(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第10練 三角恒等變換與解三角形精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第10練三角恒等變換與解三角形明晰考情1.命題角度:與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,考查解三角形及三角形的面積問(wèn)題.2.題目難度:一般在解答題的第一題位置,中檔難度.考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形:直接利用正弦定理或余弦定理,其實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,適用于求三角形的邊或角.(2)邊角互化法解三角形:合理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關(guān)系,適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問(wèn)題.1.(2018天津)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinAacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2,c3,求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsinAasinB.又由bsinAacos,得asinBacos,即sinBcos,所以tanB.又因?yàn)锽(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accosB7,故b.由bsinAacos,可得sinA.因?yàn)閍c,所以cosA.因此sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.2.(2018唐山模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBDDA2,ACB30.(1)求證:BC4cosCBD;(2)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí),判斷CD是否為定長(zhǎng),并說(shuō)明理由.(1)證明在ABC中,AB2,ACB30,由正弦定理可知,所以BC4sinBAC.又ABD60,ACB30,則BACCBD90,則sinBACcosCBD,所以BC4cosCBD.(2)解CD為定長(zhǎng),因?yàn)樵贐CD中,由(1)及余弦定理可知,CD2BC2BD22BCBDcosCBD,BC244BCcosCBDBC24BC24,所以CD2.3.在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且.(1)求角A的大?。?2)若,a,求b的值.解(1)由題意,可得3,即1,整理得b2c2a2bc,由余弦定理知,cosA,因?yàn)?A,所以A.(2)根據(jù)正弦定理,得cosA,解得tanB,所以sinB.由正弦定理得,b2.考點(diǎn)二三角形的面積問(wèn)題方法技巧三角形面積的求解策略(1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形,可通過(guò)作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關(guān)系,則運(yùn)用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角,再利用三角形面積公式求解.4.(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC1,a3,求ABC的周長(zhǎng).解(1)由題設(shè)得acsinB,即csinB.由正弦定理,得sinCsinB,故sinBsinC.(2)由題設(shè)及(1),得cosBcosCsinBsinC,即cos(BC).所以BC,故A.由題意得bcsinA,a3,所以bc8.由余弦定理,得b2c2bc9,即(bc)23bc9.由bc8,得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.5.(2018內(nèi)蒙古集寧一中月考)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足2asinCsinBasinAbsinBcsinC.(1)求角C的大??;(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2,求ABC的面積.解(1)由2asinCsinBasinAbsinBcsinC得,2absinCa2b2c2,sinC,sinCcosC,tanC,C(0,),C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ),得asinBbcosA,由正弦定理得sinAcosA,且A(0,),A.根據(jù)正弦定理可得,解得c,SABCacsinB2sin(AC)sin.6.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知abcosCcsinB.(1)求B的大??;(2)若b2,求ABC面積的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB,又A(BC),sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由和C(0,),得sinBcosB.又B(0,),B.(2)ABC的面積SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac,故ac,當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí),等號(hào)成立.因此ABC面積的最大值為1.考點(diǎn)三解三角形的綜合問(wèn)題方法技巧(1)題中的關(guān)系式可以先利用三角變換進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)和三角形有關(guān)的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題,要注意其中角的取值.(3)和平面幾何有關(guān)的問(wèn)題,不僅要利用三角函數(shù)和正弦、余弦定理,還要和三角形、平行四邊形的一些性質(zhì)結(jié)合起來(lái).7.(2018東北三校聯(lián)考)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b2a2ccosB.(1)求角C的大小;(2)求cosAsin的最大值,并求出取得最大值時(shí)角A,B的值.解(1)b2a2ccosB2a2c,整理得a2b2c2ab,即cosC,因?yàn)?C,所以C.(2)由(1)知C,則BA,于是cosAsincosAsin(A)cosAsinA2sin,由AB,得0A,A.故當(dāng)A時(shí),2sin取得最大值2,此時(shí)B.8.設(shè)函數(shù)f(x)sinxcosxsin2(xR),(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f0,c2,求ABC面積的最大值.解(1)函數(shù)f(x)sinxcosxsin2(xR),化簡(jiǎn)可得f(x)sin2xsin2x.令2k2x2k(kZ),則kxk(kZ),即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).令2k2x2k(kZ),則kxk(kZ),即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).(2)由f0,得sinC,又因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以C.由余弦定理得c2a2b22abcosC,將c2,C代入得4a2b2ab,由基本不等式得a2b24ab2ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立.即ab4(2),所以SABCabsinC4(2)2,即ABC面積的最大值為2.9.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且m(2ac,cosC),n(b,cosB),mn.(1)求角B的大??;(2)若b1,當(dāng)ABC的面積取得最大值時(shí),求ABC內(nèi)切圓的半徑.解(1)由已知可得(2ac)cosBbcosC,結(jié)合正弦定理可得(2sinAsinC)cosBsinBcosC,即2sinAcosBsin(BC),又sinAsin(BC)0,所以cosB,又0B,所以B.(2)由(1)得B,又b1,在ABC中,b2a2c22accosB,所以12a2c2ac,即13ac(ac)2.又(ac)24ac,所以13ac4ac,即ac1,當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)取等號(hào).從而SABCacsinBac,當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí),SABC取得最大值.設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑為r,由SABC(abc)r,得r.典例(12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m(ab,sinAsinC),向量n(c,sinAsinB),且mn.(1)求角B的大??;(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D,且AD,求a2c的最大值及此時(shí)ABC的面積.審題路線圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)因?yàn)閙n,所以(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0,1分由正弦定理,可得(ab)(ab)c(ac)0,即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知,cosB.因?yàn)锽(0,),所以B.5分(2)設(shè)BAD,則在BAD中,由B可知,.由正弦定理及AD,有2,所以BD2sin,AB2sincossin,所以a2BD4sin,cABcossin,8分從而a2c2cos6sin4sin.由可知,所以當(dāng),即時(shí),a2c取得最大值4.11分此時(shí)a2,c,所以SABCacsinB.12分構(gòu)建答題模板第一步找條件:分析尋找三角形中的邊角關(guān)系.第二步巧轉(zhuǎn)化:根據(jù)已知條件,選擇使用的定理或公式,確定轉(zhuǎn)化方向,實(shí)現(xiàn)邊角互化.第三步得結(jié)論:利用三角恒等變換進(jìn)行變形,得出結(jié)論.第四步再反思:審視轉(zhuǎn)化過(guò)程的等價(jià)性與合理性.1.(2018北京)在ABC中,a7,b8,cosB.(1)求A;(2)求AC邊上的高.解(1)在ABC中,因?yàn)閏osB,所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設(shè)知B,所以0A,所以A.(2)在ABC中,因?yàn)閟inCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,所以AC邊上的高為asinC7.2.(2018全國(guó))在平面四邊形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.(1)求cosADB;(2)若DC2,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得,即,所以sinADB.由題意知,ADB90,所以cosADB.(2)由題意及(1)知,cosBDCsinADB.在BCD中,由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225,所以BC5.3.已知函數(shù)f(x)sinxcosxsin2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,角A的平分線交BC于點(diǎn)D,f(A),ADBD2,求cosC.解(1)f(x)sinxcosxsin2xsin2xcos2xsin,令2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).(2)由f(A),得sin1,得到2A2k,kZ,解得Ak,kZ,由0A,得A,所以BAD,由正弦定理得,解得sinB,所以B或B(舍去).所以cosCcos(AB)sinsincoscos.4.在某自然保護(hù)區(qū),野生動(dòng)物保護(hù)人員歷經(jīng)數(shù)年追蹤,發(fā)現(xiàn)國(guó)家一級(jí)重點(diǎn)保護(hù)動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)為如圖所示的五邊形ABECD內(nèi),保護(hù)人員為了研究該動(dòng)物生存條件的合理性,需要分析貂熊的數(shù)量與活動(dòng)面積的關(guān)系,保護(hù)人員在活動(dòng)區(qū)內(nèi)的一條河的一岸通過(guò)測(cè)量獲得如下信息:A,B,C,D,E在同一平面內(nèi),且ACD90,ADC60,ACB15,BCE105,CEB45,DCCE1km.(1)求BC的長(zhǎng);(2)野生動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)ABECD的面積約為多少?(1.732,結(jié)果保留兩位小數(shù))解(1)在BCE中,CBE180BCECEB1801054530,由正弦定理,得BCsinCEBsin45(km).(2)依題意知,在RtACD中,ACDCtanADC1tan60(km),又sin105sin(6045),sin15sin(6045),所以活動(dòng)區(qū)ABECD的面積SSACDSABCSBCEACCDACCBsin15BCCEsin1051111.87 (km2),故野生動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)ABECD的面積約為1.87km2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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