(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第2課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).3.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系思考類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定,你能給出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判定嗎?答案當(dāng)P在橢圓外時(shí),1;當(dāng)P在橢圓上時(shí),1;當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí),b0),則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示:位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)b0)相交,兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦,線段AB的長(zhǎng)度叫做弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式:|AB|,其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到(1)若直線的斜率一定,則當(dāng)直線過(guò)橢圓的中心時(shí),弦長(zhǎng)最大()(2)直線y1被橢圓y21截得的弦長(zhǎng)為.()(3)已知橢圓1(ab0)與點(diǎn)P(b,0),過(guò)點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線()(4)直線yk(xa)與橢圓1的位置關(guān)系是相交()類型一點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷命題角度1點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷例1已知點(diǎn)P(k,1),橢圓1,點(diǎn)在橢圓外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案解析由題可知1,解得k.引申探究若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1,k)”呢?答案解析由1,解得k2,即k.反思與感悟處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問(wèn)題,注意求解過(guò)程與結(jié)果的準(zhǔn)確性跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)(3,2)在橢圓1(ab0)上,則()A點(diǎn)(3,2)不在橢圓上B點(diǎn)(3,2)不在橢圓上C點(diǎn)(3,2)在橢圓上D以上都不正確考點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案C解析由已知,得1,只有選項(xiàng)C正確命題角度2直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例2對(duì)不同的實(shí)數(shù)m,討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解由消去y,得5x28mx4m240,(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)m時(shí),0,直線與橢圓相交;當(dāng)m或m時(shí),0,直線與橢圓相切;當(dāng)m或m時(shí),0,直線與橢圓相離反思與感悟判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí),準(zhǔn)確計(jì)算出判別式是解題關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解由已知條件知直線l的方程為ykx,代入橢圓方程得(kx)21,整理得x22kx10,直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220,解得k或k,所以k的取值范圍為.類型二弦長(zhǎng)問(wèn)題例3已知橢圓4x25y220的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,a,b2,c1,直線l的方程為yx1(不失一般性,設(shè)l過(guò)左焦點(diǎn))由消去y,得9x210x150.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,|AB|x1x2|.反思與感悟求解弦長(zhǎng)時(shí),需正確記憶公式內(nèi)容,其次,準(zhǔn)確得到x1x2和x1x2的值跟蹤訓(xùn)練3橢圓1(ab0)的離心率為,且橢圓與直線x2y80相交于P,Q兩點(diǎn),若|PQ|,求橢圓方程考點(diǎn)由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解e,b2a2,橢圓方程為x24y2a2,與x2y80聯(lián)立消去y,得2x216x64a20,由0,得a232,由弦長(zhǎng)公式,得10642(64a2),a236,b29,橢圓方程為1.類型三橢圓中的最值(或范圍)問(wèn)題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解(1)由消去y,得5x22mxm210,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),所以4m220(m21)0,解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),由(1)知,5x22mxm210,所以x1x2,x1x2(m21),所以|AB|.所以當(dāng)m0時(shí),|AB|最大,此時(shí)直線方程為yx.反思與感悟求最值問(wèn)題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問(wèn)題,一般通過(guò)橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問(wèn)題,一般通過(guò)二次函數(shù)的最值求解,此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問(wèn)題,一般通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題解決(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓1上,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),|1,且0,求|的最小值考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解由|1,A(3,0),知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng),PMAM,即PM為A的切線,連接PA(如圖),則|,當(dāng)|minac532時(shí),|min.1若直線l:2xby30過(guò)橢圓C:10x2y210的一個(gè)焦點(diǎn),則b的值是()A1BC1或1D或考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案C解析易知橢圓x21的焦點(diǎn)為F1(0,3),F(xiàn)2(0,3),所以b1或1.2已知橢圓的方程是x22y240,則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在,設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線方程為yk(x1)1,即ykx1k.由消去y,得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20,所以1,解得k,所以所求直線方程為yx,即x2y30.3(2017牌頭中學(xué)期中)設(shè)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析方法一由題意知F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),P,PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2,|F1F2|F2P|,即2c,整理得y23c22a2.y20,3c22a20,即3e220,解得e.又0e1,e的取值范圍是.方法二設(shè)直線x與x軸交于M點(diǎn),則|F1F2|F2P|MF2|,即2cc,整理得e21,又0e1,e0,解得m1或m0且m3,m1且m3.6已知A,B是橢圓1(ab0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),M,N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2(k1k20),若橢圓的離心率為,則|k1|k2|的最小值為()A1B.C.D.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題答案A解析設(shè)M(x,y),N(x,y)(axa),則k1,k2,又因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,|k1|k2|21,故選A.7已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12,直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1),則直線l的斜率為()A.B.C.D.1考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案C解析因?yàn)闄E圓1的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12,所以解得a2,b,所以橢圓的方程為1,因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1),所以設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24,y1y22,又因?yàn)閮墒较鄿p,得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0,所以(x1x2)(y1y2)0,所以直線l的斜率為k,故選C.二、填空題8(2017牌頭中學(xué)期中)過(guò)橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1),且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是_答案3x4y130解析設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),由于A,B兩點(diǎn)均在橢圓上,故1,1,兩式相減得0.又P是A,B的中點(diǎn),x1x26,y1y22,kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.9若直線mxny4與圓x2y24沒有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題答案2解析因?yàn)橹本€mxny4與圓x2y24沒有交點(diǎn),所以2,所以m2n20)與線段AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)若6,則k的值為_考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案或解析依題意得橢圓的方程為y21,直線AB,EF的方程分別為x2y2,ykx(k0)如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x12),其離心率為,故,解得a4,故橢圓C2的方程為1.(2)若將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入到y(tǒng)21中,得(14k2)x24,所以x.將ykx代入到1中,得(4k2)x216,所以x.又由2,得x4x,即,解得k1.故直線AB的方程為xy0或xy0.13已知橢圓1(ab0)的離心率為,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為1.(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上異于O,F(xiàn)的一個(gè)定點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),使得|AC|BC|,并說(shuō)明理由考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解(1)由已知可得解得b1,橢圓的方程為y21.(2)由(1)得F(1,0),0m1.假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)l為yk(x1),代入到y(tǒng)21中,得(2k21)x24k2x2k220.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,y1y2k(x1x22).設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則M.|AC|BC|,CMAB,即kCMkAB1,2mk0等價(jià)于(12m)k2m,當(dāng)0m時(shí),k ,即存在滿足條件的直線l;當(dāng)m1時(shí),k不存在,即不存在滿足條件的直線l.四、探究與拓展14已知橢圓C:y21的右焦點(diǎn)為F,直線l:x2,點(diǎn)Al,線段AF交C于點(diǎn)B,若3,則|_.考點(diǎn)由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì)答案解析設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0)由橢圓C:y21,知a22,b21,所以c21,即c1,所以右焦點(diǎn)F(1,0),所以由3得(1,n)3(x01,y0),所以13(x01)且n3y0,所以x0,y0n.將x0,y0代入到y(tǒng)21中,得221,解得n21,所以|.15已知橢圓E:1(ab0)過(guò)點(diǎn)P(2,),且它的離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)與圓(x1)2y21相切的直線l:ykxt(kR,tR)交橢圓E于M,N兩點(diǎn),若橢圓E上一點(diǎn)C滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0),由已知,得解得所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)橹本€l:ykxt與圓(x1)2y21相切,所以1,所以2k(t0)把ykxt代入1,并整理得(34k2)x28ktx(4t224)0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1x2,y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t.因?yàn)?x1x2,y1y2),所以C,又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓E上,所以1,可得2,因?yàn)閠20,所以211,所以022,所以的取值范圍為(,0)(0,)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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