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課時作業(yè)15 綜合法和分析法
|基礎鞏固|(25分鐘，60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．關于綜合法和分析法的說法錯誤的是( )
A．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法
B．綜合法又叫順推證法或由因導果法
C．綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法
D．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法
解析：由綜合法和分析法的定義及推理過程可知A，B，D正確，C錯誤．
答案：C
2．設a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，則a與b的大小關系為( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＝b
C．a(chǎn)
0，b>0且a＋b＝2，則( )
A．a(chǎn)≤ B．a(chǎn)b≥
C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3
解析：因為a>0，b>0，
所以a＋b≥2，所以ab≤1，
a2＋b2≥(a＋b)2＝2.
答案：C
5．分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明：設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0 B．a(chǎn)－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：要證 0.
只需證(2a＋b)(a－b)>0，
只需證(a－c)(a－b)>0.
故索的因應為C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共15分)
6.－________－1.(填“>”或“<”)
解析：因為－和－1都是正數(shù)．
要比較－與－1的大?。?
只需判定與1的大小即可．
而＝
＝<1，
所以－<－1.
答案：<
7．在平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O，滿足＋＝＋，則四邊形的形狀為________．
解析：由已知＋＝＋得
－＝－，
即＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形．
答案：平行四邊形
8．已知等差數(shù)列{an}，Sn表示前n項和，a3＋a9>0，S9<0，則S1，S2，S3，…中最小的是________．
解析：由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以
a3＋a9＝2a6>0.
S9＝＝9a5<0.
所以S5最?。?
答案：S5
三、解答題(每小題10分，共20分)
9．已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
證明：因為b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc，
又因為c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤.
證明：a⊥b?ab＝0，要證≤，
只需證|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2ab＋b2)，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即證(|a|－|b|)2≥0，
上式顯然成立，
故原不等式得證．
|能力提升|(20分鐘，40分)
11．設00，所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>2x.所以1＋x>.
即b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝＝>0，所以c>b即c>b>a.
答案：A
12．如果a＋b>a＋b，則實數(shù)a，b應滿足的條件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
13．已知a>0，b>0，求證：＋≥ ＋.
證明：方法一：(綜合法)因為a>0，b>0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥ ＋.
方法二：(分析法)要證＋≥＋，只需證a＋b≥a＋b，即證(a－b)(－)≥0，因為a>0，b>0，所以a－b與－符號相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
14．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊分別為a，b，c.求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
證明：法一：要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即證＋＝，
即證＋＝3，
也即證＋＝1.
只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需證c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴B＝60.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60，
即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，
此式即分析中欲證之等式，即原式得證．
法二：∵△ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴B＝60.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60，
得c2＋a2＝ac＋b2，
兩邊同時加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
兩邊同時除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1，
∴＋＝3，
∴＋＝，
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
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