(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第16練 基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用試題 理.docx
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第16練基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用明晰考情1.命題角度:考查二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);以基本初等函數(shù)為依托,考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理;能利用函數(shù)解決簡單的實際問題.2.題目難度:中檔偏難.考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)方法技巧(1)指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1),對數(shù)函數(shù)的圖象過定點(1,0).(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要注意底數(shù)的范圍,底數(shù)不同的盡量化成相同的底數(shù).(3)解題時要注意把握函數(shù)的圖象,利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì).1.已知函數(shù)f(x)則f(2019)_.答案解析f(2 019)f(2 018)1f(0)2 019f(1)2 020212 020.2.設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x3y5z,則2x,3y,5z的大小關(guān)系是_.答案3y2x1.則xlog2t,同理,y,z.2x3y0,2x3y.又2x5z0,2x5z,3y2x5z.3.設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(t)2f(t)的t的取值范圍是_.答案解析若f(t)1,顯然成立,則有或解得t.若f(t)1,由f(f(t)2f(t),可知f(t)1,所以t1,得t3.綜上,實數(shù)t的取值范圍是.4.已知函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象恰有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是_.答案(0,1)(1,4)解析因為y如圖所示,又函數(shù)ykx2過定點(0,2),當(dāng)ykx2過(0,2)與(1,2)時,k0,而當(dāng)ykx2過(0,2)與(1,2)時,k4,又k1,否則與yx1平行,不符合題意,結(jié)合圖形可知,當(dāng)k(0,1)(1,4)時,函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象恰有兩個交點.考點二函數(shù)與方程方法技巧(1)判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法:解方程f(x)0,直接求零點;利用零點存在性定理;數(shù)形結(jié)合法:通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題.(2)解由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題,關(guān)鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.5.已知函數(shù)f(x)lnx3,若函數(shù)yf(x)f(kx2)有兩個零點,則實數(shù)k的取值范圍是_.答案解析因為f(x)lnx3在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增,且是奇函數(shù),令yf(x)f(kx2)0,則f(x)f(kx2)f(x2k).由函數(shù)yf(x)f(kx2)有兩個零點,等價于方程x2xk0在區(qū)間(1,1)上有兩個不相等的根,令g(x)x2xk,則滿足解得k0.6.已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)kx2k有五個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍為_.答案解析當(dāng)x1時,f(x)呈現(xiàn)周期性.作函數(shù)y1f(x)和y2k(x2)的圖象.直線l:yk(x2)過定點A(2,0),點A與點B(5,1)連線的斜率kAB,點A與點C(6,1)連線的斜率kAC.由圖可知,要使兩函數(shù)圖象有五個交點,則kACkkAB,所以k.7.已知函數(shù)f(x)m|x|有三個零點,則實數(shù)m的取值范圍為_.答案(1,)解析函數(shù)f(x)有三個零點等價于方程m|x|有且僅有三個實根.m|x|x|(x2),作函數(shù)y|x|(x2)的圖象,如圖所示.由圖象可知m應(yīng)滿足01,故m1.8.已知函數(shù)f(x)若方程f(x)xa有2個不同的實根,則實數(shù)a的取值范圍是_.答案a|a1或0a1解析當(dāng)直線yxa與曲線ylnx相切時,設(shè)切點為(t,lnt),則切線斜率k(lnx)|xt1,所以t1,切點坐標(biāo)為(1,0),代入yxa,得a1.又當(dāng)x0時,f(x)xa(x1)(xa)0,所以當(dāng)a1時,lnxxa(x0)有1個實根,此時(x1)(xa)0(x0)有1個實根,滿足題意;當(dāng)a0)有2個實根,此時(x1)(xa)0(x0)有1個實根,不滿足題意;當(dāng)a1時,lnxxa(x0)無實根,此時要使(x1)(xa)0(x0)有2個實根,應(yīng)有a0且a1,即a0且a1,綜上得實數(shù)a的取值范圍是a|a1或0a1.考點三函數(shù)的綜合應(yīng)用方法技巧(1)函數(shù)實際應(yīng)用問題解決的關(guān)鍵是通過讀題建立函數(shù)模型,要合理選取變量,尋找兩個變量之間的關(guān)系.(2)基本初等函數(shù)與不等式的交匯問題是高考的熱點,突破此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的圖象尋求突破點.9.某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是_年.(參考數(shù)據(jù):lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)答案2019解析設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元,則y130(112%)n.依題意130(112%)n200,得1.12n.兩邊取對數(shù),得nlg 1.12lg 2lg 1.3,n,n4,從2019年開始,該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.10.已知函數(shù)f(x)ex1,g(x)x24x3,若存在f(a)g(b),則實數(shù)b的取值范圍為_.答案(2,2)解析函數(shù)f(x)ex1的值域為(1,),g(x)x24x3的值域為(,1,若存在f(a)g(b),則需g(b)1,即b24b31,所以b24b20,解得2b2.11.已知函數(shù)f(x)則f(x)f(x)1的解集為_.答案解析由f(x)求得f(x)所以f(x)f(x)當(dāng)1x1,解得1x;當(dāng)01,解得0x1的解集為.12.已知f(x)則f(x)2的解集是_.答案(0,4解析當(dāng)x0時,f(x)2,即2,可轉(zhuǎn)化為1x2x,得x;當(dāng)x0時,f(x)2,即2,可轉(zhuǎn)化為4,解得0x4.綜上可知不等式的解集為(0,4.1.如果函數(shù)ya2x2ax1(a0且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14,則a的值為_.答案或3解析令axt(t0),則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當(dāng)a1時,因為x1,1,所以t,又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增,所以ymax(a1)2214,解得a3(負值舍去);當(dāng)0a1時,因為x1,1,所以t,又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增,則ymax2214,解得a(負值舍去).綜上知a3或a.2.(2018全國改編)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是_.答案1,)解析令h(x)xa,則g(x)f(x)h(x).在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x),yh(x)圖象的示意圖,如圖所示.若g(x)存在2個零點,則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點,平移yh(x)的圖象可知,當(dāng)直線yxa過點(0,1)時,有2個交點,此時10a,a1.當(dāng)yxa在yx1上方,即a1時,僅有1個交點,不符合題意;當(dāng)yxa在yx1下方,即a1時,有2個交點,符合題意.綜上,a的取值范圍為1,).3.已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax,則a的取值范圍是_.答案2,0解析由y|f(x)|的圖象知,當(dāng)x0時,只有當(dāng)a0時,才能滿足|f(x)|ax.當(dāng)x0時,y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax,得x22xax.當(dāng)x0時,不等式為00成立.當(dāng)x0時,不等式等價于x2a.因為x22,所以a2.綜上可知,a2,0.4.(2018南京高淳區(qū)調(diào)研)已知f(x)若不等式f0對任意的恒成立,則整數(shù)的最小值為_.答案1解析因為函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),且f,所以不等式f0對任意的恒成立,等價于cos2sin對任意的恒成立,設(shè)sint,t0,1,則t2t0,當(dāng)t0時,R;當(dāng)t(0,1時,max,故,整數(shù)的最小值為1.解題秘籍(1)基本初等函數(shù)的圖象可根據(jù)特殊點及函數(shù)的性質(zhì)進行判定.(2)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),可使用換元法,解題中要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.(3)數(shù)形結(jié)合是解決方程、不等式的重要工具,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)要討論.1.設(shè)a20.3,b30.2,c70.1,則a,b,c的大小關(guān)系為_.答案cab解析由已知得a80.1,b90.1,c70.1,構(gòu)造冪函數(shù)yx0.1,根據(jù)冪函數(shù)yx0.1在區(qū)間(0,)上為增函數(shù),得ca0,且a1)滿足f(1),則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.答案2,)解析由f(1),得a2,解得a或a(舍去),即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(,2上單調(diào)遞減,在2,)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(,2上單調(diào)遞增,在2,)上單調(diào)遞減.3.函數(shù)f(x)|x2|lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為_.答案2解析由題意,函數(shù)f(x)的定義域為(0,),由函數(shù)零點的定義,f(x)在(0,)內(nèi)的零點即是方程|x2|lnx0的根.令y1|x2|,y2lnx(x0),在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象.由圖得兩個函數(shù)圖象有兩個交點,故方程有兩個根,即對應(yīng)函數(shù)有兩個零點.4.函數(shù)y(0x3)的值域是_.答案(e3,e解析y(0x3),當(dāng)0x3時,3(x1)211,e3e1,即e3ye,函數(shù)的值域是(e3,e.5.函數(shù)f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和為a,則a的值為_.答案解析當(dāng)a1時,由aloga21a,得loga21,所以a,與a1矛盾;當(dāng)0a1時,由1aloga2a,得loga21,所以a.6.已知函數(shù)f(x)設(shè)mn1,且f(m)f(n),則mf(m)的最小值為_.答案2解析當(dāng)1x1時,f(x)52x,f(0)5;當(dāng)x1時,f(x)15,f(4),1m4.mf(m)m2,當(dāng)且僅當(dāng)m時取等號.7.若函數(shù)f(x)aexx2a有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是_.答案(0,)解析函數(shù)f(x)aexx2a的導(dǎo)函數(shù)f(x)aex1,當(dāng)a0時,f(x)0).當(dāng)a時,g(a)單調(diào)遞增,當(dāng)a時,g(a)單調(diào)遞減,g(a)maxgln20,f(x)的最小值f0,函數(shù)f(x)aexx2a有兩個零點.綜上,實數(shù)a的取值范圍是(0,).8.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是_.a0,b0,c0;a0,c0;a0,c0;a0,b0,ct1)且t11,t21,當(dāng)t11時,t1f(x)有一解;當(dāng)t21時,t2f(x)有兩解.當(dāng)a1時,只有一個零點.綜上可知,當(dāng)a1時,函數(shù)g(x)f(f(x)a有三個不同的零點.11.設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點個數(shù)為_.答案2解析當(dāng)x0時,yf(f(x)1f(2x)1log22x1x1,令x10,則x1,顯然與x0矛盾,所以當(dāng)x0時,yf(f(x)1無零點.當(dāng)x0時,分兩種情況:當(dāng)x1時,log2x0,yf(f(x)1f(log2x)1log2(log2x)1,令log2(log2x)10,得log2x2,解得x4;當(dāng)0x1時,log2x0,yf(f(x)1f(log2x)11x1,令x10,解得x1.綜上,函數(shù)yf(f(x)1的零點個數(shù)為2.12.函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)2sinx在區(qū)間0,4上的所有交點為(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),則f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案解析如圖,畫出函數(shù)f(x)和g(x)在0,4上的圖象,可知有4個交點,并且關(guān)于點(2,0)對稱,所以y1y2y3y40,x1x2x3x48,所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.- 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