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大題精做15 函數(shù)與導數(shù)：極值點不可求與構造 [2019廈門三中]已知函數(shù)，． （1）討論的極值； （2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）當時，無極值；當時，有極大值，無極小值； （2）． 【解析】（1）依題意， ①當時，，在上單調遞增，無極值； ②當時，， 當時，，在上單調遞增； 當時，，在上單調遞減， 所以，無極小值． 綜上可知，當時，無極值；當時，有極大值，無極小值． （2）原不等式可化為， 記，只需，可得． ①當時，，，所以，在上單調遞增，所以當時，，不合題意，舍去． ②當時，， （i）當時，因為，所以，所以， 所以在上單調遞減，故當時，，符合題意． （ii）當時，記， 所以，在上單調遞減． 又，， 所以存在唯一，使得． 當時，， 從而，即在上單調遞增， 所以當時，，不符合要求，舍去． 綜上可得，． 1．[2019黃山一模]已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）當時，求曲線在點處的切線方程； （2）證明：當時，不等式成立． 2．[2019榆林一模]已知函數(shù)． （1）設，求的最大值及相應的值； （2）對任意正數(shù)恒有，求的取值范圍． 3．[2019張家口期末]已知函數(shù)． （1）若，使得恒成立，求的取值范圍． （2）設，為函數(shù)圖象上不同的兩點，的中點為， 求證：． 1．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）由題意知，當時，，解得， 又，，即曲線在點處的切線方程為． （2）證明：當時，得， 要證明不等式成立，即證成立， 即證成立，即證成立， 令，，易知，， 由，知在上單調遞增，上單調遞減，， 所以成立，即原不等式成立． 2．【答案】（1）當時，取得最大值；（2）． 【解析】（1）∵，∴， ∴， 則， ∵的定義域為，∴， ①當時，；②當時，；③當時，， 因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 故當時，取得最大值． （2）由（1）可知，， 不等式可化為① 因為，所以（當且僅當取等號）， 設，則把①式可化為，即（對恒成立）， 令，此函數(shù)在上是增函數(shù)，所以的最小值為， 于是，即． 3．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）恒成立，即恒成立， 令，， 由于，則在單調遞減，在單調遞增， 故，解得． （2）證明：因為為的中點，則， 故， ，故要證，即證， 由于，即證． 不妨假設，只需證明，即． 設，構造函數(shù)，，則， 則有，從而．