《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè) 二十四 3.7 應(yīng)用舉例 文.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè) 二十四 3.7 應(yīng)用舉例 文.doc（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

課時(shí)分層作業(yè) 二十四 　應(yīng) 用 舉 例 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的 (　　) A.北偏東10　　　 B.北偏西10 C.南偏東80　　　 D.南偏西80 【解析】選D.由題意可知∠ACD=40,∠DCB=60,CA=CB,所以∠CAB=∠CBA= 40,又因?yàn)椤螧CD=60,所以∠CBD=30,∠DBA=10,故燈塔A在B的南偏西80. 2.如圖所示,為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別記為a,b,c),然后給出了三種測(cè)量方案:①測(cè)量A,C,b;②測(cè)量a,b,C;③測(cè)量A,B,a.則一定能確定A,B間的距離的所有方案的序號(hào)為 (　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【解析】選D.對(duì)于①③可以利用正弦定理確定唯一的A,B兩點(diǎn)間的距離,對(duì)于②直接利用余弦定理即可確定A,B兩點(diǎn)間的距離. 3.某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30方向,后來(lái)船沿南偏東60的方向航行15 km后,看見(jiàn)燈塔在正西方向,則這時(shí)船與燈塔的距離是 (　　) A.5 km B.10 km C.5 km D.5 km 【解析】選C.作出示意圖(如圖),點(diǎn)A為該船開(kāi)始的位置,點(diǎn)B為燈塔的位置,點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置,所以在△ABC中,有∠BAC=60-30=30,B=120, AC=15, 由正弦定理,得=, 即BC==5,即這時(shí)船與燈塔的距離是5 km. 【變式備選】為繪制海底地貌圖,測(cè)量海底兩點(diǎn)C,D之間的距離,海底探測(cè)儀沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,A,B,C,D在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),海底探測(cè)儀測(cè)得 ∠BAC=30,∠DAC=45,∠ABD=45,∠DBC=75,A,B兩點(diǎn)的距離為海里,則C,D之間的距離為 (　　) A. 海里 B.2海里 C.海里 D.海里 【解析】選A.∠ADB=180-30-45-45=60, 在△ABD中,由正弦定理,得BD==, 在△ABC中,∠ACB=180-30-45-75=30, 所以BC=BA=, 在△BCD中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos∠DBC =3+-2=5,所以CD=. 4.(2018深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測(cè)繪,測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30和60,則塔高為 (　　) 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)37680485 A.m B.m C.m D.m 【解析】選A.如圖所示. 在Rt△ACD中可得CD==BE, 在△ABE中,由正弦定理得=?AB=,所以DE=BC=200-=(m). 5.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為 (　　) A.0.5小時(shí) B.1小時(shí) C.1.5小時(shí) D.2小時(shí) 【解析】選B.根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,如圖所示.BE=BF=30 km,△ABD為等腰直角三角形且AB=40 km,由勾股定理得AD=BD=20km,由BD⊥AD,可得ED=DF,在Rt△BED中,由勾股定理得ED==10 km,所以EF=2ED=20 km,因此B市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為2020=1(h). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處,且與它相距8 n mile.此船的航速是______ n mile/h. 【解析】設(shè)航速為v n mile/h,在△ABS中, AB=v,BS=8 n mile,∠BSA=45,由正弦定理,得=,所以v=32. 答案:32 7.(2018濰坊模擬)如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60,再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45,則塔AB的高是________米. 【解析】在△BCD中,由正弦定理得,=,解得BC=10米, 所以在Rt△ABC中,tan 60=,解得AB=10米, 所以塔AB的高是10米. 答案:10 8.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為_(kāi)_______米. 【解題指南】連接OC,在△OCD中,借助余弦定理求半徑OC. 【解析】連接OC,由題意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60,在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CDODcos 60,即OC=50. 答案:50 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.如圖,航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m,速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5,經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5,則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜?(取=1.4,=1.7) 【解析】如圖,作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由題意知∠A=15,∠DBC=45,所以∠ACB=30,AB=50420 =21 000(m). 又在△ABC中,=, 所以BC=sin 15 =10 500(-)(m). 因?yàn)镃D⊥AD,所以CD=BCsin∠DBC =10 500(-)=10 500(-1) =7 350(m). 故山頂?shù)暮０胃叨葹?0 000-7 350=2 650(m). 10.如圖,一架飛機(jī)以600 km/h的速度,沿方位角60的航向從A地出發(fā)向B地飛行,飛行了36 min后到達(dá)E地,飛機(jī)由于天氣原因按命令改飛C地,已知AD= 600 km,CD=1 200 km,BC=500 km,且∠ADC=30,∠BCD=113.問(wèn)收到命令時(shí)飛機(jī)應(yīng)該沿什么航向飛行,此時(shí)E地離C地的距離是多少? 【解題指南】在△ACD中使用余弦定理得出AC及∠ACD,在△ABC中使用余弦定理得出AB及∠CAE,再在△ACE中使用余弦定理得出CE及∠AEC. 【解析】在△ACD中由余弦定理,得: AC2=(600)2+1 2002-26001 200=360 000, 所以AC=600,則CD2=AD2+AC2, 即△ACD是直角三角形,且∠ACD=60, 又∠BCD=113,則∠ACB=53, 因?yàn)閠an 37=,所以cos 53=sin 37=. 在△ABC中,由余弦定理,得:AB2=6002+5002-2600500=5002, 則AB=500, 又BC=500,則△ABC是等腰三角形, 且∠BAC=53,由已知有AE=600=360, 在△ACE中,由余弦定理,有 CE==480, 又AC2=AE2+CE2,則∠AEC=90. 由飛機(jī)出發(fā)時(shí)的方位角為60,則飛機(jī)由E地改飛C地的方位角為:90+60=150. 答:收到命令時(shí)飛機(jī)應(yīng)該沿方位角150的航向飛行,E地離C地480 km. 1.(5分)如圖,某海上緝私小分隊(duì)駕駛緝私艇以40 km/h的速度由A處出發(fā),沿北偏東60方向進(jìn)行海上巡邏,當(dāng)航行半小時(shí)到達(dá)B處時(shí),發(fā)現(xiàn)北偏西45方向有一艘船C,若船C位于A的北偏東30方向上,則緝私艇所在的B處與船C的距離是 (　　) A.5(+)km　　　 B.5(-)km C.10(-)km D.10(+)km 【解析】選C.由題意知∠BAC=60-30=30,∠CBA=30+45=75,所以 ∠ACB=180-30-75=75,故AC=AB,因?yàn)锳B=40=20,所以AC=AB=20.在 △ABC中,由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ACABcos∠CAB=400+400-220 20cos 30=400(2-),故BC===10(-). 2.(5分)(2018廣州模擬)如圖,在海岸線上相距2千米的A,C兩地分別測(cè)得小島B在A的北偏西α方向,在C的北偏西-α方向,且cos α=,則B,C之間的距離是 (　　) A.30千米 B.30千米 C.12千米 D.12千米 【解析】選D.依題意得,AC=2,sin∠BAC =sin=cos α=, sin B=sin=cos 2α=2cos2α-1=, 在△ABC中,由正弦定理得,BC===12, 則B與C之間的距離是12千米. 【變式備選】(2018長(zhǎng)沙模擬)地面上有兩座塔AB,CD,相距120米,一人分別在兩塔底測(cè)得一塔頂?shù)难鼋鞘橇硪凰斞鼋堑?倍,在兩塔底連線的中點(diǎn)O處測(cè)得塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?則兩塔的高度分別為 (　　) A.50米,100米　　　　 B.40米,90米 C.40米,50米 D.30米,40米 【解析】選B.設(shè)高塔高H,矮塔高h(yuǎn),在矮塔下望高塔仰角為α,在O點(diǎn)望高塔仰角為β. 分別在兩塔底部測(cè)得一塔頂仰角是另一塔頂仰角的兩倍,所以在高塔下望矮塔仰角為, 即tan α=,tan=, 根據(jù)倍角公式有=①, 在塔底連線的中點(diǎn)O測(cè)得兩塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?所以在O點(diǎn)望矮塔仰角為 -β, 即tan β=,tan=, 根據(jù)誘導(dǎo)公式有=②, 聯(lián)立①②得H=90,h=40. 即兩座塔的高度為40米,90米. 3.(5分)(2018宜昌模擬)如圖所示,在海島A上有一座海拔千米的山峰,山頂上設(shè)有一座觀察站P,一艘輪船沿一固定方向勻速航行,上午10:00時(shí),測(cè)得此船在島北偏東20且俯角為30的B處,到10:10時(shí),又測(cè)得該船在島北偏西40且俯角為60的C處,則該船的航行速度為_(kāi)_______ km/h. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)37680489 【解題指南】在Rt△PAB,Rt△PAC中確定AB,AC的長(zhǎng),進(jìn)而求得∠CAB的大小,在△ABC中,利用余弦定理求得BC,用路程除以時(shí)間即為船的速度. 【解析】在Rt△PAB中,∠APB=60,PA=,所以AB=3.在Rt△PAC中,∠APC= 30,所以AC=1. 在△ACB中,∠CAB=20+40=60, 所以BC==. 則船的航行速度為=6(km/h). 答案:6 4.(12分)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間? 【解析】由題意知AB=5(3+)海里,因?yàn)椤螪BA=90-60=30,∠DAB=90-45=45,所以∠ADB=180-(45+30)=105. 在△DAB中,由正弦定理得BD == == =10(海里). 又因?yàn)椤螪BC=∠DBA+∠ABC=30+(90-60)=60,BC=20海里,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcos∠DBC=300+1 200-21020=900,所以CD=30(海里),所以需要的時(shí)間t==1(小時(shí)).即該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí). 5.(13分)如圖,某人位于塔AB的正東方向上的C處,在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后到達(dá)D處,在點(diǎn)D處望見(jiàn)塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60. (1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了幾分鐘. (2)求塔的高AB. 【解析】(1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30, ∠DBC=180-∠DBF=180-45=135, CD=6 000=100(米),∠BDC=180-135-30=15, 由正弦定理得=, 所以BC== == =50(-1)(米). 在Rt△ABE中,tan α=. 因?yàn)锳B為定長(zhǎng),所以當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí),α取最大值60,這時(shí)BE⊥CD. 當(dāng)BE⊥CD時(shí),在Rt△BEC中, EC=BCcos∠BCE=50(-1)=25(3-)(米). 設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了t分鐘, 則t=60=60=(分鐘). (2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60時(shí),BE⊥CD, 在Rt△BEC中,BE=BCsin∠BCD, 所以AB=BEtan 60 =BCsin∠BCDtan 60 =50(-1)=25(3-)(米). 即所求塔高AB為25(3-)米.