高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理學(xué)案蘇教版選修2 .doc
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2.1.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例,能分析合情推理的含義,能利用歸納推理和類比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理2會(huì)分析歸納推理與類比推理的聯(lián)系與區(qū)別,體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.重點(diǎn):理解歸納推理和類比推理的含義,并能利用歸納推理和類比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理難點(diǎn):1能運(yùn)用合情推理進(jìn)行簡(jiǎn)單推理2認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.1推理從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程稱為_任何推理都包含_和_兩個(gè)部分,_是推理所依據(jù)的命題,它告訴我們已知的知識(shí)是什么;_是根據(jù)_推得的命題,它告訴我們推出的知識(shí)是什么2歸納推理(1)從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為_其思維過程大致為_.(2)歸納推理的特點(diǎn)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所_由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需要經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)因此,它不能作為_的工具歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理通過歸納法得到的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們_預(yù)習(xí)交流1做一做:由三角形的內(nèi)角和是180,凸四邊形的內(nèi)角和是3602180,凸五邊形的內(nèi)角和是5403180,歸納出結(jié)論:_.3類比推理根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤襁@樣的推理通常稱為_,簡(jiǎn)稱_其思維過程大致為_.預(yù)習(xí)交流2做一做:對(duì)于平面幾何中的命題:夾在兩平行線之間的平行線段相等,在立體幾何中,類比上述命題,可得命題為_4合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果,以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程_和_都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理預(yù)習(xí)交流3合情推理具有哪些特點(diǎn)?在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注?請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧!我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)答案:預(yù)習(xí)導(dǎo)引1推理前提結(jié)論前提結(jié)論前提2(1)歸納推理實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論(2)包容的范圍數(shù)學(xué)證明發(fā)現(xiàn)問題和提出問題預(yù)習(xí)交流1:提示:凸n邊形的內(nèi)角和是(n2)1803類比推理類比法觀察、比較聯(lián)想、類推猜測(cè)新的結(jié)論預(yù)習(xí)交流2:提示:夾在兩平行平面之間的平行線段相等4歸納推理類比推理預(yù)習(xí)交流3:提示:合情推理有如下特點(diǎn):(1)在數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;(2)證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向;(3)一般來說,合情推理所獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜想,未必可靠一、歸納推理根據(jù)下列條件寫出數(shù)列的前4項(xiàng),并歸納猜想它們的通項(xiàng)公式:(1)a10,an1an(2n1)(nN*);(2)a11,an1an(nN*)思路分析:本題可利用歸納推理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式歸納推理具有由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能,在得出前幾項(xiàng)結(jié)果后,要注意統(tǒng)一形式,以便尋找規(guī)律,然后歸納猜想出結(jié)論1觀察下列各式:7249,73343,742 041,則72 011的末兩位數(shù)字為_2(2012陜西高考)觀察下列不等式1,1,1,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為_3(2012山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷,文14)若f(n)為n21的各位數(shù)字之和,如1421197,19717,則f(14)17,記f1(n)f(n),f2(n)f(f1(n),f3(n)f(f2(n),fk1(n)f(fk(n),kN*,則f2 012(8)_.歸納推理的一般步驟是:(1)通過觀察個(gè)別情況,發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性的命題(猜想)二、類比推理在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12,則它們的面積比為14,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12,則它們的體積比為_思路分析:兩個(gè)正三角形是相似的三角形,它們的面積之比是相似比的平方同理,兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體,體積之比為相似比的立方,它們的體積比為18.已知ABC的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,用SABC表示ABC的面積,則SABCr(abc)類比這一結(jié)論有:若三棱錐ABCD的內(nèi)切球半徑為R,則三棱錐體積VABCD_.(1)類比定義:本類型題解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性(2)類比性質(zhì)(定理):本類型題解決的關(guān)鍵是要理解已知性質(zhì)(定理)的內(nèi)涵及應(yīng)用環(huán)境、使用方法,通過研究已知性質(zhì)(定理),刻畫新性質(zhì)(定理)的“面貌”(3)類比方法(公式):本類型題解決的關(guān)鍵在于從解題方法(或公式)中,獲得使用方法(或公式)的啟示或推導(dǎo)方法(或公式)的手段,從而指導(dǎo)解決新問題(4)類比范例:對(duì)有些提供范例的推理題,解答時(shí)可根據(jù)所給的信息與所求問題的相似性,運(yùn)用類比的方法仿照范例,使問題得到解決1在ABC中,D為BC的中點(diǎn),則(),將命題類比到四面體中去得到一個(gè)類比命題:_.2若數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列,則數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:若數(shù)列cn(nN*)是等比數(shù)列,且cn0,則數(shù)列dn_(nN*)也是等比數(shù)列3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn)若f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)_,當(dāng)n4時(shí),f(n)_(用n表示)4(2012山東濟(jì)寧鄒城二中月考,文13)給出下列命題:命題1:點(diǎn)(1,1)是直線yx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn);命題2:點(diǎn)(2,4)是直線y2x與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn);命題3:點(diǎn)(3,9)是直線y3x與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn);請(qǐng)觀察上面命題,猜想出命題n(n為正整數(shù))為_5對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖表示的“分裂”記53的“分裂”中的最小數(shù)為a,而52的“分裂”中最大數(shù)為b,則ab_.6(2012湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3 443,94 249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,99;3位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121,191,202,999.則(1)4位回文數(shù)有_個(gè);(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個(gè)提示:用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記.知識(shí)精華技能要領(lǐng)答案:活動(dòng)與探究1:解:(1)當(dāng)n1時(shí),a10.由an1an(2n1)(nN*),得a2a111,a3a234,a4a359.由a102,a212,a322,a432,可歸納出an(n1)2.(2)當(dāng)n1時(shí),a11,由an1an(nN*)得a2a1,a3a2,a4a3.由a1,a2,a3,a4,可歸納猜想(nN*)遷移與應(yīng)用:143解析:因?yàn)?17,7249,73343,742 401,7516 807,76117 649,所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn),且周期T4.又2 01145023,所以72 011的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同,為43.21解析:由前幾個(gè)不等式可知1.所以第五個(gè)不等式為1.35解析:82165,6511,f(8)11,f1(8)f(8)11.又1121122,1225,f2(8)f(f1(8)f(11)5.又52126,268,f3(8)f(f2(8)f(5)8,同理有f4(8)11,f5(8)5,f6(8)8,fk(8)的值呈周期性出現(xiàn),周期為3.f2 012(8)f2(8)5.活動(dòng)與探究2:18遷移與應(yīng)用:R(SABCSACDSBCDSABD)解析:內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑R,三角形的周長(zhǎng):abc三棱錐各面的面積和:SABCSACDSBCDSABD,三角形面積公式系數(shù)三棱錐體積公式系數(shù).類比得三棱錐體積VABCDR(SABCSACDSBCDSABD)(證明時(shí),三角形的結(jié)論可用等面積法,三棱錐的結(jié)論可用等體積法)當(dāng)堂檢測(cè)1在四面體ABCD中,G是BCD的重心,則()解析:平面中線段的中點(diǎn)類比到空間四面體中面的重心,頂點(diǎn)與中點(diǎn)的連線類比頂點(diǎn)和重心的連線2解析:等差數(shù)列中,由a1ana2an1,得bna1(n1),仍為等差數(shù)列而等比數(shù)列中,由c1cnc2cn1,得dn,仍為等比數(shù)列35(n1)(n2)解析:如圖可得f(4)5.f(3)2,f(4)5f(3)3,f(5)9f(4)4,f(6)14f(5)5,每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)f(n)f(n1)n1,累加,得f(n)f(3)345(n1)234(n1)(n1)(n2)4點(diǎn)(n,n2)是直線ynx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)解析:由已知交點(diǎn)依次寫為(1,12),(2,22),(3,32),命題n中交點(diǎn)為(n,n2)直線中系數(shù)依次為1,2,3,命題n中直線的系數(shù)為n.雙曲線中系數(shù)依次為13,23,33,命題n中雙曲線系數(shù)為n3,命題n為:點(diǎn)(n,n2)是直線ynx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)530解析:22的“分裂”中有連續(xù)2個(gè)從1開始的奇數(shù),32的“分裂”中有連續(xù)3個(gè)從1開始的奇數(shù),42的“分裂”中有連續(xù)4個(gè)從1開始的奇數(shù),52的“分裂”中有連續(xù)5個(gè)從1開始的奇數(shù),即,b9.又23,33,43的“分裂”依次是從3開始的連續(xù)奇數(shù),53的“分裂”的第一個(gè)數(shù)為21,即a21.ab30.6(1)90(2)910n解析:(1)2位回文數(shù)均是不為0的自然數(shù),故有9個(gè);而對(duì)于3位回文數(shù),首、末均相同且不為0,故有9種,而對(duì)于中間一數(shù)可含有0,故有10種,因此3位回文數(shù)有90種;對(duì)于4位回文數(shù),首、末均相同且不為0,故有9種,對(duì)于中間兩數(shù)則可含有0,故有10種,因此也有90種;(2)經(jīng)歸納可得2n1位回文數(shù)有910n個(gè)- 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