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三、四年級(jí)乘除巧算 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 前面我們已給同學(xué)們介紹了加、減法中的巧算，大家學(xué)會(huì)了運(yùn)用“湊整”的方法進(jìn)行巧算，實(shí)際上這種湊整的方法也同樣可以運(yùn)用在乘除計(jì)算中。為了更好地湊整，同學(xué)們要牢記以下幾個(gè)計(jì)算結(jié)果：25=10，425=100，8125=1000。 提高計(jì)算能力，除了加、減、乘、除基本運(yùn)算要熟練之外，還要掌握一定的運(yùn)算技巧。巧算中，經(jīng)常要用到一些運(yùn)算定律，例如乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等等，善于運(yùn)用運(yùn)算定律，是提高巧算能力的關(guān)鍵。 例題1 你有好辦法算出下面各題的結(jié)果嗎？ （1）25174 （2）818125 （3）8254125 （4）125285 思路導(dǎo)航：（1）我們知道254=100，因而我們要盡量把25與4放在一塊計(jì)算，這樣比較簡(jiǎn)便。所以我們先算254=100，再與17相乘即10017=1700； （2）因?yàn)?125=1000，因而我們先把8與125放在一塊計(jì)算，8125=1000，再乘18：100018=18000； （3）已知254=100、1258=1000，因此這道題我們要通過(guò)移位的方法把25與4相乘，125與8相乘，然后再把1000與100相乘，1000100=100000； （4）因?yàn)?258=1000，25=10，因而這道題也要移一移，先計(jì)算1258=1000和25=10，再計(jì)算100010=10000。 練 習(xí) 一 1．計(jì)算：（1）25234 （2）125278 2．計(jì)算： （1）52524 （2）1254825 （3）212585 3．想一想，怎樣算比較簡(jiǎn)便？ 12516 例題2 你有好辦法計(jì)算下面各題嗎？ （1）258 （2）16125 （3）162525 （4）1253225 思路導(dǎo)航：（1）已知254=100，因?yàn)?=24，所以我們可以把258轉(zhuǎn)化為2542，然后先算254=100，再算出1002=200。 （2）1258=1000，16=82，因而我們可以把16125轉(zhuǎn)化為2（8125），然后算出8125=1000，再乘2得到2000； （3）因?yàn)?54100，16=44，這樣可以將兩個(gè)4分別與兩個(gè)25相乘，所以原式就轉(zhuǎn)化為（425）（425），再分別計(jì)算，得到結(jié)果100100=10000； （4）因?yàn)?258=1000，254=100，我們又發(fā)現(xiàn)32=48，所以可將4和8分別與25、125相乘，得到（1258）（254），再分別算出結(jié)果為1000100=100000。 練 習(xí) 二 1．（1）2512 （2）12532 （3）48125 2．（1）125165 （2）2585 （1）1256425 （2）322525 【例3】試著計(jì)算下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （1）2611 （2）5711 （3）25311 （4）46711 【思路導(dǎo)航】通過(guò)計(jì)算、觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個(gè)數(shù)的首位和末位拉開(kāi)分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個(gè)數(shù)相鄰兩位由個(gè)位加起，和寫(xiě)在十位、百位……，哪一位上滿(mǎn)十就向前一位進(jìn)一。 （1）2611=286 （2）5711=627 （3）25311=2783 （4）24711=2717 練習(xí)3：很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）1211 （2）3411 （3）2511 （4）1144 （5）4811 （6）6511 （7）1175 （8）8711 （9）12411 （10）30511 （11）43911 （12）87211 【例4】下面的乘法計(jì)算有規(guī)律嗎？ （1）2524 （2）2125 （3）25427 （4）199825 【思路導(dǎo)航】因?yàn)?54=100，因此，一個(gè)數(shù)與25相乘，我們就看這個(gè)數(shù)里有幾個(gè)4，有幾個(gè)4就有幾個(gè)100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。 （1）2524=1006=600 （2）2125=1005+25=525 （3）25427=100106+75=10600+75=10675 （4）199825=100499+50=49900+50=49950 練習(xí)4：速算。 （1）1225 （2）3425 （3）25121 （4）2546 （5）14825 （6）64325 （7）257252 （8）567825 【例5】很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）2415 （2）24815 （3）567815 【思路導(dǎo)航】因?yàn)?5=10+5，那么2415就可以寫(xiě)成24（10+5），也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用3610=360。 一個(gè)因數(shù)乘以15，也就是用這個(gè)數(shù)加上它的一半再乘以10。具體過(guò)程如下： （1）2415 （2）24815 （3）567815 =（24+12）10 =（248+124）10 =（5678+2839）10 =3610 =360 =37210 =3720 =851710 =85170 練習(xí)5：很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）3415 （2）43615 （3）847215 【例6】很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）459 （2）3299 （3）78999 【思路導(dǎo)航】（1）我們可以先用4510=450，這樣就多加了一個(gè)45，因此我們還要從450中減去1個(gè)45，即450-45=405。 （2）我們可以先用32100=3200，這樣就多加了一個(gè)32，因此我們還要從3200中減去1個(gè)32，即3200-32=3168。 （3）我們可以先用781000=78000，這樣就多加了一個(gè)78，因此我們還要從78000中減去1個(gè)78，即78000-78=77922。 從上面幾題可以看出，一個(gè)數(shù)與9相乘，就用這個(gè)數(shù)乘以10，再減去這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)與99相乘，就用這個(gè)數(shù)乘以100，再減去這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)與999相乘，就用這個(gè)數(shù)乘以1000，再減去這個(gè)數(shù)。 （1）459 （2）3299 （3）78999 =4510-45 =32100-32 =781000-78 =450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922 練習(xí)6：計(jì)算。 （1）329 （2）4619 （3）12349 （4）4599 （5）8599 （6）72899 （7）24999 （8）3999 （9）56999 【例7】下面的乘法計(jì)算有規(guī)律嗎？ （1）1515 （2）2525 （3）3535 （4）4545 （5）6565 （6）9595 【思路導(dǎo)航】通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，個(gè)位是5的兩個(gè)相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位都是25，25前面的數(shù)是這個(gè)兩位數(shù)首位數(shù)與首位數(shù)加1的積，例如： 我們還可以發(fā)現(xiàn)，這種方法還適用于個(gè)位是5的兩個(gè)相同的多位數(shù)相乘的計(jì)算。 練習(xí)7：速算。 （1）5555 （2）7575 （3）8585 （4）105105 （5）125125 （6）995995 乘法巧算拓展 1、十幾乘十幾?？谠E：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用0占位。 例：1214=？ 解: 11=1 2＋4＝6 　24＝8 1214=168 1513= 1412= 1215= 1917= 1614= ２、頭同，尾合十?？谠E：一個(gè)頭加１后頭乘頭，尾乘尾，個(gè)位相乘不夠兩位數(shù)用0占位。 例：2327=？ 解：2＋1＝3 　23＝6 　　37＝21 2327=621 3436= 8288= 5159= 2426= 7476= 3、尾同，頭合十?？谠E：十位相乘加個(gè)位放百位，個(gè)位相乘不夠兩位數(shù)用0占位。 例：3474=？ 解： 37＋4=25 44=16 3474=2516 5951= 8323= 7131= 4564= 1696= 4、第一個(gè)乘數(shù)互補(bǔ)（和為十），另一個(gè)乘數(shù)數(shù)字相同?？谠E：一個(gè)頭加１后，頭乘頭，尾乘尾 例：3744=？ 解：3＋1=4 44=16 74=28 3744=1628 3722= 6433= 1988= 8277= 7355= 5、幾十一乘幾十一?？谠E：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。 例：2141=？ 解：24=8 2＋4=6 11=1 2141=861 3141= 6121= 4151= 5171= 8191= 6、11乘任意數(shù)?？谠E：首尾拉開(kāi)，中間加。 例：1123125=？解：2＋3=5 3＋1=4 1＋2=3 2＋5=7 2和5分別在首尾 1123125=254375 注：和滿(mǎn)十要進(jìn)一。 2611= 63111= 8911= 372911= 7、平方速算。 21 21 = 441 22 22 = 484 23 23 = 529 4 24 = 576 (1)求11～19 的平方：底數(shù)的個(gè)位與底數(shù)相加，得數(shù)為前積，底數(shù)的個(gè)位 乘以個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一。例：17 17= 289 17 ＋ 7 = 24- 7 7 = 49 (2)個(gè)位是1 的兩位數(shù)的平方 ：底數(shù)的十位乘以十位(即十位的平方)，得為前積，底數(shù)的十位加十位(即十位乘以2)，得數(shù)為后積，在個(gè)位加1。 (3)個(gè)位是5 的兩位數(shù)的平方：十位加1 乘以十位，在得數(shù)的后面接上25。 例：35 35(3 ＋ 1) 3 = 12—25= 1225 (4)25～50 的兩位數(shù)的平方：用底數(shù)減去25，得數(shù)為前積，50減去底數(shù)所得的差的平方作為后積，滿(mǎn)百進(jìn)1，沒(méi)有十位補(bǔ)0。 例：37 37=1369 37 - 25 = 12 (50 - 37)2 = 169 注意：底數(shù)減去25后，要記住在得數(shù)的后面留兩個(gè)位置給十位和個(gè)位。 例：26 26=676 26 - 25 = 1 (50-26)2 = 576 1616= 1515= 3131= 7171= 5151= 1717= 4545= 3939= 4242= 2828= 例題8 簡(jiǎn)便運(yùn)算： （1）1305 （2）420025 （3）34000125 思路導(dǎo)航：這里可以運(yùn)用商不變的性質(zhì)，即被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變，因而： （1）1305可將130和5同時(shí)乘2，使除除變?yōu)?0，然后再用26010=26； （2）420025可以將4200和25同時(shí)乘4，使除數(shù)變?yōu)?00，然后再用16800100=168； （3）34000125可以將34000和125同時(shí)乘8，使除數(shù)變?yōu)?000，然后再用2720001000=272。 練習(xí)四 1．你能迅速算出結(jié)果嗎？ （1）1705 （2）32705 （3）23405 2．計(jì)算： （1）720025 （2）360025 （3）5625 3．你有好辦法計(jì)算下面各題嗎？ （1）32000125 （2）78000125 （3）43000125 例題9計(jì)算 56165711 解 56165711 = （567）（16511） = 815 = 120 說(shuō)明：此題中我們沒(méi)有用除法的性質(zhì)：abc = abc = a(bc)，而是把乘除法進(jìn)行了一個(gè)很好的順序變換，方便計(jì)算。 隨堂練習(xí)1 計(jì)算 （1）2596125； = = = = = （2）77 77799 99911 11111 111 = = = = 例7 計(jì)算 （1）40001258 （2）99992222 + 33333334 （3）125+135 分析 （1）題運(yùn)用性質(zhì)abc = a(bc)，可簡(jiǎn)化計(jì)算； （2）題將9999分解成33333就與33333334出現(xiàn)了相同的因數(shù)，可逆用乘法分配律簡(jiǎn)化運(yùn)算. 解 （1） 40001258 = 4000（1258） = 40001000 = 4 （2） 99992222 + 33333334 = 333332222 + 33333334 = 3333（6666 + 3334） = 333310 000 = 33 333 000 說(shuō)明：（2）題是創(chuàng)造條件運(yùn)用乘法運(yùn)算性質(zhì)，這需要我們具有一雙數(shù)學(xué)的慧眼。 隨堂練習(xí)2 計(jì)算 （1）60 000125258； = = = = （2）99 9997 + 11 11137. = = = = 例10不用計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你指出下面那道題得數(shù)大. 452458 453457 分析 注意到453 = 452 + 1,458 = 457 + 1，可運(yùn)用乘法分配律加以判別. 解 因?yàn)? 452458 453457 = 452（457 + 1） = （452 + 1）457 = 452457 + 452 = 452457 + 457， 所以 452458 ﹤ 453457 隨堂練習(xí)6 不用計(jì)算結(jié)果，比較下面兩個(gè)積的大小. A = 54 32112 345 B = 54 32212 344 例11 求1（23）（34）（45）（56）的值. 分析 觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，算式中每個(gè)括號(hào)里的除數(shù)都是下一個(gè)括號(hào)里的被除數(shù)，根據(jù)性質(zhì) a（bc）= abc，計(jì)算時(shí)可以消去3、4、5. 解 原式 = 123344556 = 126 = 3.