(通用版)2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第18練 概率與統(tǒng)計的綜合問題精準提分練習 文.docx
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第18練概率與統(tǒng)計的綜合問題明晰考情1.命題角度:概率與統(tǒng)計知識的交匯處是高考命題的考點.2.題目難度:中檔難度.考點一古典概型與幾何概型要點重組(1)古典概型的兩個特征試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;每個基本事件發(fā)生的可能性相等.(2)幾何概型將古典概型的有限性推廣到無限性,幾何概型的測度包括長度、面積、角度、體積等.1.已知A,B兩個盒子中分別裝有標記為1,2,3,4的大小相同的四個小球,甲從A盒中等可能地取出1個球,乙從B盒中等可能地取出1個球.(1)用有序數(shù)對(i,j)表示事件“甲抽到標號為i的小球,乙抽到標號為j的小球”,試寫出所有可能的事件;(2)甲、乙兩人玩游戲,約定規(guī)則:若甲抽到的小球的標號比乙大,則甲勝;反之,則乙勝.你認為此游戲是否公平?請說明理由.解(1)甲、乙兩人抽到的小球的所有情況有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16種不同的情況.(2)甲抽到的小球的標號比乙大,有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共6種情況,故甲勝的概率P1,乙勝的概率為P21.因為,所以此游戲不公平.2.已知集合A2,2,B1,1,設M(x,y)|xA,yB,在集合M內(nèi)隨機取出一個元素(x,y).(1)求以(x,y)為坐標的點落在圓x2y21內(nèi)的概率;(2)求以(x,y)為坐標的點到直線xy0的距離不大于的概率.解(1)集合M內(nèi)的點形成的區(qū)域面積S8.因為圓x2y21的面積S1,故所求概率為P1.(2)由題意得,即1xy1,形成的區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示,陰影部分面積S24,所以所求概率為P.3.已知關于x的一元二次方程9x26axb240,a,bR.(1)若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求已知方程有兩個不相等實根的概率;(2)若a是從區(qū)間0,3內(nèi)任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2內(nèi)任取的一個數(shù),求已知方程有實數(shù)根的概率.解設事件A為“方程9x26axb240有兩個不相等的實數(shù)根”;事件B為“方程9x26axb240有實數(shù)根”.(1)由題意知,基本事件共9個,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值.由36a236(b24)36a236b23640,得a2b24.事件A要求a,b滿足條件a2b24,包含6個基本事件,即(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),則事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)a,b的取值所構成的區(qū)域如圖所示,其中0a3,0b2.構成事件B的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,a2b24(如圖中陰影部分(含邊界),則所求的概率為P(B)1.考點二統(tǒng)計與古典概型的綜合方法技巧概率與統(tǒng)計的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等,解題中首先要把數(shù)據(jù)分析清楚,明確頻率可近似替代概率,抽象得到古典概型.把握基本事件的構成要素.4.(2018東莞模擬)近幾年來,“精準扶貧”是政府的重點工作之一,某地政府對240戶貧困家庭給予政府資金扶助,以發(fā)展個體經(jīng)濟,提高家庭的生活水平.幾年后,一機構對這些貧困家庭進行回訪調(diào)查,得到政府扶貧資金數(shù)、扶貧貧困家庭數(shù)x(戶)與扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶)的數(shù)據(jù)關系如下:政府扶貧資金數(shù)(萬元)3579政府扶貧貧困家庭數(shù)x(戶)204080100扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶)10307090(1)求幾年來該地依靠“精準扶貧”政策的脫貧率是多少?(答案精確到0.1%).(2)從政府扶貧資金數(shù)為3萬元和7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中按分層抽樣抽取8戶,再從這8戶中隨機抽取兩戶家庭,求這兩戶家庭的政府扶貧資金總和為10萬元的概率.解(1)幾年來該地依靠“精準扶貧”政策的脫貧率是P100%83.3%.(2)由題意可知,從政府扶貧資金數(shù)為3萬元和7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中分別抽取1戶和7戶,設從政府扶貧資金數(shù)為3萬元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的1戶為A,從政府扶貧資金數(shù)為7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的7戶分別為B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,再從這8戶中隨機抽取兩戶的所有可能情況為(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,B4),(A,B5),(A,B6),(A,B7),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B1,B6),(B1,B7),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B2,B6),(B2,B7),(B3,B4),(B3,B5),(B3,B6),(B3,B7),(B4,B5),(B4,B6),(B4,B7),(B5,B6),(B5,B7),(B6,B7),共28種,符合題意的情況有(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,B4),(A,B5),(A,B6),(A,B7),共7種,故所求概率為.5.(2017全國)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y64504450900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y63002(450300)4450300;若最高氣溫低于20,則Y62002(450200)4450100,所以,Y的所有可能值為900,300,100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.6.(2017北京)某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù);(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.020.04)100.6,所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為10.60.4,所以從總體的400名學生中隨機抽取一人,其分數(shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意,樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.010.020.040.02)100.9,分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為1001000.955,所以總體中分數(shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為40020.(3)由題意可知,樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.020.04)1010060,所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為6030,所以樣本中的男生人數(shù)為30260,女生人數(shù)為1006040,所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為604032,所以根據(jù)分層抽樣原理,估計總體中男生和女生人數(shù)的比例為32.考點三古典概型與統(tǒng)計案例方法技巧(1)回歸分析和概率的交匯問題,要明確所給數(shù)據(jù)的作用,抽象出隨機事件和古典概型;回歸分析問題解決的關鍵是找到樣本點,確定回歸類型和回歸方程.(2)獨立性檢驗與古典概型的綜合問題,要明確所要研究的分類變量,根據(jù)已知數(shù)據(jù)正確編制列聯(lián)表,然后通過K2公式計算并利用參考數(shù)據(jù)得到結論.7.(2018惠州模擬)為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的.請根據(jù)4月7日,4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程x,并判定所得的線性回歸方程是否可靠?參考公式:,.參考數(shù)據(jù):iyi977,434.解(1)所有的基本事件為(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10個.設“m,n均不小于25”為事件A,則事件A包含的基本事件為(25,30),(25,26),(30,26),共3個,故由古典概型概率公式得P(A).(2)由題意得12,27,3972,32432,且iyi977,434.,27123,y關于x的線性回歸方程為x3,且當x10時,y22,|2223|2;當x11時,y,2;當x13時,y,2;當x12時,y27,2;當x8時,y17,|1716|3.841.有95%的把握認為以40歲為分界點對是否經(jīng)常使用多媒體教學有差異.(2)由題意,得抽取6人,2029歲有2人,分別記為A1,A2;3039歲有4人,分別記為B1,B2,B3,B4;則抽取的結果共有15種:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),設“至少有1人年齡在3039歲”為事件A,則事件A包含的基本事件有14種,P(A),即至少有1人年齡在3039歲的概率為.典例(12分)(2018全國)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)審題路線圖規(guī)范解答評分標準解(1)4分(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.20.110.12.60.120.050.48,8分因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為1(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.9分該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為2(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.10分估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.480.35)36547.45(m3).12分構建答題模板第一步審數(shù)據(jù):根據(jù)題中圖表確定統(tǒng)計中所需的數(shù)據(jù),并計算頻率,頻率/組距等;第二步畫圖表:根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖;第三步估分布:根據(jù)頻率分布直方圖估計總體的分布或其他特征.1.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:若xy3,則獎勵玩具一個;若xy8,則獎勵水杯一個;其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.解(1)用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間與點集S(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一對應.因為S中元素的個數(shù)是4416,所以基本事件總數(shù)n16.記“xy3”為事件A,則事件A包含的基本事件共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A),即小亮獲得玩具的概率為.(2)記“xy8”為事件B,“3xy8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B).事件C包含的基本事件共5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C).因為,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.2.(2018新余模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度,對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分100分(90分及以上為認知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組,第一組:20,25),第二組:25,30),第三組:30,35),第四組:35,40),第五組:40,45,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結果保留整數(shù));(3)從該市大學生、軍人、醫(yī)務人員、工人、個體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為15組,從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽,分別代表相應組的成績,年齡組中15組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中15組的成績分別為93,98,94,95,90.分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差;以上述數(shù)據(jù)為依據(jù),評價5個年齡組和5個職業(yè)組對“一帶一路”的認知程度.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組頻率為0.0150.05,0.05,x120.(2)設中位數(shù)為a,則0.0150.075(a30)0.060.5,a32,中位數(shù)為32.(3)5個年齡組的平均數(shù)為1(9396979490)94,方差為s(1)2223202(4)26.5個職業(yè)組的平均數(shù)為2(9398949590)94,方差為s(1)2420212(4)26.8.評價:從平均數(shù)來看兩組的認知程度相同,從方差來看年齡組的認知程度相對更穩(wěn)定.3.某烹飪學院為了弘揚中國傳統(tǒng)的飲食文化,舉辦了一場由在校學生參加的廚藝大賽,組委會為了解本次大賽參賽學生的成績情況,從參賽學生中隨機抽取了n名學生的成績(滿分100分)作為樣本,將所得分數(shù)經(jīng)過分析整理后畫出了頻率分布直方圖和莖葉圖,其中莖葉圖受到污染,請據(jù)此解答下列問題:(1)求頻率分布直方圖中a,b的值,并估計此次參加廚藝大賽學生的平均成績;(2)規(guī)定大賽成績在80,90)的學生為廚霸,在90,100的學生為廚神,現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學生中隨機抽取2人去參加校際之間舉辦的廚藝大賽,求所抽取2人中至少有1人是廚神的概率.解(1)由題意可知,樣本容量n40,所以a0.0075.所以10b1(0.1250.1500.4500.075)0.2,所以b0.02,平均成績?yōu)?.125550.2650.45750.15850.0759573.5.(2)由題意可知,廚霸有0.015010406(人),分別記為a1,a2,a3,a4,a5,a6,廚神有0.007510403(人),分別記為b1,b2,b3,共9人,從中任意抽取2人共有36種情況:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,a6),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a6),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,a4),(a3,a5),(a3,a6),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(a4,a5),(a4,a6),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3),(a5,a6),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3),(a6,b1),(a6,b2),(a6,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),其中至少有1人是廚神的情況有21種,所以至少有1人是廚神的概率為.4.(2017全國)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件:舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關:箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).附:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2.解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知,P(A)P(BC)P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62,故P(B)的概率估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.0680.0460.0100.008)50.66,故P(C)的概率估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.620.660.4092.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表如下:箱產(chǎn)量6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關.(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.0040.0200.044)50.340.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為5052.35(kg).- 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