(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 第5練 數(shù)學(xué)文化精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第5練數(shù)學(xué)文化明晰考情1.命題角度:近幾年,為充分發(fā)揮高考的育人功能和積極導(dǎo)向作用,在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容,內(nèi)容不拘一格,古今中外文化兼有.2.題目難度:中檔難度.考點(diǎn)一算法、數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化方法技巧(1)和算法結(jié)合的數(shù)學(xué)文化,要讀懂程序框圖,按程序框圖依次執(zhí)行.(2)數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)列問(wèn)題,要尋找數(shù)列前幾項(xiàng),尋找規(guī)律,抽象出數(shù)列模型.1.如圖所示的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a為()A.4B.2C.0D.14答案B解析由題意可知輸出的a是18,14的最大公約數(shù)2,故選B.2.(2018石嘴山模擬)張邱建算經(jīng)是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作,書(shū)中有一道題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為()A.B.C.D.答案B解析依題意設(shè)每天多織d尺,依題意得S30305d390,解得d.3.(2018葫蘆島模擬)20世紀(jì)70年代,流行一種游戲角谷猜想,規(guī)則如下:任意寫(xiě)出一個(gè)自然數(shù)n,按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換:如果n是個(gè)奇數(shù),則下一步變成3n1;如果n是個(gè)偶數(shù),則下一步變成,這種游戲的魅力在于無(wú)論你寫(xiě)出一個(gè)多么龐大的數(shù)字,最后必然會(huì)落在谷底,更準(zhǔn)確的說(shuō)是落入底部的421循環(huán),而永遠(yuǎn)也跳不出這個(gè)圈子,下面程序框圖就是根據(jù)這個(gè)游戲而設(shè)計(jì)的,如果輸出的i值為6,則輸入的n值為()A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案C解析當(dāng)n5時(shí),執(zhí)行程序框圖,i1,n16,i2,n8,i3,n4,i4,n2,i5,n1,i6,結(jié)束循環(huán),輸出i6;當(dāng)n32時(shí),執(zhí)行程序框圖,i1,n16,i2,n8,i3,n4,i4,n2,i5,n1,i6,結(jié)束循環(huán),輸出i6.易知當(dāng)n4時(shí),不符合,故n5或n32,故選C.4.名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題:松長(zhǎng)五尺,竹長(zhǎng)兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長(zhǎng)等,如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖,若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的n等于()A.2B.3C.4D.5答案C解析當(dāng)n1時(shí),a,b4,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n2時(shí),a,b8,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n3時(shí),a,b16,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n4時(shí),a,b32,不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,退出循環(huán).故輸出的n值為4.5.九章算術(shù)第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位,遞減的比例為40%.今共有糧m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為()A.20%,369B.80%,369C.40%,360D.60%,365答案A解析設(shè)“衰分比”為a,甲衰分得b石,由題意,得解得b125,a20%,m369.6.(2018浙江)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問(wèn)題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z81時(shí),x_,y_.答案811解析方法一由題意,得即解得方法二1008119(只),81327(元),1002773(元).假設(shè)剩余的19只雞全是雞翁,則51995(元).因?yàn)?57322(元),所以雞母:22(53)11(只),雞翁:19118(只).考點(diǎn)二三角函數(shù)與幾何中的數(shù)學(xué)文化方法技巧從題目敘述中分析蘊(yùn)含的圖形及數(shù)量關(guān)系,通過(guò)分析圖形特征建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或幾何問(wèn)題.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)在“勾股”一章中有如下數(shù)學(xué)問(wèn)題:“今有勾八步,股十五步,勾中容圓,問(wèn)徑幾何?”.意思是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是8步和15步,則其內(nèi)切圓的直徑是多少步?則此問(wèn)題的答案是()A.3步B.6步C.4步D.8步答案B解析由于該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是8和15,則得其斜邊長(zhǎng)為17,設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r,則有815(等積法),解得r3,故其直徑為6步.8.如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為4,大正方形的面積為100,直角三角形中較小的銳角為,則tan等于()A.B.C.5D.答案A解析由題意得,大正方形的邊長(zhǎng)為10,小正方形的邊長(zhǎng)為2,210cos10sin,cossin,又為銳角,易求得tan.9.(2018全國(guó))中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示,由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.10.我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理:“冪勢(shì)即同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高,意思是兩等高幾何體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為()A.4B.8C.8D.82答案C解析由三視圖知,該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱.V正方體238,V半圓柱(12)2,三視圖對(duì)應(yīng)幾何體的體積V8.根據(jù)祖暅原理,不規(guī)則幾何體的體積VV8.11.(2018蚌埠模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著張邱建算經(jīng)中有如下問(wèn)題:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺,問(wèn)高幾何?”意思是:現(xiàn)在有粟米250斛,把它們自然地堆放在平地上,形成一個(gè)圓錐形的谷堆,其底面周長(zhǎng)為5丈4尺,則谷堆的高為多少?(注:1斛1.62立方尺,3)若使該問(wèn)題中的谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩,則該外罩的直徑約為()A.5尺B.9尺C.10.6尺D.21.2尺答案D解析設(shè)谷堆的高為h尺,底面半徑為r尺,則2r54,r9.粟米250斛,則體積為2501.6292h,h5.谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩,設(shè)球的半徑為R尺.則R2(hR)2r2,解得R10.6(尺).2R21.2(尺).12.衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng),給出下列式子:a1c1a2c2;a1c1a2c2;a1c2.其中正確的式子的序號(hào)是()A.B.C.D.答案D解析由題圖知2a12a2,2c12c2,即a1a2,c1c2,a1c1a2c2,不正確.a1c1|PF|,a2c2|PF|,a1c1a2c2,正確.a1a20,c1c20,aa,cc.又a1c1a2c2,即a1c2a2c1,即ac2a1c2ac2a2c1,acca2a1c22a2c1,即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1,整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1,a1a2,c1c2,2a1c2a1c2,正確.c1a2a1c2,a10,a20,即,不正確.故選D.考點(diǎn)三概率、統(tǒng)計(jì)與推理證明中的數(shù)學(xué)文化方法技巧(1)概率、統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)文化的結(jié)合,關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.(2)推理證明和實(shí)際問(wèn)題結(jié)合,要根據(jù)已知條件進(jìn)行邏輯推理,得到相應(yīng)結(jié)論.13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B解析由系統(tǒng)抽樣的含義,該批米內(nèi)夾谷約為1534169(石).14.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系,如詩(shī)中有回文詩(shī):“兒憶父兮妻憶夫”,既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù),如343,12521等,兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33,99共9個(gè),則三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率是()A.B.C.D.答案B解析三位數(shù)的回文數(shù)為ABA,A共有1到9共9種可能,即1B1,2B2,3B3,B共有0到9共10種可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,共有91090(個(gè));其中偶數(shù)為A是偶數(shù),共4種可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,B共有0到9共10種可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,其有41040(個(gè)),三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率P.15.(2018永州模擬)我國(guó)的洛書(shū)中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方:將1,2,9填入33的方格內(nèi),使三行、三列、兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15 (如圖).一般地,將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,n2填入nn的方格內(nèi),使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做n階幻方.記n階幻方的一條對(duì)角線上數(shù)的和為Nn (如:在3階幻方中,N315),則N10等于()492357816A.1020B.1010C.510D.505答案D解析n階幻方共有n2個(gè)數(shù),其和為12n2,n階幻方共有n行,每行的和為,即Nn,N10505.16.(2018貴港市聯(lián)考)九章算術(shù)勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題:“今有池方一丈,葭生其中央,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何.”其意思是:有一水池一丈見(jiàn)方,池中心生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊(如圖所示),問(wèn)水有多深,該植物有多長(zhǎng)?其中一丈為十尺.若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示,設(shè)水深為x尺,由題意得(x2)2x252,求解關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程,可得x,即水深為尺,又葭長(zhǎng)為尺,則所求問(wèn)題的概率為P.故選A.17.(2018北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)廟會(huì)是我國(guó)古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng),又稱“廟市”或“節(jié)場(chǎng)”.廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行.廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂(lè)活動(dòng),如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一顆金蛋,如果有獎(jiǎng)品,則“中獎(jiǎng)”).今年春節(jié)期間,某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來(lái)到某廟會(huì),每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì).游戲開(kāi)始前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如下:甲說(shuō):“我或乙能中獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“丁能中獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“我或乙能中獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“甲不能中獎(jiǎng)”.游戲結(jié)束后,這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng),且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的,則中獎(jiǎng)的同學(xué)是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A解析由四人的預(yù)測(cè)可得下表:中獎(jiǎng)人預(yù)測(cè)結(jié)果甲乙丙丁甲乙丙丁由分析可知,中獎(jiǎng)?wù)呤羌?1.南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍張邱建算經(jīng)有如下一道題:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中間三人未到者,亦依等次更給.問(wèn):每等人比下等人多得幾斤?”()A.B.C.D.答案B解析設(shè)第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此類推,第一等人得金a10斤,則數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則每一等人比下一等人多得d斤金,由題意得即解得d,每一等人比下一等人多得斤金.2.(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的四元玉鑒卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有如下問(wèn)題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,問(wèn)筑堤幾日”.其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開(kāi)始每天派出的人數(shù)比前一天多7人,修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升,共發(fā)出大米40392升,問(wèn)修筑堤壩多少天”,在該問(wèn)題中前5天共分發(fā)了多少升大米?()A.1170B.1380C.3090D.3300答案D解析設(shè)第n天派出的人數(shù)為an,則an是以64為首項(xiàng),7為公差的等差數(shù)列,則第n天修筑堤壩的人數(shù)為Sna1a2an64n7,所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1S2S3S4S5)3(12345)64(13610)73300(升).3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請(qǐng)問(wèn)第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里答案B解析設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,由題意得378,解得a1192,則a219296,即第二天走了96里,故選B.4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是()(注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于十寸)A.1寸B.2寸C.3寸D.4寸答案C解析如圖,由題意可知,天池盆上底面半徑為14寸,下底面半徑為6寸,高為18寸.積水深9寸,水面半徑為(146)10(寸),則盆中水的體積為9(62102610)588(立方寸).平地降雨量等于3(寸).故選C.5.(2018吉林調(diào)研)算法統(tǒng)宗是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位所著,該作完善了珠算口訣,確立了算盤用法,完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變,該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走,提壺去買酒。遇店加一倍,見(jiàn)花喝一斗,三遇店和花,喝光壺中酒。借問(wèn)此壺中,原有多少酒?”,如圖為該問(wèn)題的程序框圖,若輸出的S值為0,則開(kāi)始輸入的S值為()A.B.C.D.答案C解析模擬程序的運(yùn)行,可得當(dāng)i1時(shí),S2S1,i1滿足條件i3,執(zhí)行循環(huán)體;當(dāng)i2時(shí),S2(2S1)1,i2滿足條件i3,執(zhí)行循環(huán)體;當(dāng)i3時(shí),S22(2S1)11,i3不滿足條件i0),即1x,即x2x10,解得x,故1.11.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,如此繼續(xù),若共得到4095個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為,則最小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi).答案解析依題意,正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.因?yàn)楣灿?095個(gè)正方形,則12222n14095,所以n12.所以最小正方形的邊長(zhǎng)為12112.12.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面用點(diǎn)或小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù),將三角形數(shù)1,3,6,10,記為數(shù)列an,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn.可以推測(cè):(1)b2012是數(shù)列an中的第_項(xiàng);(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5030(2)解析由題意可得an123n,nN*,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15,由上述規(guī)律可知,b2ka5k(kN*),b2k1a5k1,故b2012b21006a51006a5030,即b2012是數(shù)列an中的第5030項(xiàng).- 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