2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 二 平行線分線段成比例定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx
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二平行線分線段成比例定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平行線分線段成比例定理.2.理解平行線分線段成比例定理的推論.3.能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾何計(jì)算問題和證明問題.知識(shí)鏈接1.對(duì)于成比例線段有下面的結(jié)論:(1)如果,那么ad_.(2)如果,那么_.(3)如果(ab,cd),那么_.提示bc2.如圖所示,l1l2l3,ABBC23,DF15,求DE,EF的長度.提示由已知可設(shè)DE2x,EF3x,則2x3x15,x3,DE6,EF9.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.平行線分線段成比例定理文字語言三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例符號(hào)語言abc,直線m分別與a,b,c相交于點(diǎn)A,B,C,直線n分別與a,b,c相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),則圖形語言作用證明分別在兩條直線上的線段成比例2.推論文字語言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例符號(hào)語言直線DE分別與ABC的兩邊AB,AC所在直線交于D,E,且DEBC,則圖形語言作用證明三角形中的線段成比例要點(diǎn)一平行線分線段成比例定理的理解例1如圖,已知線段AB,在線段AB上找一點(diǎn)C,使ACCB.解作法:(1)過點(diǎn)A作適當(dāng)射線AK;(2)在射線AK上依次截取點(diǎn)B1,B2,B3,使AB1B1B2B2B3;(3)連接BB3;(4)過B1作B1CBB3交AB于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.證明如下:B1CBB3,.又AB33AB1,.即ACCB.規(guī)律方法可應(yīng)用平行線分線段成比例定理來作圖,由于ACCB,所以C為線段AB的三等分點(diǎn),于是作射線AK,然后在AK上依次截取AB1B1B2B2B3,連接B3B.過B1作B1CB3B,即得到點(diǎn)C.跟蹤演練1如圖,D,E,F(xiàn)分別在AB,AC,BC上,且DEBC,DFAC,則下列等式成立的是()A.B.C.D.解析DEBC,.又DFAC,.由知,即,.答案D要點(diǎn)二平行線分線段成比例定理及推論的簡單應(yīng)用例2如圖所示,已知直線FD和ABC的BC邊交于D,與AC邊交于E,與BA的延長線交于F,且BDDC.求證:AEFBECFA.證明法一如圖所示,過A作AGBC,交DF于點(diǎn)G.AGBC,.又BDDC,.又由AGBC,得.,即AEFBECFA.法二如圖所示,過點(diǎn)B作BMAC交FD的延長線于M.AEBM,.又由BMEC,知34,又12且BDDC,EDCMDB,BMEC.,即AEFBECFA.規(guī)律方法在利用平行線分線段成比例定理及推論解決問題時(shí),常常在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形(有時(shí)需添加輔助線,構(gòu)成基本圖形),借圖解題.本題證AEFBECFA.可先證比例式,構(gòu)造含平行線的基本圖形,利用平行線分線段成比例定理及其推論進(jìn)行證明.跟蹤演練2如圖所示,l1l2l3.求證:.證明l1l2l3,.要點(diǎn)三平行線分線段成比例定理及推論的綜合應(yīng)用例3如圖所示,在ABC中,CDAB于D,E為BC邊中點(diǎn),延長AC,DE相交于點(diǎn)F.求證:.證明作EHAB交AC于點(diǎn)H,同理可證:,.BDC為直角三角形且E為BC邊中點(diǎn),BECEDE,.規(guī)律方法通過添加輔助線,構(gòu)造基本圖形,借圖尋找合適的等量關(guān)系,再結(jié)合其他知識(shí)綜合利用,以解決問題.跟蹤演練3如圖所示,四邊形ABCD為平行四邊形,過B的直線分別交AC,AD,CD的延長線于O,F(xiàn),E.求證:OB2OFOE.證明ABCE,.又AFBC,.ABDE,.由得,即.由得,又由得.即OB2OEOF.1.比例的性質(zhì)這是學(xué)好本節(jié)的前提.(1)基本性質(zhì)abcdadbc.(2)合比性質(zhì):如果,那么.(3)等比性質(zhì):如果(bdn0),那么.2.利用平行線轉(zhuǎn)移比例式是常用的證題技巧,當(dāng)題目中沒有平行條件而有必要轉(zhuǎn)移比例式時(shí),常添加輔助平行線.添加的輔助線不同,解題方法也不相同.3.推論的圖形變化如圖所示.1.如圖所示,ABCD,AC,BD交于O,BO7,DO3,AC25,則AO的長為()A.10 B.7.5C.15 D.17.5解析ABCD,.,即,AO17.5.答案D2.如圖,l1l2l3,已知AB6 cm,BC3 cm,A1B14 cm,則B1C1的長為()A.6 cm B.4 cm C.3cm D.2 cm解析l1l2l3,B1C12.答案D3.如圖,E是ABCD的邊AB延長線上的一點(diǎn),且,則_.解析由已知:BFAD,1,又ABDC,.答案4.如圖所示,DEBC,EFDC.求證:AD2AFAB.證明在ABC中,DEBC,.在ADC中,EFDC,即AD2AFAB.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示,ACE的中點(diǎn)B,D分別在AC,AE上,下列推理不正確的是()A.BDCEB.BDCEC.BDCED.BDCE解析由平行線等分線段定理的推論,易知A,B,C都正確,D錯(cuò).答案D2.如圖所示,AD是ABC的中線,點(diǎn)E是CA邊的三等分點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,則AFFD為()A.21 B.31 C.41 D.51解析過D作DGAC交BE于G,則DGEC,又AE2EC,AFFDAEDG2ECEC41.答案C3.如圖所示,在梯形ABCD中,BCAD,E是DC延長線上一點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,下列結(jié)論:;.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析BCAD,對(duì),對(duì),故也對(duì).錯(cuò).答案C4.如圖所示,在ABC中,DEBC,EFCD,若BC3,DE2,DF1,則AB的長為_.解析DEBC,EFCD,BC3,DE2,又DF1,故可解得AF2,AD3,又,AB.答案5.如圖,在ABC中,DEBC,DFAC,AE2,EC1,BC4,則BF_.解析DFAC,.BF4.答案6.如圖所示,在ABCD中,H,E分別是AD,AB延長線上一點(diǎn),HE交DC于K,交AC于G,交BC于F.求證:GHGKGEGF.證明要證GHGKGEGF,即證.由ADBC得,由ABCD得,即GHGKGEGF.7.如圖所示,已知有ABCD,點(diǎn)N是AB延長線上一點(diǎn),DN交BC于點(diǎn)M,則為()A.B.1 C.D.解析由CDBN得,又四邊形ABCD為平行四邊形,故ABCD,1.答案B二、能力提升8.如圖所示,ABGHCD,AB2,CD3,則GH的長是_.解析ABGH,GHCD,1,GH.答案9.如圖,在梯形ABCD中,ABCD,AB4,CD2,E,F(xiàn)分別為AD,BC上的點(diǎn),且EF3,EFAB,則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_.解析EFAB,且EF3(ABCD),EF是梯形中位線,設(shè)梯形ABFE的高為h,S梯形ABFE(43)hh,S梯形EFCD(23)hh,S梯形ABFES梯形EFCDhh.答案10.已知ADEFBC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,AEBE23,AD10 cm,BC15 cm,求EF的長.解如圖,連接BD交EF于點(diǎn)G.,.ADEFBC,.BC15 cm,GF6 cm.同理可得EG6 cm.EFEGGF12 cm.11.如圖所示,BDDC53,E為AD的中點(diǎn),求BEEF的值.解過D作DGCA交BF于G,則.E為AD的中點(diǎn),DGAF,DGEAFE,EGEF.2.故11.三、探究與創(chuàng)新12.在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,過點(diǎn)C任作一直線與邊AB及AD分別交于點(diǎn)F,E.(1)如圖(1)所示,DGCF交AB于點(diǎn)G,當(dāng)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí),求證:;(2)如圖(2)所示,當(dāng)時(shí),求證:;(3)如圖(3)所示,當(dāng)時(shí),猜想:與之間是否存在著一定的數(shù)量關(guān)系?若存在,請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系式,并給出證明過程;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明DGCF,BDDC,BGFGBF.EFDG,.(2)證明過點(diǎn)D作DGCF交AB于點(diǎn)G,如題圖(2)所示,.又,DC2BDBC.DGFC,.FGBF.(3)解當(dāng)時(shí),有關(guān)系式:.證明如下:如題圖(3)所示,過點(diǎn)D作DGCF交AB于點(diǎn)G,.又,DGFC,F(xiàn)GBF,.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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