2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.2 綜合法和分析法導學案 新人教B版選修4-5.docx
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1.5.2綜合法和分析法1.理解綜合法和分析法的概念.2.會用綜合法、分析法證明較為簡單的不等式.自學導引1. 綜合法:就是要從命題的已知條件出發(fā),利用公理、已知的定義及定理,逐步推導,從而最后導出要證明的命題.2.分析法:從需要證明的命題出發(fā),分析使這個命題成立的充分條件,利用已知的一些定理,逐步探索,最后達到命題所給出的條件(或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實).基礎(chǔ)自測1.設(shè)a,bR,A,B,則A、B的大小關(guān)系是()A.aB B.ABC.AB D.A,只須證ab2ab,即20,a,bR,20,AB,選C.答案C2.若1x10,下面不等式中正確的是()A.(lg x)2lg x2lg(lg x)B.lg x2(lg x)2lg(lg x)C.(lg x)2lg(lg x)lg x2D.lg(lg x)(lg x)2lg x2解析1x10,0lg x1,lg(lg x)x,lg x2lg x(lg x)2,lg x2(lg x)2lg(lg x),選D.答案D3.已知a,b,m都是正數(shù),在空白處填上適當?shù)牟坏忍?(1)當a_b時,(2)當a_b時,.解析當ab時,才有,當a8.證明x、y、z是互不相等的正數(shù),且xyz1.1,11又0x1.同理1,18.知識點2分析法證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)lg,x,若x1,x2且x1x2,求證:f(x1)f(x2)f.證明要證明原不等式,只需證明.事實上:0x1,x20,.即有l(wèi)glg,故f(x1)f(x2)f.反思感悟:在分析法中,每次所尋求的應(yīng)是使上一個結(jié)論成立的充分條件或充要條件,若只找到結(jié)論成立的必要條件則不一定能得到相應(yīng)的結(jié)論.從而造成證明上的邏輯錯誤.2.若a、bR,且ab1,求證: 2.證明 2ab12 4 1ab1ab.ab成立.原不等式成立.知識點3綜合利用綜合法與分析法證明不等式【例3】 在某兩個正數(shù)x,y之間,若插入一個數(shù)a,使x,a,y成等差數(shù)列;若插入兩個數(shù)b,c,使x,b,c,y成等比數(shù)列,求證:(a1)2(b1)(c1).證明由條件,得消去x,y,即得2a,且有a0,b0,c0.要證(a1)2(b1)(c1)只需證a1要證2abc,而2a,只需證bc即b3c3bc(bc),b2c2bcbc(bc)20,上式顯然成立(a1)2(b1)(c1)得證.反思感悟:綜合法和分析法是思路完全相反的兩種方法.分析法易于探求解題思路.綜合法易于表述,在證明較復雜的不等式時,有時把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.3.已知a、b是不等的正數(shù),且a3b3a2b2.求證:1aba2abb2ab,且ab0,兩邊同除以ab,得ab1.欲證ab,即證3(ab)0,可證3(ab)24(ab),而aba2abb2,即3(a22abb2)0.(ab)20,ab,則不等式成立,故ab成立.1ab.課堂小結(jié)用綜合法和分析法證明時應(yīng)注意證明的思路和方向上的差別,一個是“執(zhí)因索果”,而另一個則是“執(zhí)果求因”.在實際解題中,常用分析法思維,用綜合法表達.對于比較復雜的問題,常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.隨堂演練1.若a,b,cR,且abbcac1,則下列不等式成立的是() A.a2b2c22 B.(abc)23C.2 D.abc(abc)解析(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3(abacbc)3,故應(yīng)選B.答案B2.已知0a10 B.logablogba20C.logablogba20 D.logablogba20解析0a1b,則logab0,logba0,且logab,logablogba2,logablogba2220,選D.答案D3.求證:2.證明2()2(2)21021042210,y0,證明:(1xy2)(1x2y)9xy.證明因為x0,y0,所以1xy230,1x2y30,故(1xy2)(1x2y)339xy.基礎(chǔ)達標1.a0,b0,下列不等式中不成立的是()A.2 B.a2b22abC.ab D.2解析由(0,)且(0,),得2 ,所以A成立,B顯然成立,不等式C可變形為a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案D2.設(shè)a、b、x、y均為正數(shù),且a、b為常數(shù),x、y為變量,若xy1,則的最大值為()A. B.C. D.解析,故選B.答案B3.已知xyz,且xyz0,下列不等式中成立的是()A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y|解析由已知3xxyz0,3z0,zxz.答案C4.已知x0,y0,M,N,則M、N的大小關(guān)系是_.解析NNM0,NM.答案NM5.設(shè)a、b、cR,且a、b、c不全相等,則不等式a3b3c33abc成立的一個充要條件是_.解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20a3b3c33abcabc0.答案abc06.已知|a|1,|b|1,求證:1.證明要證1,只需證|ab|1ab|,也只需證a22abb20,也就是(1a2)(1b2)0,|a|1,|b|1,最后一個不等式顯然成立.因此原不等式成立.綜合提高7.如果0mba,那么()A.coscoscosB.coscoscosC.coscoscosD.coscoscos解析用分析法易證(或用特值法),01.由ycos x在上是減函數(shù)可得.答案A8.設(shè)0ab,ab1,下列不等式正確的是()A.b2aba2b2B.2aba2b2bC.2abba2b2D.2aba2b2bc,則與的大小關(guān)系為_.解析ab0,bc0,.答案10.設(shè)abc,且恒成立,則m的取值范圍是_.解析abc,ab0,bc0,ac0.又(ac)(ab)(bc)224,m(,4.答案(,411.已知實數(shù)a,b,c,d,且a2b21,c2d21,求證:|acbd|1.證明方法一:(分析法)要證|acbd|1,只需證明(acbd)21.即證a2c22abcdb2d21.a2b21,c2d21.上式即證a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2),即證(adbc)20.a,b,c,d都是實數(shù),(adbc)20成立.|acbd|1.方法二:(綜合法)a,b,c,d都是實數(shù),且a2b21,c2d21,|acbd|ac|bd|1.方法三:(三角換元法)a2b21,c2d21,可令asin ,bcos ,csin ,dcos ,|acbd|sin sin cos cos |cos()|1.12.設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且abcd.證明:(1)若abcd,則;(2)是|ab|cd|的充要條件.證明(1)因為()2ab2,()2cd2,由題設(shè)abcd,abcd,得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|,則(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因為abcd,所以abcd.由(1),得.若,則()2()2,即ab2cd2.因為abcd,所以abcd,于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上,是|ab|cd|的充要條件.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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