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章末綜合測評(三)　導數(shù)及其應用 (時間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在題中橫線上．) 1．質點運動規(guī)律s＝t2＋3，則在時間(3,3＋Δt)中，質點的平均速度等于________． 【解析】　平均速度為＝＝6＋Δt. 【答案】　6＋Δt 2．若f′(x0)＝－3，則當h→0時，趨于常數(shù)________. 【導學號：95902262】 【解析】　 ＝4. ∵f′(x0)＝－3，∴當h→0時，趨于－3，故當h→0時，趨于－12. 【答案】　－12 3．已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________． 【解析】　f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3. 【答案】　3 4．已知曲線f(x)＝x2＋2x－2在點M處的切線與x軸平行，則點M的坐標是________． 【解析】　∵f′(x)＝2x＋2，由f′(x)＝0得x＝－1，又f(－1)＝1－2－2＝－3，∴點M的坐標為(－1，－3)． 【答案】　(－1，－3) 5．函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為__________. 【導學號：95902263】 【解析】　由題知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函數(shù)解析式可得極值點的坐標為，又極值點處的切線為平行于x軸的直線，故方程為y＝－. 【答案】　y＝－ 6．下列結論①(sin x)′＝－cos x；②＝；③(log3x)′＝；④(x2)′＝；⑤＝，其中正確的有________(填序號)． 【解析】　由于(sin x)′＝cos x，故①錯誤；由于＝－，故②錯誤； 由于(log3x)′＝，故③錯誤；由于x2＝2x，故④錯誤；由于＝－＝，所以⑤正確． 【答案】?、? 7．函數(shù)y＝excos x在內的單調增區(qū)間是________． 【解析】　y′＝ex(cos x－sin x)，當x∈時cos x＞sin x，y′＞0，∴函數(shù)y＝excos x在內的單調增區(qū)間為. 【答案】　 8．函數(shù)f(x)＝ex(sin x＋cos x)在區(qū)間上的值域為________. 【導學號：95902264】 【解析】　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x， 當0≤x≤時，f′(x)≥0，∴f(x)故上單調遞增． ∴f(x)的最大值在x＝處取得，f＝e， f(x)的最小值在x＝0處取得，f(0)＝.∴函數(shù)值域為. 【答案】　 9．已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－4,6]內可導，其圖象如圖1，記y＝f(x)的導函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為________． 圖1 【解析】　不等式f′(x)≤0的解集即為函數(shù)y＝f(x)的減區(qū)間，由題圖知y＝f(x)的減區(qū)間為，，故f′(x)≤0的解集為∪. 【答案】　 ∪ 10．如圖2，是y＝f(x)的導函數(shù)的圖象，現(xiàn)有四種說法： ①f(x)在(－2，－1)上是增函數(shù)； ②x＝－1是f(x)的極小值點； ③f(x)在(－1,2)上是增函數(shù)； ④x＝2是f(x)的極小值點． 以上說法正確的序號是________(填序號)． 圖2 【解析】　由函數(shù)的圖象可知：f′(－2)＜0，f′(－1)＝0，f(x)在(－2，－1)上是減函數(shù)，①不正確；x＝－1時f′(1)＝0，函數(shù)在(－3，－1)遞減，在(－1,2)單調遞增，所以x＝－1是f(x)的極小值點，所以②正確；f(x)在(－1，2)上f′(x)＞0，所以函數(shù)在(－1,2)上是增函數(shù)，所以③正確；函數(shù)在(－1,2)單調遞增，在(2,4)單調遞減，所以x＝2是f(x)的極大值點，所以④不正確． 【答案】?、冖? 11．已知f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，若f(x)在R上的極值點分別為m，n，則m＋n的值為________. 【導學號：95902265】 【解析】　∵f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，∵f(x)在R上的極值點分別為m，n，則m，n為f′(x)＝0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，m＋n＝－＝2，∴m＋n的值為2. 【答案】　2 12．若a＞2，則函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間(0,2)上恰好有________個零點． 【解析】　∵f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a，又a＞2，∴2a＞4.當x∈(0,2)時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減，又f(0)＝1，f(2)＝－4a＋1＝－4a，由a＞2知f(2)＜0，∴函數(shù)f(x)在(0,2)上只有1個零點． 【答案】　1 13．對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則f(0)＋f(2)與2f(1)的大小關系為________． 【解析】　依題意，當x≥1時，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)； 當x＜1時，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，故當x＝1時，f(x)取得極小值也為最小值，即有f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1)． 【答案】　f(0)＋f(2)≥2f(1) 14．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x＋m的圖象不經(jīng)過第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是________. 【導學號：95902266】 【解析】　f′(x)＝x2＋x－2.令f′(x)＝0，解得x＝－2或1，則f(x)在(0,1)內單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，∴x＝1是極小值點．∵f(x)的圖象不經(jīng)過第四象限，即當x＞0時，f(x)≥0.∴f(1)＝＋－2＋m≥0，∴m≥. 【答案】　m≥ 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) 15．(本小題滿分14分)已知函數(shù)y＝ax3＋bx2，當x＝1時，有極大值3. (1)求a，b的值； (2)求函數(shù)y的極小值． 【解】　(1)y′＝3ax2＋2bx，當x＝1時，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3， 即，解得：a＝－6，b＝9. (2)由(1)得y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1 當x＞1或x＜0時，y′＜0，函數(shù)在(－∞，0)，(1，＋∞)內單調遞減；當0＜x＜1時，y′＞0，函數(shù)在(0,1)單調遞增． ∴y極小值＝y(tǒng)|x＝0＝0. 16．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的單調遞減區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值. 【導學號：95902267】 【解】　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3， 所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a. 因為f(x)在區(qū)間[－1,2]上，所以f′(x)＞0，所以f(x)在區(qū)間[－1,2]上單調遞增， 因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最小值為－7. 17．(本小題滿分14分)設函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)． (1)當a＝1時，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值為，求a的值． 【解】　函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f′(x)＝－＋a. (1)當a＝1時，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去) 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)，單調遞減區(qū)間為(，2)． (2)當x∈(0,1]時，f′(x)＝＋a＞0， 即f(x)在(0,1]上單調遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝. 18．(本小題滿分16分)一火車鍋爐每小時煤的消耗費用與火車行駛速度的立方成正比，已知當速度為20 km/h時，每小時消耗的煤價值40元，其他費用每小時需400元，火車的最高速度為100 km/h，火車以何速度行駛才能使從甲城開往乙城的總費用最少？ 【解】　設火車的速度為x km/h，甲、乙兩城距離為a km.由題意，令40＝k203，∴k＝， 則總費用f(x)＝(kx3＋400)＝a＝a(0＜x≤100)． 由f′(x)＝＝0，得x＝20. 當0＜x＜20時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當20＜x≤100時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增． ∴當x＝20時，f(x)取極小值也是最小值，即速度為20 km/h時，總費用最少． 19．(本小題滿分16分)已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a)． (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)設g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值，試寫出g(a)的表達式. 【導學號：95902268】 【解】　(1)由題意知函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，f′(x)＝＋＝(x＞0) ①若a≤0，則f ′(x)＞0，故f(x)有單調遞增區(qū)間[0，＋∞)； ②若a＞0，令f ′(x)＝0，得x＝.當0＜x＜時，f ′(x)＜0，當x＞時，f ′(x)＞0. 故f(x)有單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間. 由于函數(shù)在某一點處沒有增減性， 故函數(shù)的單調區(qū)間的情況為： 若a≤0，f(x)有單調遞增區(qū)間[0，＋∞)； 若a＞0，f(x)有單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間. (2)①若a≤0，f(x)在[0,2]上單調遞增，所以g(a)＝ f(0)＝0. ②若0＜a＜6，f(x)在[0， ]上單調遞減，在上單調遞增， 所以g(a)＝f＝－. ③若a≥6，f(x)在[0,2]上單調遞減， 所以g(a)＝f(2)＝(2－a)． 綜上所述，g(a)＝ 20．(本小題滿分16分)已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋c(c＜4)，其導函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖3所示，函數(shù)f(x)＝8ln x＋h(x)． 圖3 (1)求a，b的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍； (3)若對任意k∈[－1,1]，x∈(0,8]，不等式(k＋1)x≥f(x)恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 【解】　(1)h′(x)＝2ax＋b，由h′(5)＝0，h′(0)＝－10，解得a＝1，b＝－10. (2)f(x)＝8ln x＋x2－10x＋c，則f′(x)＝＋2x－10＝， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝4，列表如下： x (0,1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ 因f(x)在區(qū)間是單調增函數(shù)， 所以?(0,1)或?(4，＋∞)， 所以或m≥4， 所以實數(shù)m的取值范圍為∪[4，＋∞)． (3)由(k＋1)x≥f(x)在x∈(0,8]恒成立， 整理得k≥＋x－11＋對任意k∈[－1,1]恒成立， 所以應有－1≥＋x－11＋恒成立， 即c≤－8ln x－x2＋10x對x∈(0,8]恒成立， 設g(x)＝－8ln x－x2＋10x，x∈(0,8]， 則g′(x)＝－－2x＋10＝－. 令g′(x)＝0，得x＝1或x＝4，列表如下： x (0,1) 1 (1,4) 4 (4,8) 8 g′(x) － 0 ＋ 0 － 0 g(x) ↘ 極小值g(1) ↗ 極大值g(4) ↘ 16－8ln 8 g(1)－g(8)＝9－16＋8ln 8＝8ln 8－7＞8ln 8－8＝8(ln 8－1)＞0， 所以g(x)在x∈(0,8]的最小值為g(8)＝16－8ln 8，又c＜4， 16－8ln 8－4＝12－8ln 8＜12－8ln e2＝12－16＜0， 所以實數(shù)c的取值范圍是(－∞，16－8ln 8]．