(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第32練 矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題 理.docx
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第32練矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程明晰考情1.命題角度:常見的平面變換與矩陣的乘法運算,二階矩陣的逆矩陣及其求法,矩陣的特征值與特征向量的求法;極坐標(biāo)和參數(shù)方程的簡單綜合運用.2.題目難度:中檔難度.考點一線性變換、二階矩陣及其求法方法技巧線性變換問題一般是設(shè)變換T:,求出原曲線在T的變換下得到的曲線,再根據(jù)條件求相應(yīng)的系數(shù)值.1.已知變換矩陣A:平面上的點P(2,1),Q(1,2)分別變換成點P1(3,4),Q1(0,5),求變換矩陣A.解設(shè)所求的變換矩陣A,依題意,可得,即解得所以所求的變換矩陣A.2.已知M,N,求二階矩陣X,使得MXN.解設(shè)X,由題意有,根據(jù)矩陣乘法法則有解得X.3.已知曲線C1:x2y21,對它先作矩陣A對應(yīng)的變換,再作矩陣B對應(yīng)的變換,得到曲線C2:y21,求實數(shù)m的值.解BA,設(shè)P(x0,y0)是曲線C1上的任一點,它在矩陣BA變換作用下變成點P(x,y)則,則即又點P在曲線C1上,則y21,所以m21,所以m1.4.(2017江蘇)已知矩陣A,B.(1)求AB;(2)若曲線C1:1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程.解(1)因為A,B,所以AB.(2)設(shè)Q(x0,y0)為曲線C1上任意一點,它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄cP(x,y),則,即所以因為點Q(x0,y0)在曲線上C1上,所以1,從而1,即x2y28.因此曲線C1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2:x2y28.考點二逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量方法技巧1.由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組,常用于求二階矩陣,要注意變換的前后順序.2.求矩陣M就是要求待定的字母,利用條件建立方程組,確立待定的字母的值,從而求出矩陣,待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法.5.已知矩陣A.(1)求A的逆矩陣A1;(2)若點P在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點P(3,1),求點P的坐標(biāo).解(1)因為A,又221310,所以A可逆,從而A1.(2)設(shè)P(x,y),則,所以A1,因此,點P的坐標(biāo)為(3,1).6.求矩陣A的特征值與屬于每個特征值的一個特征向量.解矩陣A的特征多項式為f(),令f()0,得25240,所以18,23為矩陣A的兩個特征值.當(dāng)18時,解相應(yīng)線性方程組可任取一解,得8的一個特征向量1.當(dāng)23時,解相應(yīng)線性方程組可任取一解,得3的一個特征向量2.7.(2018無錫調(diào)研)已知二階矩陣A對應(yīng)的變換將點M(1,1)變換成M(3,3),將點N(1,2)變換成N(3,0).(1)求矩陣A的逆矩陣A1;(2)若向量,計算A3.解(1)設(shè)A,則解得a1,b2,c2,d1,所以A,所以A1.(2)矩陣A的特征多項式為f()(1)24223,令f()0,解得13,21,從而求得對應(yīng)的一個特征向量分別為1,2.令m1n2,求得m3,n2,所以A3A3(3122)3(A31)2(A32)3(1)2(2)3332(1)3.8.(2018如皋調(diào)研)已知矩陣A屬于特征值的一個特征向量為.(1)求實數(shù)b,的值;(2)若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下,得到的曲線為C:x22y22,求曲線C的方程.解(1)由題意得A,即,解得b0,2.(2)由(1)知,矩陣A.設(shè)曲線C上的一點P,在矩陣A的作用下得到點P(x,y).,所以將上式代入方程x22y22,得(2x)22(x3y)22,整理得3x29y26xy10.所以曲線C的方程為3x29y26xy10.考點三曲線的極坐標(biāo)方程方法技巧曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用一般有兩種思路:一是將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,根據(jù)極坐標(biāo)的意義求解.要注意題目所給的限制條件及隱含條件.9.在極坐標(biāo)系中,設(shè)直線與曲線210cos40相交于A,B兩點,求線段AB中點的極坐標(biāo).解方法一將直線化為直角坐標(biāo)方程,得yx,將曲線210cos 40化為直角坐標(biāo)方程,得x2y210x40,聯(lián)立并消去y,得2x25x20,解得x1,x22,所以AB中點的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,化為極坐標(biāo)為.方法二聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程,得消去,得2540,解得11,24,所以線段AB中點的極坐標(biāo)為,即.10.(2018宿遷質(zhì)檢)已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點O重合,極軸與x軸的正半軸重合,若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin30.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求直線l被曲線C截得線段的長.解(1)直線l的普通方程為yx1,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)24.(2)曲線C表示以為圓心,2為半徑的圓,圓心到直線l的距離d1,故直線l被曲線C截得的線段長為22.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為22cos2sin10.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線C上的點到直線cos0距離最大的點P的直角坐標(biāo).解(1)因為2x2y2,cos x,sin y,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y10,0,2).(2)直線方程為xy0,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)24,所以設(shè)圓上點P的坐標(biāo)為(12cos ,2sin ),0,2),則d,所以當(dāng)cos1,即時距離最大,此時點P的坐標(biāo)為(2,).12.在極坐標(biāo)系中,直線C1的極坐標(biāo)方程為sin2,M是C1上任意一點,點P在射線OM上(O為極點),且滿足OPOM4,記點P的軌跡為C2,求曲線C2上的點到直線C3:(t為參數(shù))的距離的最大值.解設(shè)點P(,),M(1,),依題意得1sin 2,14,消去1,得2sin ,故曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin (0).化為直角坐標(biāo)方程,得C2:x2(y1)21,是以點(0,1)為圓心,1為半徑的圓.又直線C3的普通方程為xy2,故圓心到直線C3的距離d,故曲線C2上的點到直線C3的距離的最大值為1.考點四參數(shù)方程方法技巧過定點P0(x0,y0),傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是有向線段P0P的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則P1P2|t1t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1t2).13.(2018蘇州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓C的方程為4cos.(1)分別寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與圓C相切,求實數(shù)a的值.解(1)直線l的普通方程是2xya20,圓C的直角坐標(biāo)方程是(x2)2y24.(2)由(1)知圓心為C(2,0),半徑r2,設(shè)圓心到直線的距離為d,因為直線與圓相切,所以d2,解得a22.14.(2018江蘇省南京外國語學(xué)校質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),m為常數(shù)).以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為cos.若直線l與圓C有兩個公共點,求實數(shù)m的取值范圍.解圓C的普通方程為(xm)2y24.直線l的極坐標(biāo)方程化為,即xy,化簡得xy20.因為圓C的圓心為C(m,0),半徑為2,圓心C到直線l的距離d,所以d2,解得22m22.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),0,),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)若直線l與圓C相切,求的值;(2)已知直線l與圓C交于A,B兩點,記點A,B相應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,當(dāng)t12t2時,求AB的長.解(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24,將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程得(tcos 4)2(tsin )24,即t28tcos 120,因為直線l與圓C相切,所以(8cos )24120,所以cos 或cos ,0,),所以或.(2)將代入圓C的直角坐標(biāo)方程(x2)2y24,得t28tcos 120,因為t1,2,所以又t12t2,所以64cos254,所以AB.16.(2018如皋調(diào)研)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以O(shè)x軸為極軸,O為極點建立極坐標(biāo)系,在該極坐標(biāo)系下,圓N是以點為圓心,且過點的圓.(1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標(biāo)方程;(2)求圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值.解(1)將方程消去參數(shù),可得224,所以圓M的方程為224.點和點的直角坐標(biāo)分別為,所以圓N的圓心為,半徑為r1,故圓N的直角坐標(biāo)方程為221.(2)由(1)得圓M,N的圓心距為MN4,所以圓M上任一點P與圓N上任一點之間距離的最小值為dminMN3431.1.已知矩陣M,其中aR,若點P(1,2)在矩陣M的變換下得到點P(4,0).(1)求實數(shù)a的值;(2)求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量.解(1)由,得22a4a3.(2)由(1)知M,則矩陣M的特征多項式為f()(2)(1)6234.令f()0,得矩陣M的特征值為1與4.當(dāng)1時,xy0,矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為;當(dāng)4時,2x3y0.矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為.2.已知矩陣A(a為實數(shù)).(1)若矩陣A存在逆矩陣,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若直線l:xy40在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l:xy2a0,求實數(shù)a的值;(3)在(2)的條件下,求A5.解(1)a210,a1.(2)設(shè)l上任一點在A的變換作用下變?yōu)辄c,則,所以所以xy2aaxyxay2axy2a0,所以a2.(3)A2,A4,A5.3.平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線(l為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點,求線段AB的長.解直線的普通方程為2x2y30,曲線的普通方程為y28x.解方程組得或取A,B,得AB4.4.(2018江蘇邗江中學(xué)調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出圓C的極坐標(biāo)方程及圓心C的極坐標(biāo);(2)直線l的極坐標(biāo)方程為(R)與圓C交于M,N兩點,求CMN的面積.解(1)極坐標(biāo)(,)與直角坐標(biāo)(x,y)的對應(yīng)關(guān)系為所以根據(jù)sin2cos21,消元得(cos )2(sin 1)24,故得圓C的極坐標(biāo)方程為4sin.因為圓心C的直角坐標(biāo)為(,1),所以極坐標(biāo)為.(2)聯(lián)立得交點極坐標(biāo)M(0,0),N,所以MN2,MC2,所以CMN的面積S22sin .- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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