(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質學案 新人教A版選修2-1.doc
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第1課時橢圓的幾何性質學習目標1.依據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質,并正確地畫出它的圖形.2.依據(jù)幾何條件求出橢圓方程,并利用橢圓方程研究它的性質、圖形知識點一橢圓的范圍、對稱性和頂點思考在畫橢圓圖形時,怎樣才能畫的更準確些?答案在畫橢圓時,可先畫一個矩形,矩形的頂點為(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)梳理橢圓的簡單幾何性質焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點坐標(c,0)(0,c)對稱性關于x軸、y軸軸對稱,關于坐標原點中心對稱頂點坐標A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)范圍|x|a,|y|b|x|b,|y|a長軸、短軸長軸A1A2長為2a,短軸B1B2長為2b知識點二橢圓的離心率橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率,記為e,因為ac,故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1),當e越近于1時,橢圓越扁,當e越近于0時,橢圓越圓(1)橢圓1(ab0)的長軸長是a.()(2)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓()(3)若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為1.()(4)設F為橢圓1(ab0)的一個焦點,M為其上任一點,則|MF|的最大值為ac(c為橢圓的半焦距)()類型一橢圓的簡單幾何性質例1求橢圓m2x24m2y21(m0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率考點橢圓的簡單幾何性質題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性解由已知得1(m0),因為0m24m2,所以,所以橢圓的焦點在x軸上,并且長半軸長a,短半軸長b,半焦距c,所以橢圓的長軸長2a,短軸長2b,焦點坐標為,頂點坐標為,離心率e.反思與感悟從橢圓的標準方程出發(fā),分清其焦點位置,然后再寫出相應的性質跟蹤訓練1已知橢圓C1:1,設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等,且橢圓C2的焦點在y軸上(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率;(2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質考點橢圓的簡單幾何性質題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性解(1)由橢圓C1:1,可得其長半軸長為10,短半軸長為8,焦點坐標為(6,0),(6,0),離心率e.(2)橢圓C2:1.性質如下:范圍:8x8,10y10;對稱性:關于x軸、y軸、原點對稱;頂點:長軸端點(0,10),(0,10),短軸端點(8,0),(8,0);焦點:(0,6),(0,6);離心率:e.類型二由幾何性質求橢圓的標準方程例2(1)橢圓以兩坐標軸為對稱軸,并且過點(0,13),(10,0),則焦點坐標為()A(13,0) B(0,10)C(0,13) D(0,)考點橢圓的簡單幾何性質題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案D解析由題意知,橢圓的焦點在y軸上,且a13,b10,則c,故選D.(2)已知橢圓中心在原點,一個焦點為F(2,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的標準方程是_考點橢圓的簡單幾何性質題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案1解析由已知,得焦點在x軸上,且所求橢圓的標準方程為1.反思與感悟此類問題應由所給的幾何性質充分找出a,b,c所應滿足的關系式,進而求出a,b,在求解時,需注意橢圓的焦點位置跟蹤訓練2根據(jù)下列條件,求中心在原點,對稱軸在坐標軸上的橢圓方程:(1)長軸長是短軸長的2倍,且過點(2,6);(2)焦點在x軸上,一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直,且半焦距為6.考點由橢圓的簡單幾何性質求方程題點由橢圓的幾何特征求方程解(1)當焦點在x軸上時,設橢圓方程為1(ab0)依題意,有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當焦點在y軸上時,橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意,有bc6,a2b2c272,所求的橢圓方程為1.類型三求橢圓的離心率例3如圖,設橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF2為等腰直角三角形,求橢圓的離心率考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c的齊次關系式得離心率解設橢圓方程為1(ab0)F1(c,0),P(c,yp),代入橢圓方程得1,y,|PF1|F1F2|,即2c,c22aca20,又b2a2c2,2c,c22aca20,e22e10,又0e1,e1.反思與感悟求解橢圓的離心率,其實質就是構建a,b,c之間的關系式,再結合b2a2c2,從而得到a,c之間的關系式,進而確定其離心率跟蹤訓練3設橢圓C:1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點,PF2F1F2,PF1F230,則C的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案D解析由題意可設|PF2|m(m0),結合條件可知|PF1|2m,|F1F2|m,故離心率e.1橢圓9x2y236的短軸長為()A2B4C6D12考點橢圓的簡單幾何性質題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案B解析原方程可化為1,所以b24,b2,從而短軸長為2b4.2若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形,則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案A解析不妨設橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,B為橢圓的上頂點依題意可知,BF1F2是正三角形在RtOBF2中,|OF2|c,|BF2|a,OF2B60,cos 60,即橢圓的離心率e,故選A.3(2017嘉興一中期末)中心在坐標原點的橢圓,焦點在x軸上,焦距為4,離心率為,則該橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D4已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,兩頂點分別是(4,0),(0,2),則此橢圓的方程是_考點由橢圓的簡單幾何性質求方程題點由橢圓的幾何性質求方程答案1解析由已知,得a4,b2,且橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的方程是1.5求橢圓25x216y2400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率解將橢圓方程變形為1,得a5,b4,所以c3,故橢圓的長軸長和短軸長分別為2a10,2b8,離心率e,焦點坐標為(0,3),(0,3),頂點坐標為(0,5),(0,5),(4,0),(4,0)求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e求解若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關系式,借助于a2b2c2,轉化為關于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍一、選擇題1已知橢圓的方程為2x23y2m(m0),則此橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案B解析由2x23y2m(m0),得1,c2,e2,e.2與橢圓9x24y236有相同焦點,且短軸長為2的橢圓的標準方程是()A.1B.x21C.y21D.1考點由橢圓的簡單幾何性質求方程題點由橢圓的幾何性質求方程答案B解析由已知c,b1,故橢圓的標準方程為x21.3橢圓4x249y2196的長軸長、短軸長、離心率依次是()A7,2,B14,4,C7,2,D14,4,考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案B解析先將橢圓方程化為標準形式為1,其中b2,a7,c3.4焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為4,則橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1考點由橢圓的簡單幾何性質求方程題點由橢圓的幾何特征求方程答案A解析依題意得c2,ab10,又a2b2c2,所以解得a6,b4.5若焦點在x軸上的橢圓1的離心率為,則m等于()A.B.C.D.考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的幾何特征求方程答案B解析a22,b2m,e,m.6橢圓(m1)x2my21的長軸長是()A.B.C.D考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案C解析橢圓方程可化簡為1,由題意,知m0,b0)的左、右焦點,P為直線x上一點,F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形,則橢圓E的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案C解析設直線x與x軸交于點M,則PF2M60,在RtPF2M中,|PF2|F1F2|2c,|F2M|c,故cos60,解得,故離心率e.二、填空題8A為y軸上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,AF1F2為正三角形,且AF1的中點B恰好在橢圓上,則此橢圓的離心率為_考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案1解析如圖,連接BF2.因為AF1F2為正三角形,且B為線段AF1的中點,所以F2BBF1.又因為BF2F130,|F1F2|2c,所以|BF1|c,|BF2|c,由橢圓定義得|BF1|BF2|2a,即cc2a,所以1,所以橢圓的離心率e1.9若橢圓1的焦點在x軸上,過點作圓x2y21的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓的方程是_考點由橢圓的簡單幾何性質求方程題點由橢圓的幾何特征求方程答案1解析x1是圓x2y21的一條切線,橢圓的右焦點為(1,0),即c1.設P,則kOP,OPAB,kAB2,則直線AB的方程為y2(x1),它與y軸的交點為(0,2)b2,a2b2c25,故橢圓的方程為1.10設橢圓的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是_考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案1解析因為F1PF2為等腰直角三角形,所以|PF2|F1F2|2c,|PF1|2c,又由橢圓定義知|PF1|PF2|2a,所以2c2c2a,即(1)ca,于是e1.11在ABC中,tanA,B.若橢圓E以AB為長軸,且過點C,則橢圓E的離心率是_考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案解析由tan A,得sin A,cosA.又B,sin B,cosB,則sin Csin(AB)sin AcosBcosAsinB.由正弦定理,得|BC|CA|AB|sin AsinBsinC12.不妨取|BC|1,|CA|,|AB|2.以AB所在直線為x軸,AB中點O為原點建立直角坐標系(C在x軸上方),D是C在AB上的射影易求得|AD|,|OD|,|CD|,點C.設橢圓E的方程為1(ab0),則a22,且1,解得b2,c2a2b22,e2,e.三、解答題12已知橢圓x2(m3)y2m(m0),其焦距與長軸長的比值是,求m的值及橢圓的長軸長、短軸長及頂點坐標考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓方程求頂點、焦點、長短軸、離心率解橢圓方程可化為1.因為m0,所以m0,所以m,所以a2m,b2,所以c.由,得,解得m1,所以a1,b,則橢圓的標準方程為x21,所以橢圓的長軸長為2,短軸長為1,四個頂點的坐標分別為(1,0),(1,0),.13已知橢圓1(ab0)的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,斜率為k的直線l過左焦點F1且與橢圓的交點為A,B,與y軸的交點為C,且B為線段CF1的中點,若|k|,求橢圓離心率e的取值范圍考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的幾何特征求參數(shù)解依題意得F1(c,0),直線l:yk(xc),則C(0,kc)因為點B為線段CF1的中點,所以B.因為點B在橢圓上,所以1,即1.所以1,所以k2.由|k|,得k2,即,所以2e417e280.解得e28.因為0e1,所以e21,即e1,即e的取值范圍是.四、探究與拓展14已知c是橢圓1(ab0)的半焦距,則的取值范圍是()A(1) B(,)C(1,) D(1,考點由橢圓方程研究簡單幾何性質題點由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案D解析橢圓的中心、一個短軸的頂點、一個焦點構成一個直角三角形,兩直角邊長分別為b,c,斜邊為a,由直角三角形的兩直角邊之和大于斜邊得bca,1,又22(當且僅當bc時,取等號),1,故選D.15設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(ab0)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4,ABF2的周長為16,求|AF2|;(2)若cosAF2B,求橢圓E的離心率考點橢圓離心率問題題點求a,b,c得離心率解(1)由|AF1|3|F1B|,|AB|4,得|AF1|3,|F1B|1.因為ABF2的周長為16,所以由橢圓定義可得4a16,|AF1|AF2|2a8,故|AF2|835.(2)設|F1B|k,則k0且|AF1|3k,|AB|4k.由橢圓定義,得|AF2|2a3k,|BF2|2ak.在ABF2中,由余弦定理,得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B,即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak),化簡可得(ak)(a3k)0,而ak0,故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|,|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2,可得F1AF2A,故AF1F2為等腰直角三角形從而ca,所以橢圓E的離心率e.- 配套講稿:
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