2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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2.3 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 思考：數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1? [提示]不一定．如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)180，第一個(gè)值n0＝3. 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法．( ) (2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( ) (3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可．( ) [答案] (1) (2) (3)√ 2．下面四個(gè)判斷中，正確的是( ) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時(shí)，式子的值為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時(shí)，式子的值為1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時(shí)，式子的值為1＋＋ D．設(shè)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ C [A中，n＝1時(shí)，式子＝1＋k； B中，n＝1時(shí)，式子＝1； C中，n＝1時(shí)，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正確的是C.] 3．如果命題p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立，則用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，先驗(yàn)證n＝________成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062162】 [答案] 2 4．已知Sn＝＋＋＋…＋，則S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________. [解析] 分別將1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，觀察猜想得Sn＝. [答案] [合 作 探 究攻 重 難] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062163】 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． [解析] (1)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，則 f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)． [答案] 2(2k＋1) (2)證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，＝成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(n∈N*)時(shí)等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＝＋ ＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由①②可得對(duì)于任意的n∈N*等式都成立． [規(guī)律方法] 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)： (1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況； (2)弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)； (3)證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求證：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)． [證明]?、佼?dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝， 右邊＝，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 綜上所述，對(duì)于任何n∈N*，等式都成立. 歸納—猜想—證明 已知數(shù)列，，，…，，…，計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062164】 [解] S1＝ ＝ ； S2＝ ＋ ＝ ； S3＝ ＋ ＝ ； S4＝ ＋ ＝ . 可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n＋1. 于是可以猜想Sn＝ . 下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝S1＝ ， 右邊＝ ＝ ＝ ， 猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)猜想成立，即 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立． [規(guī)律方法] (1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié) (2)“歸納—猜想—證明”的主要題型 ①已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和． ②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在． ③給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題． [跟蹤訓(xùn)練] 2．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想an，并證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062165】 [解] 由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2 2－a2，得a2＝ ； 由a1＋a2＋a3＝2 3－a3，得a3＝ ； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2 4－a4，得a4＝ . 猜想an＝ . 下面證明猜想正確： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想成立， 則有ak＝ ， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝＝k＋1－ (2k－ )＝ ， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝ 對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [探究問題] 1．你能指出下列三組數(shù)的大小關(guān)系嗎？ (1)n，，； (2)，，； (3)＋，. 提示：(1)下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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