(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點一拋物線的簡單幾何性質(zhì)思考觀察下列圖形,思考以下問題:(1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形,分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別?(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍?答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較,有明顯的不同,橢圓是封閉曲線,有四個頂點,有兩個焦點,有中心;雙曲線雖然不是封閉曲線,但是有兩支,有兩個頂點,兩個焦點,有中心;拋物線只有一條曲線,一個頂點,一個焦點,無中心(2)由拋物線y22px(p0)有所以x0.梳理四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標(biāo)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy頂點坐標(biāo)O(0,0)離心率e1通徑長2p知識點二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù),即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù)當(dāng)k0時,若0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若0,直線與拋物線有一個公共點;若0,b.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x21,bb,由在直線yx3上,即b3,解得b2,聯(lián)立得解得1已知拋物線的對稱軸為x軸,頂點在原點,焦點在直線2x4y110上,則此拋物線的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案C解析在方程2x4y110中,令y0,得x,拋物線的焦點為F,設(shè)拋物線方程為y22px(p0),則,p11,拋物線的方程是y222x,故選C.2已知點A(2,3)在拋物線C:y22px的準(zhǔn)線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為()AB1CD考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案C解析因為拋物線C:y22px的準(zhǔn)線為x,且點A(2,3)在準(zhǔn)線上,故2,解得p4,所以y28x,所以焦點F的坐標(biāo)為(2,0),這時直線AF的斜率kAF.3若拋物線y22px(p0)上三個點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列,那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案A解析設(shè)三點為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則y2px1,y2px2,y2px3.因為2yyy,所以x1x32x2,即|P1F|P3F|2,所以|P1F|P3F|2|P2F|.4已知過拋物線y22px(p0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的長為8,則p_.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其他問題答案2解析設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),易知過拋物線y22px(p0)的焦點F,且傾斜角為45的直線的方程為yx,把xy代入y22px,得y22pyp20,y1y22p,y1y2p2.|AB|8,|y1y2|4,(y1y2)24y1y2(4)2,即(2p)24(p2)32.又p0,p2.5已知圓C:x2y26x8y210,拋物線y28x的準(zhǔn)線為l,設(shè)拋物線上任一點P到直線l的距離為m,則m|PC|的最小值為_考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用答案解析圓心C(3,4),由拋物線的定義知,m|PC|最小時為圓心與拋物線焦點(2,0)間的距離,即.1拋物線的中點弦問題用點差法較簡便2軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中,經(jīng)常遇到求定值、過定點問題解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化一、選擇題1.(2017嘉興一中期末)已知點A(0,2),拋物線C:y22px(p0)的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,若,則p的值等于()A.B2C4D8答案B2拋物線C:y22px(p0)的焦點為F,M是拋物線C上的點,O為坐標(biāo)原點,若OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且該圓的面積為36,則p的值為()A2B4C6D8考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑圓的面積為36,圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上,|OF|,6,p8.3拋物線yx2上的點到直線4x3y80的距離的最小值是()A.B.C.D3考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點求距離最小值問題答案A解析設(shè)拋物線yx2上一點為(m,m2),該點到直線4x3y80的距離為,當(dāng)m時,取得最小值為.4已知拋物線y22px(p0)的焦點為F,其上的三個點A,B,C的橫坐標(biāo)之比為345,則以|FA|,|FB|,|FC|為邊長的三角形()A不存在B必是銳角三角形C必是鈍角三角形D必是直角三角形考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析設(shè)A,B,C三點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x13k,x24k,x35k(k0),由拋物線定義,得|FA|3k,|FB|4k,|FC|5k,易知三者能構(gòu)成三角形,|FC|所對角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形5等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0),O為拋物線的頂點,OAOB,則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸,內(nèi)接AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對稱性,知直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p,2p)所以|AB|4p,所以SAOB4p2p4p2.6(2017牌頭中學(xué)期中)已知F為拋物線y2x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),2(其中O為坐標(biāo)原點),則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2B3C.D.答案B解析設(shè)點A的坐標(biāo)為(a2,a),點B的坐標(biāo)為(b2,b),直線AB的方程為xtym,與拋物線y2x聯(lián)立得y2tym0,故abm,由2得a2b2ab2,故ab2或ab1(舍去),所以m2,所以ABO的面積為m|ab|ab|,AFO的面積等于|a|,所以ABO與AFO的面積之和為23,當(dāng)且僅當(dāng),即|a|時“”成立,故選B.7已知拋物線y22px(p0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用答案B解析拋物線的焦點為F,所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx,即xy,代入y22px消去x,得y22pyp2,即y22pyp20,由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1,y2分別為點A,B的縱坐標(biāo)),所以拋物線方程為y24x,準(zhǔn)線方程為x1.二、填空題8已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線y24x的焦點,A是拋物線上一點,若4,則點A的坐標(biāo)是_考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案(1,2)或(1,2)解析拋物線的焦點為F(1,0),設(shè)A,則,由4,得y02,點A的坐標(biāo)是(1,2)或(1,2)9(2017嘉興一中期末)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點若|AF|3,則AOB的面積為_答案10已知在拋物線yx2上存在兩個不同的點M,N關(guān)于直線ykx對稱,則k的取值范圍為_考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線位置關(guān)系答案解析設(shè)M(x1,x),N(x2,x),兩點關(guān)于直線ykx對稱,顯然k0時不成立,即x1x2.設(shè)MN的中點為P(x0,y0),則x0,y0k4.又中點P在拋物線yx2內(nèi),42,即k2,k或k.三、解答題11(2017嘉興一中期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與拋物線y24x相交于不同的A,B兩點(1)如果直線l過拋物線的焦點,求的值;(2)如果4,證明直線l必過一定點,并求出該定點解(1)由題意知拋物線焦點坐標(biāo)為(1,0),設(shè)l:xty1,代入拋物線y24x,消去x,得y24ty40,16t2160,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24t,y1y24,x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設(shè)l:xtyb,代入拋物線y24x,消去x,得y24ty4b0,16t216b0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24t,y1y24b,x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4,b24b40,b2.直線l過定點(2,0)若4,則直線l必過一定點(2,0)12已知頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長為,求此拋物線的方程考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知弦長求拋物線的方程解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)由方程組消去y,得2x2axa0.直線與拋物線有兩個交點,(a)242a0,即a0或a8.設(shè)兩交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,|AB|.|AB|,即a28a480,解得a4或a12,所求拋物線的方程為x24y或x212y.13設(shè)拋物線C:y24x,F(xiàn)為C的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點(1)設(shè)l的斜率為2,求|AB|的值;(2)求證:是一個定值考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線的綜合問題(1)解依題意得F(1,0),直線l的方程為y2(x1)設(shè)直線l與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得x23x10,x1x23,x1x21.方法一|AB|5.方法二|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)證明設(shè)直線l的方程為xky1,直線l與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2)由消去x,整理得y24ky40,y1y24k,y1y24.(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143,是一個定值四、探究與拓展14已知直線l過拋物線y22px(p0)的焦點且與拋物線相交,其中一個交點為(2p,2p),則其焦點弦的長度為_考點拋物線中過焦點的弦長問題題點求拋物線的焦點弦長答案解析由題意,知直線l過和(2p,2p),所以直線l:y.設(shè)另一交點坐標(biāo)為(x1,y1),聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x12p,所以焦點弦的長度為x12pp.15已知拋物線y22x.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為,求拋物線上距離點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|;(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,0),求拋物線上的點到點A的距離的最小值d,并寫出df(a)的函數(shù)表達式考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線的綜合問題解(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|22y222x2.因為x0,且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大,所以當(dāng)x0時,|PA|min,故距離點A最近的點P的坐標(biāo)為(0,0),最短距離是.(2)同(1)求得|PA|2(xa)2y2(xa)22xx(a1)2(2a1)當(dāng)a10,即a1時,|PA|2a1,解得|PA|min,此時xa1;當(dāng)a10,即a1時,|PA|a2,解得|PA|min|a|,此時x0.所以df(a)- 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