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第五章彎曲應(yīng)力 5 1純彎曲 5 2純彎曲時的正應(yīng)力 5 3橫力彎曲時的正應(yīng)力 5 4彎曲切應(yīng)力 5 5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè) 5 6提高彎曲強度的措施 5 1純彎曲 1 彎曲內(nèi)力與截面應(yīng)力的關(guān)系截面應(yīng)力分為 截面內(nèi)力分為FN FS M 法向合力為 切向合力為 合力矩 FS 0只有M 純彎曲 0FS M均不為零 橫力彎曲 不為零 2 純彎曲 橫力彎曲 3 純彎曲的變形現(xiàn)象 橫向線mm nn保持直線 平面假設(shè)縱向線aa bb變?yōu)橥膱A弧上層受壓 下層受拉 中有中性層縱向纖維間無正應(yīng)力 5 2純彎曲時的正應(yīng)力 x軸 軸線 y軸 對稱軸 向下 z軸 中性軸 未定 設(shè) 中性層的曲率半徑 未定 建立坐標系 推導(dǎo) 1 變形幾何關(guān)系 變形后 變形前 應(yīng)變 2 物理方程 3 平衡方程 3 平衡方程 z軸通過形心 中性軸過形心 y為主慣軸 應(yīng)力應(yīng)變沿高度線性變化 中間有零應(yīng)力應(yīng)變層 應(yīng)力應(yīng)變公式的適用范圍最大應(yīng)力 應(yīng)變點在哪里 總結(jié) 5 3橫力彎曲時的正應(yīng)力 橫力彎曲時 基本假設(shè)不成立 但滿足精度要求 可使用 2 強度條件 1 橫力彎曲時的正應(yīng)力公式 3 W 抗彎截面系數(shù) W Iz ymax 4 危險截面 非等截面梁 綜合考慮M和截面的變化 鑄鐵梁 c t 梁如何放置合理 校核彎矩最大點及反向彎矩最大點 矩形 圓 等截面梁 例 已知 F 25 3kN 100MPa校核強度 FRA1265 F1065 F115 FRA 23 6kN FRB 27kN MI FRA0 2 4 72kNm MIV FRB0 115 3 11kNm 危險截面 I II III 已知 t 30MPa c 160MPaIz 763cm4y1 52mm校核強度 解 FRA 2 9 1 4 1 FRA 2 5kN MC FRA 1 2 5 kNm MB F2 1 4 kNm 需校核 B c tC t B C 5 1把直徑d 1mm的鋼絲繞在直徑為2m的卷筒上 試計算該鋼絲中產(chǎn)生的最大應(yīng)力 設(shè)E 200GPa 解 1 2 5 13當20號槽鋼受純彎曲變形時 測出A B兩點間長度的改變?yōu)?l 27 10 3mm 材料的E 200GPa 試求梁截面上的彎矩M z0 1 95cm l l 0 54 10 3 I 144cm4 y 1 45cm M 10 7kNm 5 11圖示為一承受彎曲的鑄鐵梁 其截面為 形 材料的拉伸和壓縮許用應(yīng)力之比 求水平翼板的合理寬度b 解 y1 80mm 320 30 160 b 60 50 20 30 10 b 510mm 340 30 150 b 60 50 b 510mm 解2 5 36以F力將置放于地面的鋼筋提起 若鋼筋單位長度的重量為q 當b 2a時 試求所需的F力 Fb q a b 2 2 F 9qa 4 2 25qa b 2a F x 已知 W和 求 F 解 例 簡支梁在跨中受集中載荷F 30kN l 8m 120MPa 1 試為梁選擇工字鋼型號 2 當提高為40kN時 原工字鋼型號不變 試問采取什么措施使梁仍能滿足強度條件 作業(yè)5 1 5 45 12 5 4彎曲切應(yīng)力 對于橫力彎曲情況 FS不為零 截面上必然存在切應(yīng)力 分別對不同形狀截面進行討論 1 矩形截面 假定 a 平行于FSb 僅沿高度變化 FS 推導(dǎo) 沿軸向平衡 切應(yīng)力互等 右側(cè) M dM 左側(cè) M y 的分布規(guī)律 沿高度拋物線分布 max發(fā)生在中性軸處 2 工字型截面梁 切應(yīng)力分布及方向最大切應(yīng)力 中性軸 4 最大切應(yīng)力 矩形 k 3 2 工字形 k 1 圓形 k 4 3 5 切應(yīng)力強度條件 3 圓截面 梁的強度條件小結(jié) 1 應(yīng)力公式 最大值在距中性軸最遠處 正應(yīng)力 切應(yīng)力 最大值在中性軸處 對于切應(yīng)力 i FSmax處 ii 截面突然變化處 2 危險截面 對于正應(yīng)力 i Mmax處 ii 截面突然變化處iii 鑄鐵 正負Mmax處 求 max max 解 Mmax ql2 8 FSmax ql 2 0 5 1 3 強度條件 正應(yīng)力起控制作用 優(yōu)先考慮 切應(yīng)力一般可滿足 校核 需校核切應(yīng)力的情況 i 短跨度梁或載荷在支座附近 ii 腹板薄而高的型鋼 iii 復(fù)合梁的結(jié)合面 5 6提高彎曲強度的措施 彎曲正應(yīng)力是控制梁的強度的主要因素 提高彎曲強度的方法 降低 F一定 減小M M一定 增大Wz 合理安排梁的受力情況 設(shè)計合理的截面 等強度梁的概念 作業(yè)5 2 5 215 22 圖示工字梁 F 20kN 并可沿梁移動 試選擇工字鋼型號 已知l 6m 100MPa 60MPa F位于跨中時 M最大 Mmax Fl 4 F靠近支座時 FS最大 Qmax F 按彎曲正應(yīng)力強度條件選擇截面 選擇22a工字鋼 d 7 5mm 5 16鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如圖所示 許用拉應(yīng)力 許用壓應(yīng)力 試按正應(yīng)力強度條件校核梁的強度 若載荷不變 但將形截面倒置 即翼緣在下成為形 是否合理 何故 200 30 215 yc 200 30 yc 100 yc 157 5mm Izc 6013cm4 B點 yc2 230 yc 72 5mm yc 157 5mm C點 4FRD 20 3 10 2 1 FRD 10kN 1 合理安排支承 最佳 2 分散載荷 3 載荷靠近支座 1 提高W A由195頁表5 1可查得不同截面的W A 從正應(yīng)力考慮 相同高度 材料遠離中性軸為好 2 利用材料拉壓強度不同的特性鑄鐵 c t 用T形截面注意 如何放置 等強度梁的概念 使各截面 max 變截面梁W x 矩形截面 懸臂梁 b不變 h不變 2F 4a 4a FSmax FMmax 4Fa FSmax FMmax Fa FSmax FMmax Fa 圖示鑄鐵梁 受均荷q 試校核梁的強度 已知q 25N mm y1 45mm y2 55mm 慣性矩Iz 8 84 10 6 t 35MPa c 140MPa 5 5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè) 7 2開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心 1 開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的一般公式開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的特點 i 切應(yīng)力平行于截面中線的切線方向 ii 切應(yīng)力沿厚度均勻分布 切應(yīng)力流 計算方法 2 彎曲中心 截面上彎曲切應(yīng)力向某點化簡 若合力矩為零 則該點為彎曲中心 上翼緣 處 腹板的剪力 FSy 3 彎曲中心的性質(zhì) i 與材料載荷無關(guān) 僅與截面形狀有關(guān) ii 載荷只有作用在彎曲中心才只發(fā)生彎曲 iii 載荷不作用在彎曲中心 將發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形 常見薄壁截面彎曲中心的位置 例6 1外伸梁受力如圖a所示 梁由鋼板焊接而成 截面尺寸如圖d所示 已知 120MPa 60MPa 試校核梁的強度 并求焊縫ab處的切應(yīng)力 求 工字鋼翼緣上平行于z軸的切應(yīng)力 b B z h H