2018年秋高中數(shù)學 課時分層作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A版選修2-2.doc
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課時分層作業(yè)(八)生活中的優(yōu)化問題舉例(建議用時:40分鐘)基礎達標練一、選擇題1某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料場的長和寬應分別為(單位:米)()A32,16B30,15C40,20D36,18A要使材料最省,則要求新砌的墻壁的總長最短,設場地寬為x米,則長為米,因此新墻總長L2x(x0),則L2.令L0,得x16或x16(舍去)此時長為32(米),可使L最短2將8分為兩個非負數(shù)之和,使兩個非負數(shù)的立方和最小,則應分為()A2和6B4和4C3和5D以上都不對B設一個數(shù)為x,則另一個數(shù)為8x,則其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8),y48x192.令y0,即48x1920,解得x4.當0x4時,y0;當40.所以當x4時,y最小3要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20 cm,要使其體積最大,則高為() 【導學號:31062075】A cm B cmC cm D cmD設圓錐的高為x cm,則底面半徑為 cm.其體積為Vx(202x2)(0x20),V(4003x2)令V0,解得x1,x2(舍去)當0x時,V0;當x20時,V0.所以當x時,V取最大值4內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為()A和R BR和RCR和RD以上都不對B設矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x,則另一邊長為2,則l2x4(0xR),l2.令l0,解得x1R,x2R(舍去)當0xR時,l0;當RxR時,l0.所以當xR時,l取最大值,即周長最大的矩形的相鄰兩邊長分別為R, R5某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關系是R(x)則總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A100B150C200D300D由題意,得總成本函數(shù)為C(x)20 000100x,總利潤P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0,得x300,易知x300時,總利潤P(x)最大二、填空題6某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù):y117x2(x0),生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù):y22x3x2(x0),為使利潤最大,應生產(chǎn)_千臺. 【導學號:31062076】解析設利潤為y,則yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0),y6x236x6x(x6)令y0,解得x0或x6,經(jīng)檢驗知x6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點答案67電動自行車的耗電量y與速度x之間的關系為yx3x240x(x0),為使耗電量最小,則其速度應定為_解析由題設知yx239x40,令y0,解得x40或x1,故函數(shù)yx3x240x(x0)在40,)上遞增,在(0,40上遞減當x40時,y取得最小值由此得為使耗電量最小,則其速度應定為40.答案408用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么高為_時容器的容積最大解析設容器底面短邊長為x m,則另一邊長為(x0.5)m,高為14.84x4(x0.5)(3.22x)m.由3.22x0及x0,得0x1.6.設容器容積為y,則有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6),y6x24.4x1.6.由y0及0x1.6,解得x1.在定義域(0,1.6)內(nèi),只有x1使y0.由題意,若x過小(接近于0)或過大(接近于1.6),y的值都很小(接近于0)因此當x1時,y取最大值,且ymax22.21.61.8(m3),這時高為1.2 m.答案1.2 m三、解答題9一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少? 【導學號:31062077】解設速度為每小時v千米時,燃料費是每小時p元,那么由題設知pkv3,因為v10,p6,所以k0.006.于是有p0.006v3.又設船的速度為每小時v千米時,行駛1千米所需的總費用為q元,那么每小時所需的總費用是(0.006v396)元,而行駛1千米所用時間為小時,所以行駛1千米的總費用為q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000),令q0,解得v20.當v20時,q0;當v20時,q0,所以當v20時,q取得最小值即當速度為20千米/小時時,航行1千米所需的費用總和最少10某商店經(jīng)銷一種商品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務部門上交a元(a為常數(shù),2a5)的稅收設每件產(chǎn)品的售價為x元(35x41),根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例已知每件產(chǎn)品的日售價為40元時,日銷售量為10件(1)求該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關系式;(2)當每件產(chǎn)品的日售價為多少元時,該商品的日利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值解(1)設日銷售量為,則10,k10e40,則日售量為件則日利潤L(x)(x30a)10e40;答:該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價x元的函數(shù)關系式為L(x)10e40.(2)L(x)10e40.當2a4時,33a3135,當35x41時,L(x)0.當x35時,L(x)取最大值為10(5a)e5;當4a5時,35a3136,令L(x)0,得xa31,易知當xa31時,L(x)取最大值為10e9a.綜合上得L(x)max.答:當2a4時,當每件產(chǎn)品的日售價35元時,為L(x)取最大值為10(5a)e5;當4a5時,每件產(chǎn)品的日售價為a31元時,該商品的日利潤 L(x)最大,最大值為10e9a.能力提升練1如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3A設圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r2hl,h,Vr2hr22r3.則Vlr6r2,令V0,得r0或r,而r0,r是其唯一的極值點當r時,V取得最大值,最大值為3.2用長為90 cm,寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖142),當容器的體積最大時,該容器的高為()圖142A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC設容器的高為x cm,容器的體積為V(x)cm3,則V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24),因為V(x)12x2552x4 320,由12x2552x4 3200,得x10或x36(舍),因為當0x0,當10x24時,V(x)0,所以當x10時,V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)有唯一極大值,所以容器高x10 cm時,容器體積V(x)最大3海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比,已知某海輪的最大航速為30 n mile/h,當速度為10 n mile/h時,它的燃料費是每小時25元,其余費用(無論速度如何)都是每小時400元如果甲乙兩地相距800 n mile,則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低,它的航速應為_. 【導學號:31062078】解析由題意設燃料費y與航速v間滿足yav3(0v30),又25a103,a.設從甲地到乙地海輪的航速為v,費用為y,則yav340020v2.由y40v0,得v2030.當0v20時,y0;當20v0,當v20時,y最小答案20 n mile/h4如圖143,內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線上運動,C,D在x軸上運動,則此矩形的面積的最大值是_圖143解析設CDx,則點C的坐標為,點B的坐標為,矩形ABCD的面積Sf(x)xx,x(0,2)由f(x)x210,得x1(舍),x2,x時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,x時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,故當x時,f(x)取最大值.答案5如圖144所示,有甲、乙兩個工廠,甲廠位于一直線海岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在海的同側(cè),乙廠位于離海岸40 km的B處,乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊A,D之間合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元,則供水站C建在何處才能使水管費用最?。?【導學號:31062079】圖144解設C點距D點x km,則AC50x(km),所以BC(km)又設總的水管費用為y元,依題意,得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0,解得x30.在(0,50)上,y只有一個極小值點,根據(jù)問題的實際意義,函數(shù)在x30 km處取得最小值,此時AC50x20(km)故供水站建在A,D之間距甲廠20 km處,可使水管費用最省- 配套講稿:
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