(浙江專(zhuān)用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一板塊“21~22”壓軸大題搶分練(一)-(六).doc
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“2122”壓軸大題搶分練(一)21.(本小題滿(mǎn)分15分)已知橢圓C:y21的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1,PF2,設(shè)F1PF2的內(nèi)角平分線(xiàn)PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0)(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求|PF1|PM|的最大值解:(1)設(shè)P(x0,y0)(y00),則y1,又F1(,0),F(xiàn)2(,0), 所以直線(xiàn)PF1,PF2的方程分別為:lPF1:y0x(x0)yy00.lPF2:y0x(x0)yy00.因?yàn)?,所?.因?yàn)閙,2x02,可得,所以mx0, 因此m,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(2)因?yàn)閨PF1|x02,|PM| ,所以|PF1|PM| . 設(shè)f(x)2(2x0,得2x;由f(x)0,得x0),若存在實(shí)數(shù)m(2,3),使得當(dāng)x(0,m時(shí),函數(shù)G(x)的最大值為G(m),求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)由已知條件得,F(xiàn)(x)ln xx2x,且函數(shù)定義域?yàn)?0,),所以F(x)x.令F(x)0,得x1或x2,當(dāng)x變化時(shí),F(xiàn)(x),F(xiàn)(x)隨x的變化情況如下表:x(0,1)1(1,2)2(2,)F(x)00F(x)0ln 2所以當(dāng)x1時(shí),函數(shù)F(x)取得極大值F(1)0;當(dāng)x2時(shí),函數(shù)F(x)取得極小值F(2)ln 2.(2)由條件,得G(x)ln xax2(2a1)xa1,且定義域?yàn)?0,),所以G(x)2ax(2a1).令G(x)0,得x1或x.當(dāng)a時(shí),函數(shù)G(x)在(0,)上單調(diào)遞增,顯然符合題意當(dāng)1,即0a0,得x或0x1;由G(x)0,得1xG(1),解得a1ln 2.又0a,所以1ln 2a.當(dāng)時(shí),由G(x)0,得x1或0x;由G(x)0,得x1,所以函數(shù)f(x)在和(1,)上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 要存在實(shí)數(shù)m(2,3),使得當(dāng)x(0,m時(shí), 函數(shù)G(x)的最大值為G(m),則G0.(*)令g(a)ln(2a)ln 21,g(a)0恒成立, 故恒有g(shù)(a)gln 20,a時(shí),(*) 式恒成立綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1ln 2,)“2122”壓軸大題搶分練(二)21(本小題滿(mǎn)分15分)已知拋物線(xiàn)x22py(p0),點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A(0,p)(R)的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于B,C兩點(diǎn)(1)求證: 0,并求等號(hào)成立時(shí)實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)2時(shí),設(shè)分別以O(shè)B,OC(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的兩圓相交于另一點(diǎn)D,求|DO|DA|的最大值解:(1)證明:由題意知?jiǎng)又本€(xiàn)l的斜率存在,且過(guò)點(diǎn)A(0,p),則可設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l的方程為ykxp,代入x22py,消去y并整理得x22pkx2p20,4p2(k22)0,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1x22pk,x1x22p2,y1y2(kx1p)(kx2p)k2x1x2kp(x1x2)2p22p2,y1y2k(x1x2)2p2pk22p2p(k2)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)x22py的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,所以,所以x1x2x1x2y1y2(y1y2)2p22p22p(k2)p20,當(dāng)且僅當(dāng)k0,時(shí)等號(hào)成立(2)由(1)知,當(dāng)2時(shí),x1x24p2,y1y24p2,所以x1x2y1y20,所以O(shè)BOC.設(shè)直線(xiàn)OB的方程為ymx(m0),與拋物線(xiàn)的方程x22py聯(lián)立可得B(2pm,2pm2),所以以O(shè)B為直徑的圓的方程為x2y22pmx2pm2y0.因?yàn)镺BOC,所以直線(xiàn)OC的方程為yx.同理可得以O(shè)C為直徑的圓的方程為x2y2xy0,即m2x2m2y22pmx2py0,將兩圓的方程相加消去m得x2y22py0,即x2(yp)2p2,所以點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓,所以|DA|2|DO|24p2,由2,得|DA|DO|2p,當(dāng)且僅當(dāng)|DA|DO|p時(shí),(|DA|DO|)max2p.22(本小題滿(mǎn)分15分)三個(gè)數(shù)列an,bn,cn,滿(mǎn)足a1,b11,an1,bn12bn1,cnabn,nN*.(1)證明:當(dāng)n2時(shí),an1;(2)是否存在集合a,b,使得cna,b對(duì)任意nN*成立,若存在,求出ba的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求證:2n1cn16(nN*,n2)解:(1)證明:下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n2時(shí),an1.當(dāng)n2時(shí),由a1,an1,得a2,顯然成立;假設(shè)nk時(shí)命題成立,即ak1.則nk1時(shí),ak1 .于是ak11.因?yàn)?)2(3ak)24(ak1)0.所以ak11,也就是說(shuō)nk1時(shí)命題成立由可知,當(dāng)n2時(shí),an1.(2)由bn12bn1,b11,得bn112(bn1),所以數(shù)列bn1是以b112為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以bn12n,從而bn2n1.由(1)知,當(dāng)n2時(shí),an1,所以當(dāng)n2時(shí),an1an.因?yàn)閍2an5(1an)24(1an)0,所以an1an.綜上,當(dāng)n2時(shí),1an1an.由a1,an1f(an)(nN*),所以c1a1,a2,c2a32,所以c1c31,從而存在集合a,b,使得cna,b對(duì)任意nN*成立,當(dāng)bc2a32,ac1時(shí),ba的最小值為c2c1.(3)證明:當(dāng)n2時(shí),an1 ,因?yàn)閍n1,所以anan1aan11, 也即anan11 , 即2ncn1cn(n2) ,于是 (2ici1ci)2n14cn1c22n1cn16.故2n1cn16(nN*,n2)“2122”壓軸大題搶分練(三)21(本小題滿(mǎn)分15分)過(guò)拋物線(xiàn)x24y的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)在A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)M.(1)求證:點(diǎn)M在直線(xiàn)y1上;(2)設(shè),當(dāng)時(shí),求MAB的面積S的最小值解:(1)證明:易知直線(xiàn)l的斜率一定存在,F(xiàn)(0,1),設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx1,聯(lián)立消去y,得x24kx40,16k2160,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24k,x1x24,x4y1,x4y2,由x24y,得yx,則切線(xiàn)AM的方程為yy1x1(xx1),即yx1xx,同理,切線(xiàn)BM的方程為yx2xx.由得(x1x2)x(x1x2)(x1x2)0,又x1x20,所以x2k.所以2y(x1x2)x(x1x2)22x1x24k2k(16k28)2,所以y1,即點(diǎn)M(2k,1),故點(diǎn)M在直線(xiàn)y1上(2)由(1)知,當(dāng)k0時(shí),此時(shí)1,不符合題意,故k0.連接MF,則kMF,因?yàn)閗1,所以MFAB.因?yàn)?,所?x1,1y1)(x2,y21),得x1x2,則,所以24k2,即k2,令f(),因?yàn)閒()在上單調(diào)遞減,所以f(),所以k2.因?yàn)閨MF|2,|AB|y1y22k(x1x2)44k24,所以S|AB|MF|4,所以當(dāng)k2,即時(shí),S取得最小值,且Smin4.22(本小題滿(mǎn)分15分)已知函數(shù)f(x)ln xaxa.(1)當(dāng)a1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)方程;(2)若函數(shù)f(x)有一個(gè)大于1的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若f(x0)0,且x01,求證:x01.解:(1)當(dāng)a1時(shí),f(x)ln xx1,f(x)1,所以f(1)2,所以切線(xiàn)的斜率k2.又切點(diǎn)為(1,0),所以切線(xiàn)的方程為y2x2.(2)由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)a.當(dāng)a0時(shí),f(x)0恒成立,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,又f(1)0,所以f(x)有唯一零點(diǎn)1,不符合題意當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,則x,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:xf(x)0f(x)極大值由表可知,當(dāng)1,即a1時(shí),f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,又f(1)0,所以f(x)1,即0af(1)0,又f(e)aae,令t(1,),則ytet,令g(t)t21et(t1),則g(t)2tet,令G(t)2tet(t1),則G(t)2et1時(shí),g(t)g(1)2e1時(shí),g(t)g(1)2e0,即f(e)aaex,得e.所以f(x)在上無(wú)零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn)綜上,滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)(3)證明:由(2)得,x0且0a1),則當(dāng)m1時(shí),h(m)0,所以h(m)在(1,)上單調(diào)遞增,則h(m)h(1)0,所以f 0,即f f(x0)又1,x0且f(x)在上為減函數(shù),所以1.“2122”壓軸大題搶分練(四)21(本小題滿(mǎn)分15分)已知直線(xiàn)l:yxm與圓x2y22交于A,B兩點(diǎn),若橢圓y21上有兩個(gè)不同的點(diǎn)C,D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求四邊形ACBD面積的取值范圍解:(1)設(shè)直線(xiàn)CD:yxn,聯(lián)立x22y22,得3x24nx2(n21)0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD中點(diǎn)為M(x0,y0),故16n224(n21)0,解得n,且x1x2,x1x2,x0,y0,代入yxm,得m,所以m,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(2)由(1)得|CD|x1x2| ,又點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為d,所以|AB|2, 所以S四邊形ACBD|AB|CD| .因?yàn)?m2,所以0S四邊形ACBD,所以四邊形ACBD的面積的取值范圍為.22(本小題滿(mǎn)分15分)已知數(shù)列an中a1,an1sin(nN*)(1)證明:0anan1n.證明:(1)數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)n1時(shí),a1,a2,顯然有0a1a21.假設(shè)當(dāng)nk(kN*),結(jié)論成立,即0akak11,那么0akak1,0sinsin1,即0ak1ak21,綜上所述,0anan11成立(2)由(1)知,an1,01an,0(1an),0sinsin,1an1sin1cos2sin2sin(1an1)于是1an(1an1)n1(1a1)n1,所以nSnn.“2122”壓軸大題搶分練(五)21(本小題滿(mǎn)分15分)橢圓C:1(ab0)的離心率為,其右焦點(diǎn)到橢圓C外一點(diǎn)P(2,1)的距離為,不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為2.(1)求橢圓C的方程;(2)求AOB面積S的最大值解:(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為(c,0),則由題意得解得或(舍去)所以b2a2c21,所以橢圓C的方程為y21.(2)因?yàn)榫€(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng),要使三點(diǎn)A,O,B能構(gòu)成三角形,則直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O,弦AB不能與x軸垂直,故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykxm,由消去y,并整理,得(12k2)x24kmx2m220.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又16k2m24(12k2)(2m22)0,所以x1x2,x1x2因?yàn)閨AB|2,所以 2,即(1k2)(x2x1)24x1x24,所以(1k2)4,即2(1m2),因?yàn)?k21,所以m21.又點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d,因?yàn)镾|AB|dd,所以S22m2(1m2)22,所以0S2,即S的最大值為.22(本小題滿(mǎn)分15分)已知函數(shù)f(x)x|xa|1(xR)(1)當(dāng)a1時(shí),求使f(x)x成立的x的值;(2)當(dāng)a(0,3),求函數(shù)yf(x)在x1,2上的最大值;(3)對(duì)于給定的正數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)M(a),使x0,M(a)時(shí),都有|f(x)|2,試求出這個(gè)正數(shù)M(a),并求它的取值范圍解:(1)由題意得a1時(shí),f(x)x,解得x1.(2)f(x)其中f(0)f(a)1,最大值在f(1),f(2),f(a)中取當(dāng)0a1時(shí),f(x)在1,2上單調(diào)遞減,故f(x)maxf(1)a;當(dāng)1a2時(shí),f(x)在1,a上單調(diào)遞增,a,2上單調(diào)遞減,故f(x)maxf(a)1;當(dāng)2a3時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,且x是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,因?yàn)?a0,所以f(x)maxf(2)52a,綜上,f(x)(3)當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)max1,故問(wèn)題只需轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間內(nèi)f(x)2恒成立因f1,分兩種情況討論:當(dāng)12時(shí),M(a)(0,);當(dāng)12時(shí),M(a)是方程x2ax12的較大根,即0a2時(shí),M(a)(, ,綜上M(a)且M(a)(0,)(, “2122”壓軸大題搶分練(六)21(本小題滿(mǎn)分15分)設(shè)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同兩點(diǎn)P,Q,線(xiàn)段PQ中點(diǎn)為M,射線(xiàn)MF與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)求APQ的面積的最小值解:(1)設(shè)直線(xiàn)PQ方程為xty,代入y24x,得y24ty20.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y24t,y1y22,x1x2t(y1y2)14t21,所以M.設(shè)M(x,y),由消去t,得中點(diǎn)M的軌跡方程為y22x1.(2)設(shè) (0),A(x0,y0),又F(1,0),M,則(x01,y0),即由點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y24x上,得42t28t224,化簡(jiǎn)得(22)t21.又0,所以t2.因?yàn)辄c(diǎn)A到直線(xiàn)PQ的距離d,|PQ|y1y2|2.所以APQ的面積S|PQ|d |1| .設(shè)f(),0,得;由f()0,得,所以f()在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),因此,當(dāng)時(shí),f()取到最小值所以APQ的面積的最小值是.22(本小題滿(mǎn)分15分)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足:x11,xnxn11.證明:當(dāng)nN*時(shí),(1)0xn1xn;(2)3xn12xn0.當(dāng)n1時(shí),x110成立假設(shè)nk時(shí),xk0成立,那么nk1時(shí),假設(shè)xk10,則xkxk110,矛盾,所以xk10,故xn0得證所以xnxn11xn1,故0xn10),則f(x)2x422.由于y與22在(0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)0,故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)0,所以x(xn16)4xn160,即3xn12xn0,則n1n2,所以xnn2.又1x(x0),所以 1xn1,所以xnxn11xn1,故xn1xn ,所以xnn1,所以n1xnn2.- 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