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第五章三角形 第22講相似圖形 1 2017 重慶市 若 ABC DEF 相似比為3 2 則對應高的比為 A 3 2B 3 5C 9 4D 4 92 下列圖形一定是相似圖形的是 A 兩個矩形B 兩個正方形C 兩個直角三角形D 兩個等腰三角形3 2016 杭州市 如圖 已知直線a b c 直線m分別交直線a b c于點A B C 直線n分別交直線a b c于點D E F 若 則等于 A B C D 1 A B B 4 如圖 在正方形ABCD中 點E為CD的中點 EF AE于點E 交BC于點F 則 1與 2的大小關系為 A 1 2B 1 2C 1 2D 無法確定5 如圖 小正方形的邊長均為1 則下列圖中的三角形 陰影部分 與 ABC相似的是 A B C D C A 6 2018 廣東省 在 ABC中 D E分別為邊AB AC的中點 則 ADE與 ABC的面積之比為 A B C D 7 2017 臨沂市 如圖 已知AB CD AD與BC相交于點O 若 AD 10 則AO C 4 8 如圖 在 ABC中 AB 24 AC 18 點D在AC上 AD 12 在AB上取一點E 使以A D E三點為頂點的三角形與 ABC相似 則AE的長是 16或9 9 如圖 在 ABC中 AD BC于點D DE AB于點E DF AC于點F 求證 證明 在 ABD和 ADE中 ADB AED 90 BAD DAE ABD ADE AD2 AE AB 同理可得 ACD ADF 從而AD2 AF AC AE AB AF AC 10 2017 宿遷市 如圖 在 ABC中 AB AC 點E在邊BC上移動 點E不與點B C重合 滿足 DEF B 且點D F分別在邊AB AC上 1 求證 BDE CEF 2 當點E移動到BC的中點時 求證 FE平分 DFC 證明 1 AB AC B C DEF CEF B BDE DEF B CEF BDE BDE CEF 2 BDE CEF 點E是BC的中點 BE CE 又 C B DEF CEF EDF CFE EFD 即FE平分 DFC 考點一比例線段定義 在四條線段中 如果其中兩條線段的比 另外兩條線段的比 那么 這四條線段叫做成比例線段 簡稱比例線段 考點二比例的性質1 基本性質 a b c d ad bc a b b c b2 ac 2 更比性質 交換比例的內項或外項 交換內項 交換外項 同時交換內項和外項 等于 3 反比性質 交換比的前項 后項 4 合比性質 5 等比性質 b d f n 0 考點三相似多邊形及位似圖形1 相似多邊形 1 定義 如果兩個邊數相同的多邊形的 那么這兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形 的比叫做相似比 2 性質 相似多邊形的對應角 對應邊 相似多邊形周長的比 對應對角線的比都等于 相似多邊形中的對應三角形相似 相似比等于相似多邊形的相似比 相似多邊形面積的比等于 對應角相等 對應邊成比例 對應邊 相等 成比例 相似比 相似比的平方 2 位似圖形 1 定義 如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且對應頂點的連線相交于一點 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中心 此時的相似比叫做位似比 2 性質 每一組對應頂點的連線和位似中心在同一直線上 它們到位似中心的距離之比都等于位似比 3 由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換 利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小 考點四相似三角形1 相似三角形的概念 對應角相等 對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形 相似用符號 來表示 讀作 相似于 相似三角形 的比叫做相似比 2 相似三角形的基本定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構成的三角形與原三角形相似 用數學語言表述如下 DE BC ADE ABC 對應邊 3 相似三角形的等價關系 1 反身性 對于任一 ABC 都有 ABC ABC 2 對稱性 若 ABC A B C 則 A B C ABC 3 傳遞性 若 ABC A B C 并且 A B C A B C 則 ABC A B C 考點五相似三角形的判定1 三角形相似的判定方法 1 定義法 2 平行法 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構成的三角形與原三角形相似 3 判定定理1 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等 那么這兩個三角形相似 可簡述為 4 判定定理2 如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊 并且 相等 那么這兩個三角形相似 可簡述為兩邊成比例且夾角相等 兩三角形相似 對應角相等 對應邊成比例的兩個三角形相似 兩角分別相等 兩三角形相似 對應成比例 夾角 5 判定定理3 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊 那么這兩個三角形相似 可簡述為三邊成比例 兩三角形相似 2 直角三角形相似的判定方法 1 以上各種判定方法均適用 2 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這兩個直角三角形 3 垂直法 直角三角形被斜邊上的高分成的 與原三角形相似 對應成比例 相似 兩個直角三角形 考點六相似三角形的性質1 相似三角形的對應角 對應邊 2 相似三角形對應高的比 對應中線的比與對應角平分線的比都等于 3 相似三角形周長的比等于 4 相似三角形面積的比等于 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 例題1 如圖 在 ABC中 BC 10 BC邊上的高h 5 點E在邊AB上 過點E作EF BC 交AC于點F 點D為BC上一點 連接DE DF 設點E到BC的距離為x 則 DEF的面積S關于x的函數圖象大致為 A B C D 考點 動點問題的函數圖象 相似三角形的性質與判定 分析 判斷出 AEF和 ABC相似 根據相似三角形對應邊成比例列式求出EF 再根據三角形的面積公式得出S與x的關系式 然后得到大致圖象選擇即可 例題1 如圖 在 ABC中 BC 10 BC邊上的高h 5 點E在邊AB上 過點E作EF BC 交AC于點F 點D為BC上一點 連接DE DF 設點E到BC的距離為x 則 DEF的面積S關于x的函數圖象大致為 A B C D D 變式 2017 眉山市 如圖 點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點 連接DE 過頂點B作BF DE 垂足為F BF交AC于點H 交CD于點G 1 求證 BG DE 2 若點G為CD的中點 求的值 1 證明 四邊形ABCD是正方形 BC DC BCD 90 BF DE GFD 90 CBG BGC CDE DGF 90 又 BGC DGF CBG CDE 在 BCG與 DCE中 CBG CDE BC DC BCG DCE BCG DCE ASA BG DE 2 解 設CG 1 G為CD的中點 GD CG 1 由 1 知 BCG DCE CE CG 1 由勾股定理 得DE BG sin CDE GF AB CG ABH CGH GH BG