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第五章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 5 1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 一 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作 加法 乘法 延遲 為了表示簡單 通常用信號流圖來表示其運算結(jié)構(gòu) 對于加法 乘法及延遲這三種基本運算 return 只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點或源點 只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點或阱點 既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點叫做混合節(jié)點 通路是指從源點到阱點之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路 通路的增益是該通路上各支路增益的乘積 回路是指從一個節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向到達同一個節(jié)點的閉合通路 它象征著系統(tǒng)中的反饋回路 組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益 梅遜 Mason 公式 式中Tk為從輸入節(jié)點 源點 到輸出節(jié)點 阱點 的第k條前向通路增益 為流圖的特征式 k是不接觸第k條前向通路的特征式余因子 信號流圖的轉(zhuǎn)置定理 對于單個輸入 單個輸出的系統(tǒng) 通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向 并且將其輸入和輸出互換 得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù) 信號流圖轉(zhuǎn)置的作用 轉(zhuǎn)變運算結(jié)構(gòu) 驗證計算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否 運算結(jié)構(gòu)對濾波器的實現(xiàn)很重要 尤其對于一些定點運算的處理機 結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度 誤差 穩(wěn)定性 經(jīng)濟性以及運算速度等許多重要的性能 對于無限長單位沖激響應(yīng) IIR 數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器 它們在結(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點 因此我們在下面將對它們分別加以討論 二 IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點 存在反饋環(huán)路 遞歸型結(jié)構(gòu) 同一系統(tǒng)函數(shù) 有各種不同的結(jié)構(gòu)形式 其主要結(jié)構(gòu)有 1 直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 圖二IIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 上述結(jié)構(gòu)缺點 需要2N個延遲器 z 1 太多 系數(shù)ai bi對濾波器性能的控制不直接 對極 零點的控制難 一個ai bi的改變會影響系統(tǒng)的零點或極點分布 對字長變化敏感 對ai bi的準確度要求嚴格 易不穩(wěn)定 階數(shù)高時 上述影響更大 2 直接 型上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網(wǎng)絡(luò) H1 z 和H2 z 兩部分串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù) 由系統(tǒng)函數(shù)的不變性 系統(tǒng)是線性的 得 兩條延時鏈中對應(yīng)的延時單元內(nèi)容完全相同 可合并 得 直接II型優(yōu)缺點 優(yōu)點 延遲線減少一半 為N個 可節(jié)省寄存器或存儲單元 缺點 同直接型 通常在實際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng) 而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng) 一 二階 來實現(xiàn) 3 級聯(lián)型 串聯(lián) 一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零 極點表示 即把它的分子 分母都表達為因子形式由于系數(shù) 都是實數(shù) 極 零點為實根或共軛復(fù)根 所以有 實根 復(fù)根且將共軛因子合并為實系數(shù)二階因子 單實根因子看作二階因子的一個特例 則 為實系數(shù) 用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成濾波器 二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié) 可用正準型結(jié)構(gòu)實現(xiàn) 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點 優(yōu)點 簡化實現(xiàn) 用一個二階節(jié) 通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng) 極 零點可單獨控制 調(diào)整 調(diào)整 可單獨調(diào)整第對零點 調(diào)整 可單獨調(diào)整第對極點 各二階節(jié)零 極點的搭配可互換位置 優(yōu)化組合以減小運算誤差 可流水線操作 缺點 二階節(jié)電平難控制 電平大易導(dǎo)致溢出 電平小則使信噪比減小 4 并聯(lián)型 將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和 可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器 將上式中的共軛復(fù)根成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式 上式表明 可用L個一階網(wǎng)絡(luò) M個二階網(wǎng)絡(luò)以及一個常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H z 結(jié)構(gòu)如下圖 特點 系統(tǒng)實現(xiàn)簡單 只需一個二階節(jié) 系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成 極點位置可單獨調(diào)整 運算速度快 可并行進行 各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響 總的誤差小 對字長要求低 缺點 不能直接調(diào)整零點 因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點 當需要準確的傳輸零點時 級聯(lián)型最合適 三 FIRDF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式 FIRDF特點 主要是非遞歸結(jié)構(gòu) 無反饋 但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分 它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式 基本的結(jié)構(gòu)形式有下幾種 1 直接型 卷積型 橫截型 卷積型 差分方程是信號的卷積形式 橫截型 差分方程是一條輸入x n 延時鏈的橫向結(jié)構(gòu) 直接由差分方程可畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 圖 直接型的轉(zhuǎn)置 圖 2 級聯(lián)型 串聯(lián)型 當需要控制濾波器的傳輸零點時 可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式 于是可用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成 每一個二階節(jié)控制一對零點 缺點 所需要的系數(shù)a比直接型的h n 多 乘法運算多于直接型 圖 3 線性相位型FIR的重要特點是可設(shè)計成具有嚴格線性相位的濾波器 此時滿足偶對稱或奇對稱條件 偶對稱時 N為偶數(shù) N為奇數(shù) 由上兩式 可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu) 如圖 優(yōu)點 線相相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)減為 N偶數(shù) N奇數(shù) 橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù) N次 圖N為偶數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu) 圖N為奇數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu) 4 頻率采樣型第二章討論了有限長序列可以進行頻域采樣 現(xiàn)是長為的序列 因此也可對系統(tǒng)函數(shù)H z 在單位圓上作等分采樣 這個采樣值也就是的離散付里葉變換值H k 根據(jù)上一章的討論 用頻率采樣表達z函數(shù)的內(nèi)插公式為 H z 由兩部分級聯(lián)而成 第一部分 部分 這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器 它在單位圓上有個等分的零點 其頻響為 梳狀濾波器頻響 第二部分 IIR部分 是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò) 此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點 該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為 是一個諧振頻率為的諧振器 這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點 從而使這個頻率點的響應(yīng)等于 兩部分級聯(lián)后 就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu) 圖頻率采樣型結(jié)構(gòu) 這一結(jié)構(gòu)的最大特點是它的系數(shù)H k 直接就是濾波器在處的響應(yīng) 因此 控制濾波器的響應(yīng)很直接 兩個主要的缺點 所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù) 計算復(fù)雜 所有諧振器的極點都在單位圓上 考慮到系數(shù)量化的影響 有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消 使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差 為了克服這兩個缺點 作兩點修正 1 將所有零點和極點移到半徑為的圓上 略小于1 同時頻率采樣點也移到該圓上 以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性 這時 2 共軛根合并 將一對復(fù)數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò) 這些共軛根在圓周上是對稱點即同樣 h m 因是實數(shù) 其DFT也是圓周共軛對稱的 因此可將第k及第N k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)其中 這個二端網(wǎng)絡(luò)是一個有限Q值的諧振器 諧振頻率為 除了以上共軛極點外 還有實數(shù)極點 分兩種情況 當為偶數(shù)時 有二個實數(shù)極點 對應(yīng)H 0 和H N 2 有二個一階網(wǎng)絡(luò) 所以有 當為奇數(shù)時 只有一個實數(shù)極點 對應(yīng)H 0 有一個一階網(wǎng)絡(luò) 所以有 改進后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如下圖 頻率采樣型特點 一 優(yōu)點 1 選頻性好 適于窄帶濾波 大部分H k 為0 只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò) 2 不同的FIR濾波器 若長度相同 可通過改變系數(shù)用同一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn) 3 復(fù)用性好 二 缺點 結(jié)構(gòu)復(fù)雜 采用的存貯器多 說明 頻率采樣型結(jié)構(gòu) 適合于任何FIR系統(tǒng)函數(shù) 頻率采樣法設(shè)計得到的系統(tǒng)函數(shù) 可以用頻率采樣型結(jié)構(gòu)實現(xiàn) 也可以用橫截型 級聯(lián)型或FFT實現(xiàn) 5 FFT快速算法