2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關系與基本不等式 1.2 不等式的性質(zhì)學案 北師大版選修4-5.docx
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1.2不等式的性質(zhì)學習目標1.理解不等式的性質(zhì),并掌握不等式的性質(zhì).2.能運用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式、解決不等式的簡單問題知識點不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1(對稱性):如果ab,那么ba;如果bb.(2)性質(zhì)2(傳遞性):如果ab,bc,那么ac.(3)性質(zhì)3(加法性質(zhì)):如果ab,那么acbc.移項法則:如果abc,那么acb.推論(加法法則):如果ab,cd,那么acbd.(4)性質(zhì)4(乘法性質(zhì)):如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd.推論2(平方法則):如果ab0,那么a2b2.推論3(乘方法則):如果ab0,那么anbn(n為正整數(shù))推論4(開方法則):如果ab0,那么(n為正整數(shù)).類型一不等式的性質(zhì)的應用例1判斷下列命題是否正確,并說明理由(1)若ab0,則;(2)若cab0,則;(3)若,則adbc;(4)設a,b為正實數(shù),若ab,則ab.解(1)正確因為ab0,所以ab0.兩邊同乘以,得ab,得.(2)正確因為ca0,cb0,且cacb,所以0.又ab0,所以.(3)不正確因為,所以0,即0,所以或即adbc且cd0或adbc且cd0.(4)正確因為ab,且a0,b0,所以a2bbab2aa2bab2ba0ab(ab)(ab)0(ab)(ab1)0,所以ab0,即ab.反思與感悟(1)利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧要判斷一個命題為真命題,必須嚴格證明;要判斷一個命題為假命題,或者舉反例,或者由題中條件推出與結(jié)論相反的結(jié)果其中,舉反例在解選擇題時用處很大(2)運用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的三點注意事項倒數(shù)法則要求兩數(shù)同號;兩邊同乘以一個數(shù),不等號方向是否改變要視此數(shù)的正負而定;同向不等式可以相加,異向不等式可以相減跟蹤訓練1下列命題中正確的是_(填序號)若ab0,cd0,那么;若a,bR,則a2b252(2ab);若a,bR,ab,則a2b2;若a,bR,ab,則.答案解析對于,cd0,0,0,不對;對于,a2b25(4a2b)a24ab22b5(a2)2(b1)20,a2b252(2ab),對;對于,由于ab不能保證a,b同時大于0,a2b2不成立,不對;對于,c210,由ab,可得,正確類型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式例2已知ab0,cd0,求證:.證明cd0,cd0.又ab0,acbd0,0.又0ba,.引申探究1若本例條件不變,求證:.證明cd0,cd0,0.0,即,.2若本例條件不變,求證:.證明ab0,0.又cd0,cd0,0.0,即0,0,.反思與感悟進行簡單的不等式的證明,一定要建立在記準、記熟不等式性質(zhì)的基礎之上,如果不能直接由不等式的性質(zhì)得到,可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構,利用不等式的性質(zhì)進行逆推,尋找使其成立的充分條件跟蹤訓練2已知a0,b0,求證:ab.證明(ab)(ab)(ab)(ab)2(ab),a0,b0,(ab)2(ab)0,即ab.類型三利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式范圍例3設f(x)ax2bx,且1f(1)2,2f(1)4,求f(2)的取值范圍解設f(2)mf(1)nf(1)(m,n為待定系數(shù)),即4a2bm(ab)n(ab),即4a2b(mn)a(mn)b,于是,得解得f(2)3f(1)f(1)1f(1)2,2f(1)4,53f(1)f(1)10,即5f(2)10.反思與感悟(1)應用同向不等式相加性質(zhì)時不能多次使用,否則范圍將會擴大(2)整體代換思想,是解這類問題常用的方法跟蹤訓練3已知1ab1,1ab3,求3ab的取值范圍解設3abx(ab)y(ab)(xy)a(xy)b.由2,得12(ab)2(ab)132,即13ab7.1若ab0,則下列結(jié)論不正確的是()Aa2b2Baba2C.2D|a|b|ab|答案A解析ab0,ab0,即(a)2(b)2,a2b2.2設p:x3,q:1x3,則p是q成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件答案C解析qp,p是q的必要條件但pq,p不是q的充分條件3若a0,1b0,則有()Aaabab2Bab2abaCabaab2Dabab2a答案D解析1b0,bb21.a0,abab2a.4下列命題中不正確的是()A若,則abB若ab,cd,則adbcC若ab0,cd0,則D若ab0,acbd,則cd答案D解析只有當c0且d0時,才有ab0,acbdcd.5設角,滿足,則的取值范圍是()A0BC0D答案A解析,且0,0.1不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù),每一步變形都要做到有根有據(jù),嚴格按照不等式的性質(zhì)進行2利用不等式的性質(zhì)證明不等式,一定要建立在記準、記熟不等式性質(zhì)的基礎之上,如果能由不等式的性質(zhì)直接進行推理論證,則嚴格按不等式的性質(zhì)成立的條件論證;否則可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構,再利用不等式的性質(zhì)進行逆推,尋找使其成立的充分條件一、選擇題1已知a0b,cd0,給出下列不等式:(1)adbc;(2)acbd;(3)a(dc)b(dc)其中成立的個數(shù)是()A0B1C2D3答案C解析因為a0,b0,cd0,所以ad0,bc0,故(1)不成立;因為ab,cd0,所以cd,所以acbd,故(2)成立;由cd0,知dc0,又a0b,所以a(dc)b(dc),故(3)成立2已知實數(shù)a,b,c同時滿足下列條件:(1)abc0;(2)abbccabc.有下列判斷:a0;b0;c0;bc0.其中正確的個數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析abc0,abc,a0,bc0.又abbcca0,b0,cb1”是“b1,a1b10,.取a1,b2,有b1.“ab1”是“b”是“ab”成立的充要條件故“ab”是“ab”成立的充要條件二、填空題7已知a,b,c是實數(shù),則a2b2c2與abbcca的大小關系是_答案a2b2c2abbcca解析a2b2c2abbcca(2a22b22c22ab2bc2ca)(ab)2(bc)2(ca)20,當且僅當abc時,等號成立,a2b2c2abbcca.8若a,b,c均為實數(shù),下列四個條件:ac2bc2;a3b3;acbc.其中能成為ab的充分不必要條件的序號是_答案解析由ac2bc2ab,反之不成立,ac2bc2是ab的充分不必要條件;,0.c的符號不能確定,a,b的大小關系不確定;a3b3是ab的充要條件;acbc是ab的充要條件9在以下四個條件中:b0a;0ab;a0b;ab0.其中能使0a,0;0ab,0b,0;ab0,0.10已知三個不等式:ab0;bcad.以其中兩個作為條件,剩下一個作為結(jié)論,則可組成_個正確命題答案3解析若ab0,bcad成立,不等式bcad兩邊同除以ab,得,即ab0,bcad;若ab0,成立,兩邊同乘以ab,得bcad,即ab0,bcad;若,bcad成立,由于0,又bcad0,故ab0,所以,bcadab0.綜上,任兩個作為條件都可推出第三個成立,故可組成3個正確命題三、解答題11已知abcd0,且,求證:adbc.證明,.(ab)d(cd)b.又abcd0,ab0,cd0,bd0且1,1,abcd,即adbc.12已知a,b,c是正實數(shù),求證:.證明由2220,得220.所以.13若ab0,cd0,e0,求證:.證明cd0,cd0.ab0,acbd0,(ac)2(bd)20,.又e0,.四、探究與拓展14設x,yR,判定下列各題中,命題A與命題B的充分必要關系(1)命題A:命題B:(2)命題A:命題B:解(1)若a0且b0,由實數(shù)的性質(zhì)可知,ab0,且ab0.若ab0a,b同號,又ab0a,b同正,即a0,b0.所以命題A是命題B的充要條件(2)因為xy4,xy4.(不等式的性質(zhì))反之不然,如反例,當x6,y1時,有xy6174,xy64,但x2,y2,且y2不成立,所以命題A是命題B的充分不必要條件15已知1ab1,1a2b3,求a3b的取值范圍解設a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b,解得1,2.(ab),2(a2b),a3b1,即a3b的取值范圍為.- 配套講稿:
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