…………（12分） 20. 證明：（1）設(shè)，則．因?yàn)?，所? 所以．…………（4分） （2）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)，． 由，，則， ，． 因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，，所以，? 到距離，所以△面積．……（10分） 當(dāng)垂直于軸時(shí)，，則由，得 ，即，代入橢圓方程解得， 所以△面積 綜上所述，△的面積為定值1 . 21. 解：（1）當(dāng)時(shí)，，…………（1分） 令，列表討論的變化情況： -1 （-1，3） 3 + 0 - 0 + 極大值6 極小值-26 ∴的極大值是； ………（4分） （2）， 的圖像是開口向上拋物線，關(guān)于對(duì)稱， 由，得， 當(dāng)時(shí)，在最大值是， 在時(shí)不能成立， 即當(dāng)不恒成立， …………（6分） 當(dāng)時(shí)，則上是增函數(shù)，從而上的 最小值是，最大值是， ……（8分） ∴，解得， ………（10分） 因此使恒成立的的取值范圍是……（12分） 22. 解：（1）曲線的普通方程是，代入，化簡(jiǎn)得的極坐標(biāo)方程是． …………（5分） （2）不妨設(shè)射線：，射線：，則，．所以 ． 當(dāng)，即，時(shí)，取最大值． …………（10分） 23. 解：（1）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …（2分） 當(dāng)x＜0時(shí)，由2－3x≤4，得－≤x＜0； 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1≤2－x≤2； 當(dāng)x＞1時(shí)，由3x－2≤4，得1＜x≤2． 綜上，不等式f(x)≤4的解集為[－，2]． …（5分） （2）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …（7分） 可見，f(x)在(－∞，a]單調(diào)遞減，在(a，＋∞)單調(diào)遞增． 當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取最小值a．所以，a取值范圍為[4，＋∞)． …（10分）