(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明單元質(zhì)檢.docx
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單元質(zhì)檢七不等式、推理與證明(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知不等式x2-2x-30的解集為A,不等式x2+x-60的解集為B,不等式x2+ax+b0的解集為AB,則a+b等于()A.-3B.1C.-1D.3答案A解析由題意,得集合A=x|-1x3,B=x|-3x2,所以AB=x|-1xyB.x0,a+b2ab,2aba+by.故選A.4.(2018寧波效實(shí)中學(xué)高三模擬)“|x-a|m且|y-a|m”是“|x-y|2m”(x,y,a,mR)的條件.答案充分不必要解析因?yàn)閨x-y|=|(x-a)-(y-a)|x-a|+|y-a|m+m=2m,所以“|x-a|m且|y-a|m”是“|x-y|2m”的充分條件.取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,則有|x-y|=25=2m,但|x-a|=5,不滿足|x-a|m=2.5,故“|x-a|m且|y-a|m”不是“|x-y|2m”的必要條件.故為充分不必要條件.5.(2018浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟5月模擬)如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E是線段B,C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AD+AE=xAB+yAC,則1x+4y的最小值為()A.32B.2C.52D.92答案D解析由題圖可知x,y均為正,設(shè)AD=mAB+nAC,AE=AB+AC,B,D,E,C共線,m+n=1,+=1.AD+AE=xAB+yAC=(m+)AB+(n+)AC,x+y=m+n+=2.1x+4y=121x+4y(x+y)=125+yx+4xy125+2yx4xy=92,即1x+4y的最小值為92.故選D.6.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x-2y+20,x+2y+20,2x-y-10,則2|x+1|+y的最大值是()A.143B.193C.4D.1答案B解析題中不等式組表示的可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部,其中A(-2,0),B43,53,C(0,-1),因此當(dāng)x-1,z=2x+2+y過點(diǎn)B時(shí)取最大值193;當(dāng)x0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-2)B.(-2,+)C.(-6,+)D.(-,-6)答案A解析不等式x2-4x-2-a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a(x2-4x-2)max,x(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x(1,4),g(x)g(4)=-2,a-2.8.(2018浙江金華浦江縣高考適應(yīng)模擬)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=1,則ab+c的最小值為()A.-2B.-32C.-1D.-12答案C解析若ab+c取最小值,則ab異號(hào),c0時(shí),直線經(jīng)過A時(shí)z取得最大值.即ax+y=10,將A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.當(dāng)a0時(shí),直線經(jīng)過A時(shí)z取得最大值.即ax+y=10,將A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.與a0矛盾,綜上a=2.10.(2018浙江嘉興4月模擬)已知x+y=1x+4y+8(x,y0),則x+y的最小值為()A.53B.9C.4+26D.10答案B解析因?yàn)閤+y=1x+4y+8,所以x+y-8=1x+4y,兩邊同時(shí)乘“x+y”,得(x+y-8)(x+y)=1x+4y(x+y).所以(x+y-8)(x+y)=5+yx+4xy9,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)等號(hào)成立.令t=x+y,所以(t-8)t9,解得t-1或t9.因?yàn)閤+y0,所以x+y9,即(x+y)min=9.故選B.二、填空題(本大題共7小題,多空題每小題6分,單空題每小題4分,共36分.將答案填在題中橫線上)11.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為,y的取值范圍是.答案8(1,+)解析正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,x+2y=122xy12x+2y22,化為(x+2y)(x+2y-8)0,解得x+2y8,當(dāng)且僅當(dāng)y=2,x=4時(shí)取等號(hào).則x+2y的最小值為8.由正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,x=2yy-10,y(y-1)0,解得y1.y的取值范圍是(1,+).12.已知整數(shù)x,y滿足不等式y(tǒng)x,x+y4,x-2y+80,則2x+y的最大值是,x2+y2的最小值是.答案248解析由約束條件yx,x+y4,x-2y+80作出可行域如圖,由z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知,當(dāng)直線y=-2x+z過點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,由x=y,x-2y+8=0可得x=8,y=8,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8).z最大值為28+8=24.x2+y2的最小值是可行域的點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的平方,由x+y=4,y=x可得B(2,2).可得22+22=8.13.已知點(diǎn)A(3,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)滿足3x-y0,x-3y+20,y0,則滿足條件的點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為,OAOP|OA|的最大值是.答案33解析不等式組表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)圖略,其面積為1223=3.設(shè)向量OA與OP的夾角為,易知AOC=30,AOB=150,30150.又OAOP|OA|=|OP|cos,要使OAOP|OA|取到最大值,則3090,此時(shí)0cos32,1|OP|2,且cos取到最大值32時(shí),|OP|也取到最大值2,故OAOP|OA|的最大值為322=3.14.(2017浙江金華調(diào)研改編)已知不等式|x+1|-|x-3|a,若該不等式有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為,若該不等式的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案(-,4)(-,-4)解析由|x+1|-|x-3|x+1-(x-3)|=4.可得-4|x+1|-|x-3|4.(1)若不等式有解,則a4;(2)若不等式的解集為R,則a-4.15.若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a為.答案-6或4解析函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|,當(dāng)a-1時(shí),f(x)=-3x+2a-1,xa,x-2a-1,ax-1,3x-2a+1,x-1,根據(jù)它的最小值為f(a)=-3a+2a-1=5,求得a=-6.當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=3|x+1|,它的最小值為0,不滿足條件.當(dāng)a-1時(shí),f(x)=-3x+2a-1,x-1,-x+2a+1,-1xa,3x-2a+1,xa,根據(jù)它的最小值為f(a)=a+1=5,求得a=4.綜上,可得a=-6或a=4.16.(2018浙江杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,函數(shù)g(x)=1x+a-1+2x+a,aR,a0.若對(duì)任意的x1R,都存在x2R,使得f(x1)g(x2)成立,則a的取值范圍是.答案12,72解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-x+1=x-122+34,所以f(x)min=f12=34.由題意,若對(duì)任意的x1R,都存在x2R,使得f(x1)g(x2)成立,即有f(x)ming(x)min成立,又由g(x)=1x+a-1+2x+a=1x+a-1+1x+a2+1x+a2,因?yàn)?x+a-1+1x+a21x+a-1-1x+a2=a2-1,且1x+a20,所以g(x)a2-1,當(dāng)x=-2a時(shí)取等號(hào),即g(x)的最小值為a2-1.所以34a2-1,解得12a72,即a的取值范圍是12,72.17.記maxa,b=a,ab,b,ak的解集為x|x-2,求k的值;(2)若對(duì)任意x0,f(x)t恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)f(x)kkx2-2x+6k0,由已知其解集為x|x-2,得x1=-3,x2=-2是關(guān)于x的方程kx2-2x+6k=0的兩根,則-2-3=2k,解得k=-25.(2)x0,f(x)=2xx2+6=2x+6x66(當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí),等號(hào)成立),又已知f(x)t對(duì)任意x0恒成立,實(shí)數(shù)t的取值范圍是66,+.19.(15分)設(shè)f(x)=11+x,數(shù)列an滿足a1=12,an+1=f(an),nN*.(1)若1,2為方程f(x)=x的兩個(gè)不相等的實(shí)根,證明:數(shù)列an-1an-2為等比數(shù)列;(2)證明:存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)任意nN*,a2n-1a2n+1ma2n+2a2n.證明(1)f(x)=xx2+x-1=0,12+1-1=0,22+2-1=0,1-1=12,1-2=22.an+1-1an+1-2=11+an-111+an-2=1-1-1an1-2-2an=12-1an22-2an=12an-1an-2.又a1-1a1-20,120,數(shù)列an-1an-2為等比數(shù)列.(2)設(shè)m=5-12,則f(m)=m.由a1=12及an+1=11+an得a2=23,a3=35,a4=58.a1a3ma4a2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)nN*時(shí),a2n-1a2n+1ma2n+2a2n.當(dāng)n=1時(shí),命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即a2k-1a2k+1ma2k+2f(a2k+1)f(m)f(a2k+2)f(a2k),a2ka2k+2ma2k+3a2k+1,由ma2k+3a2k+1,得f(m)f(a2k+3)f(a2k+1),ma2k+4a2k+2,當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由知,對(duì)一切nN*命題成立,即存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)nN*,a2n-1a2n+1ma2n+21,-(x+1),x1時(shí),(x)2,a2.當(dāng)x-2,此時(shí)a-2.綜合,得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a-2.(2)由題意易知f(x)=x2-ax+a-1,1x2,x2+ax-a-1,-2x1,f(1)=0,f(2)=3-a,f(-2)=3-3a,當(dāng)a3時(shí),a232,-a2-32,f(-2)f(2)f(1)=0,M(a)=0;當(dāng)0aa,3-a0,f(-2)f(2),f(1)f(2)=3-a,即M(a)=3-a;當(dāng)a0時(shí),a20,f(1)f(2)f(-2)=3-3a,即M(a)=3-3a.M(a)=0,a3,3-a,0a3,3-3a,a0.21.(15分)已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=12,且3an22an+1+2an3,設(shè)bn=(2an-an+1)an+1.(1)求證:an+12ln(2an+1).證明(1)an0,an+132an2-an3,an+1-an-an3+32an2-an=-anan2-32an+10.an+1an+12an2.要證bnanan+12an2,只需證bnan+12an,bn=(2an-an+1)an+1,只需證2an-an+1an+1an,只需證an+12an2an+1,又an+132an2-an3,且32an2-an32an2an+1,an+1an+12an2,由累乘法可得b1b2bna1a2anan+12a12=4an+12,lnb1b2bna1a2anan+12a12=ln(4an+12).lnb1a1+lnb2a2+lnbnan2ln(2an+1).22.(15分)已知數(shù)列an中,滿足a1=12,an+1=an+12,記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)證明:an+1an;(2)證明:an=cos32n-1;(3)證明:Snn-27+254.證明(1)因?yàn)?an+12-2an2=an+1-2an2=(1-an)(1+2an),所以只需要證明an1即可.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1時(shí),a1=121成立,假設(shè)n=k時(shí),ak1成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak+121+12=1,所以綜上所述,對(duì)任意的正整數(shù)n,anan.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an=cos32n-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=12=cos3成立,假設(shè)n=k時(shí),ak=cos32k-1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak+12=cos32k-1+12=cos32k.所以綜上所述,對(duì)任意n,an=cos32n-1.(3)1-an-12=1-an-1+12=1-an2=sin232n-11-2294n-1.故Sni=2n1-2294i+12=n-12-229431161-14n-1n-27+254.- 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