2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第4講 直接證明與間接證明講義 理(含解析).doc
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第4講直接證明與間接證明考綱解讀1.掌握直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法(重點)2.能夠用反證法證明問題,掌握反證法的步驟:反設(shè);歸謬;結(jié)論(難點)3.綜合法、反證法證明問題是高考中的一個熱點,主要在知識交匯處命題,如數(shù)列、不等式等考向預(yù)測 從近三年高考情況來看,本講是高考中的一個熱點. 預(yù)測2020年將會以不等式、立體幾何、數(shù)列等知識為載體,考查分析法、綜合法與反證法的靈活應(yīng)用,題型為解答題中的一問,試題難度中等.1直接證明續(xù)表2間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法(1)反證法的定義:假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立的證明方法(2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立1概念辨析(1)綜合法是直接證明,分析法是間接證明()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定,推出矛盾()(4)在解決問題時,常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)要證明2,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是()A綜合法 B分析法C類比法 D反證法答案B解析用分析法證明如下:要證明2,需證()2(2)2,即證10220,即證5,即證2125,顯然成立,故原結(jié)論成立用綜合法證明:因為()2(2)2102202(5)0,故f.證明要證f(x1)f(x2)f,即證明(tanx1tanx2)tan,只需證明tan,只需證明.由于x1,x2,故x1x2(0,)所以cosx1cosx20,sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0,故只需證明1cos(x1x2)2cosx1cosx2,即證1cosx1cosx2sinx1sinx22cosx1cosx2,即證cos(x1x2)f.條件探究舉例說明中“f(x)”變?yōu)椤癴(x)3x2x”,試證:對于任意的x1,x2R,均有f.1分析法證明問題的策略(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想(2)證明較復(fù)雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論,從而使原命題得證2分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵(1)適用范圍已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接證明過程中所需要用的知識不太明確、具體含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)(2)證題關(guān)鍵:保證分析過程的每一步都是可逆的 已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c.求證:.證明要證,即證3,也就是1,只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc),需證c2a2acb2,又ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B60,由余弦定理,得b2c2a22accos60,即b2c2a2ac,故c2a2acb2成立于是原等式成立題型 綜合法的應(yīng)用(2018黃岡模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且(3m)Sn2manm3(nN)其中m為常數(shù),且m3.(1)求證:an是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列an的公比qf(m),數(shù)列bn滿足b1a1,bnf(bn1)(nN,n2),求證:為等差數(shù)列證明(1)由(3m)Sn2manm3,得(3m)Sn12man1m3.兩式相減,得(3m)an12man,m3,an是等比數(shù)列(2)(3m)Sn2manm3,(3m)a12ma1m3,a11.b1a11,qf(m),當(dāng)nN且n2時,bnf(bn1)bnbn13bn3bn1.是首項為1,公差為的等差數(shù)列1利用綜合法證題的策略用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題;(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型2綜合法證明問題的常見類型及方法(1)與不等式有關(guān)的證明:充分利用函數(shù)、方程、不等式間的關(guān)系,同時注意函數(shù)單調(diào)性、最值的應(yīng)用,尤其注意導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用(2)與數(shù)列有關(guān)的證明:充分利用等差、等比數(shù)列的定義通項及前n項和公式證明見舉例說明. 設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:abc.證明因為a,b,c都是正數(shù),所以,都是正數(shù)所以2c,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立,2a,當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立,2b,當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立三式相加,得22(abc),即abc,當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立題型 反證法的應(yīng)用角度1證明否定性命題1(2018株州月考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式;(2)設(shè)q1,證明:數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項和為Sn,則當(dāng)q1時,Sna1a1a1na1;當(dāng)q1時,Sna1a1qa1q2a1qn1,qSna1qa1q2a1qn,得,(1q)Sna1a1qn,Sn,Sn(2)證明:假設(shè)an1是等比數(shù)列,則對任意的kN*,(ak11)2(ak1)(ak21),a2ak11akak2akak21,aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1,a10,2qkqk1qk1.q0,q22q10,q1,這與已知矛盾假設(shè)不成立,故an1不是等比數(shù)列角度2證明“至多”“至少”“唯一”命題2已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:對任意f(x)M,()方程f(x)x0有實數(shù)根;()函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1.(1)判斷函數(shù)f(x)是不是集合M中的元素,并說明理由;(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì):若f(x)的定義域為D,則對于任意m,nD,都存在x0(m,n),使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立試用這一性質(zhì)證明:方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根解(1)當(dāng)x0時,f(0)0,所以方程f(x)x0有實數(shù)根為0;因為f(x)cosx,所以f(x),滿足條件0f(x)1.由可得,函數(shù)f(x)是集合M中的元素(2)證明:假設(shè)方程f(x)x0存在兩個實數(shù)根,(),則f()0,f()0.不妨設(shè),根據(jù)題意存在c(,)滿足f()f()()f(c)因為f(),f(),且,所以f(c)1.與已知0f(x)1矛盾又f(x)x0有實數(shù)根,所以方程f(x)x0有且只有一個實數(shù)根1反證法證明問題的三步驟2反證法的適用范圍(1)否定性命題;(2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語的;(3)當(dāng)命題成立非常明顯,而要直接證明所用的理論太少,且不容易說明,而其逆否命題又是非常容易證明的;(4)要討論的情況很復(fù)雜,而反面情況很少.1已知xR,ax2,b2x,cx2x1,試證明a,b,c至少有一個不小于1.證明假設(shè)a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,則有abc3,而abc2x22x32233,兩者矛盾,所以假設(shè)不成立,故a,b,c至少有一個不小于1.2已知四棱錐SABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SBSD,SA1.(1)求證:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點F,使得BF平面SAD?若存在,確定F點的位置;若不存在,請說明理由解(1)證明:由已知得SA2AD2SD2,所以SAAD.同理SAAB.又ABADA,所以SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點F,使得BF平面SAD.因為BCAD,BC平面SAD.所以BC平面SAD.而BCBFB,所以平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾,所以假設(shè)不成立所以不存在這樣的點F,使得BF平面SAD.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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