2019年高考數學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題46 直線與圓、圓與圓的位置關系.doc
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專題46 直線與圓、圓與圓的位置關系【熱點聚焦與擴展】高考對圓的方程的考查,一般是以小題的形式出現,也有與向量、圓錐曲線等相結合的問題縱觀近幾年的高考試題,主要考查以下幾個方面:一是考查圓的方程,要求利用待定系數法求出圓的方程,并結合圓的幾何性質解決相關問題;二是考查直線與圓的位置關系,高考要求能熟練地解決圓的切線問題,弦長問題是高考熱點,其中利用由圓心距、半徑與半弦長構成的直角三角形,是求弦長問題的關鍵三是判斷圓與圓的位置關系,確定公共弦所在的直線方程.近幾年多與圓錐曲線問題綜合考查.本專題通過例題說明關于直線與圓、圓與圓的位置關系問題的解法與技巧.1、定義:在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓2、圓的標準方程:設圓心的坐標,半徑為,則圓的標準方程為:3、圓的一般方程:圓方程為(1)的系數相同(2)方程中無項(3)對于的取值要求:4、直線與圓位置關系的判定:相切,相交,相離,位置關系的判定有兩種方式:(1)幾何性質:通過判斷圓心到直線距離與半徑的大小得到直線與圓位置關系,設圓的半徑為,圓心到直線的距離為,則: 當時,直線與圓相交 當時,直線與圓相切 當時,直線與圓相離(2)代數性質:可通過判斷直線與圓的交點個數得到直線與圓位置關系,即聯立直線與圓的方程,再判斷解的個數.設直線:,圓:,則:消去可得關于的一元二次方程,考慮其判別式的符號 ,方程組有兩組解,所以直線與圓相交 ,方程組有一組解,所以直線與圓相切 ,方程組無解,所以直線與圓相離 5、直線與圓相交:弦長計算公式:6、直線與圓相切:(1)如何求得切線方程:主要依據兩條性質:一是切點與圓心的連線與切線垂直;二是圓心到切線的距離等于半徑(2)圓上點的切線結論: 圓上點處的切線方程為 圓上點處的切線方程為(3)過圓外一點的切線方程(兩條切線):可采取上例方法二的做法,先設出直線方程,再利用圓心到切線距離等于半徑求得斜率,從而得到方程.(要注意判斷斜率不存在的直線是否為切線)7、與圓相關的最值問題(1)已知圓及圓外一定點,設圓的半徑為則圓上點到點距離的最小值為,最大值為(即連結并延長,為與圓的交點,為延長線與圓的交點.(2)已知圓及圓內一定點,則過點的所有弦中最長的為直徑,最短的為與該直徑垂直的弦.(3)已知圓和圓外的一條直線,則圓上點到直線距離的最小值為,距離的最大值為(過圓心作的垂線,垂足為,與圓交于,其反向延長線交圓于 (4)已知圓和圓外的一條直線,則過直線上的點作圓的切線,切線長的最小值為.8、圓與圓的位置關系:外離,外切,相交,內切,內含(1)可通過圓心距離與半徑的關系判定:設圓的半徑為, 外離 外切 相交 內切 內含(2)可通過聯立圓的方程組,從而由方程組解的個數判定兩圓位置關系.但只能判斷交點的個數.例如方程組的解只有一組時,只能說明兩圓有一個公共點,但是外切還是內切無法直接判定【經典例題】例1.【2016高考山東】已知圓M:截直線所得線段的長度是,則圓M與圓N:的位置關系是( )(A)內切(B)相交(C)外切(D)相離【答案】B【解析】試題分析:由()得(),所以圓的圓心為,半徑為,因為圓截直線所得線段的長度是,所以,解得,圓的圓心為,半徑為,所以,因為,所以圓與圓相交,故選B例2.【2018屆湖北省華師一附中調研】已知圓C: ()及直線: ,當直線被C截得的弦長為時,則= ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意,得,解得,又因為,所以;故選C.例3.【2018屆黑龍江省海林市朝鮮中學高考綜合卷(一)】已知兩點, (),若曲線上存在點,使得,則正實數的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】B例4.已知直線上總存在點,使得過點作的圓: 的兩條切線互相垂直,則實數的取值范圍是( )A. 或 B. C. D. 或【答案】C【解析】如圖,設切點分別為A,B連接AC,BC,MC,由及知,四邊形MACB為正方形,故若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直,只需圓心到直線的距離,即,故選C例5.過點作圓的弦,其中最短的弦長為 .【答案】.點睛:數形結合思想的應用,是解析幾何的重要特征,解題過程中要通過分析題目的條件和結論,靈活的加以轉化.例6【2016高考新課標3】已知直線:與圓交于兩點,過分別做的垂線與軸交于兩點,若,則_.【答案】4【解析】因為,且圓的半徑為,所以圓心到直線的距離為,則由,解得,代入直線的方程,得,所以直線的傾斜角為,由平面幾何知識知在梯形中,例7已知圓,圓,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長 【答案】,.【解析】將兩圓方程相減得相交弦的方程為:.將配方得: ,圓心到公共弦的距離為.所以弦長為.例8. 求過點的圓的切線方程【答案】,.點睛:求過某點的圓的切線問題時,應首先確定點與圓的位置關系,再求直線方程若點在圓上(即為切點),則過該點的切線只有一條;若點在圓外,則過該點的切線有兩條,此時應注意斜率不存在的切線例9. 已知點及圓:.若直線過點且與圓心的距離為1,求直線的方程;設過點P的直線與圓交于、兩點,當時,求以線段為直徑的圓的方程;設直線與圓交于,兩點,是否存在實數,使得過點的直線垂直平分弦?若存在,求出實數的值;若不存在,請說明理由.【答案】或;不存在實數,使得過點的直線垂直平分弦.【解析】設直線的斜率為(存在),則方程為. 即又圓C的圓心為,半徑,由 , 解得.所以直線方程為, 即 . 當的斜率不存在時,的方程為,經驗證也滿足條件 由于,而弦心距, 所以.即,解得則實數的取值范圍是.設符合條件的實數存在,由于垂直平分弦,故圓心必在上所以的斜率,而,所以由于,故不存在實數,使得過點的直線垂直平分弦例10. 已知半徑為2,圓心在直線上的圓C.()當圓C經過點A(2,2)且與軸相切時,求圓C的方程;()已知E(1,1),F(1,-3),若圓C上存在點Q,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.【答案】();()【解析】試題分析:()因為原心在直線上故可設原心為,則可根據圓心和圓上的點的距離為半徑列出方程。又因為此圓與軸相切則,解方程組可得。()設,根據可得,即點在直線上。又因為點在圓上,所以直線與圓必有交點。所以圓心到直線的距離小于等于半徑。試題解析:解: ()圓心在直線上,可設圓的方程為, 其圓心坐標為(; 2分圓經過點A(2,2)且與軸相切,有解得,所以圓的橫坐標的取值范圍是【精選精練】1.已知條件:,條件:直線與圓相切,則是的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由,可得直線為.所以圓心(0,0)到該直線的距離等于半徑,所以直線與圓相切.所充分性成立.當直線與圓相切,可解得.所以必要性成立.綜上是的充要條件.2.已知圓與直線有兩個交點,則正實數的值可以為( )A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】圓化為標準方程即,由題意,圓心到直線的距離,結合選項,可得D正確,故選D.3.已知圓,當圓的面積最小時,直線與圓相切,則( )A B C D【答案】C【解析】4.若直線與圓相切,且為銳角,則這條直線的斜率是( )A B C D【答案】A【解析】由題意:,所以,因為且為銳角,所以,所以直線的斜率是,故選A5.已知圓與直線相切于第三象限,則的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知有圓心 到直線的距離為1,所以有 ,當 時,圓心為 在第一象限,這時切點在第一象限,不符合;當時, 圓心為 在第三象限,這時切點也在第三象限,符合,所以.選B.6.【2018屆安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校聯考】設直線與圓交于兩點,過分別作軸的垂線與軸交于兩點.若線段的長度為,則( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】D7.已知圓和兩點,若圓上存在點,使得,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知,點P在以原點(0,0)為圓心,以m為半徑的圓上,又因為點P在已知圓上,所以只要兩圓有交點即可,所以,故選B.8.已知點, , 在圓上運動,且.若點的坐標為,則的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意知AC是圓的直徑,所以O是AC中點,故,PO的長為5,所以,顯然當B在PO上時, 有最小值,當B在PO的延長線上時, 有最大值,故選C9.過定點的直線: 與圓: 相切于點,則_ _【答案】4【解析】直線: 過定點, 的圓心,半徑為:3;定點與圓心的距離為: 過定點的直線: 與圓: 相切于點,則10.【2018屆江蘇省泰州中學月考】知動圓與直線相切于點,圓被軸所截得的弦長為,則滿足條件的所有圓的半徑之積是_【答案】11. 已知圓關于直線對稱的圓為.(1)求圓的方程;(2)過點作直線與圓交于兩點, 是坐標原點,是否存在這樣的直線,使得在平行四邊形中?若存在,求出所有滿足條件的直線的方程;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)存在直線和【解析】試題分析:(1)將圓的一般方程轉化為標準方程,將圓關于直線對稱問題轉化為點關于直線對稱問題,進而求出圓的方程;(2)先由條件判定四邊形為矩形,將問題轉化為判定兩直線垂直,利用平面向量是數量積為0進行求解.解得: ,所以圓的方程為.(2)由,所以四邊形為矩形,所以.要使,必須使,即: .當直線的斜率不存在時,可得直線的方程為,與圓交于兩點, .因為,所以,所以當直線的斜率不存在時,直線滿足條件.當直線的斜率存在時,可設直線的方程為.設由得: .由于點在圓內部,所以恒成立, ,要使,必須使,即,也就是: 整理得: 解得: ,所以直線的方程為存在直線和,它們與圓交兩點,且四邊形對角線相等.12. 已知定點,圓C: ,(1)過點向圓C引切線l,求切線l的方程;(2)過點A作直線 交圓C于P,Q,且,求直線的斜率k; (3)定點M,N在直線 上,對于圓C上任意一點R都滿足,試求M,N兩點的坐標.【答案】(1)x2或(2)(3)【解析】解:(1)當直線l與x軸垂直時,易知x2符合題意; 當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.若直線l與圓C相切,則有,解得k,直線l: 故直線l的方程為x2或 (2)設,由 知點P是AQ的中點,所以點Q的坐標為 .又 得 , 由、得 ,由于關于 的方程有無數組解,所以, 解得 所以滿足條件的定點有兩組- 配套講稿:
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- 2019年高考數學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題46 直線與圓、圓與圓的位置關系 2019 年高 數學 一輪 復習 熱點 聚焦 擴展 專題 46 直線 位置 關系
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