南京大學數學分析高等代數考研真題與解析.doc
《南京大學數學分析高等代數考研真題與解析.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《南京大學數學分析高等代數考研真題與解析.doc(12頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
南京大學數學分析,高等代數考研真題南京大學2002年數學分析考研試題一 求下列極限。(1);(2)設,(i)在上的最大值;(ii)設,求。二 設,試證明在內有無窮多個零點。三 設在的某個鄰域內連續(xù),且, (1)求; (2)求;(3)證明在點處取得最小值。四 設在的某個鄰域內具有二階連續(xù)導數,且,試證明: (1); (2)級數絕對收斂。五 計算下列積分 (1)求; (2),其中是圓柱面,三個坐標平面及旋轉拋物面所圍立體的第一象限部分的外側曲面。六 設,在內可導,不恒等于常數,且,試證明:在內至少存在一點,使。七 在變力的作用下,質點由原點沿直線運動到橢球面,第一象限的點,問取何值時,所做的功最大,并求的最大值。八 (1)證明:,; (2)求。南京大學2002年數學分析考研試題解答一 (1)解 . (2)解 (i),當時,在上單增,當時,在上單減,所以在處達到最大值,;(ii)當時, 單調遞增有上界,設,則有,;當時,;當時,二 證明 因為,顯然在上連續(xù),由連續(xù)函數的介值定理知,存在使得 ,即得在上有無窮多個零點。三 解 (1),因為,所以,于是;(3)由知,存在,當時,即知中在處取得極小值。四 、證明 (1)由,知,由知.(2),已知收斂,其中,于是收斂,結論得證。五 (1)解 ,所以 .(2)解 曲面,事物交線為,其中是區(qū)域的邊界時,利用高斯公式, . 當是的邊界時,利用高斯公式 .六 證明 證法一 用反證法,假若結論不成立,則對任意,都有,在上單調遞減,由于不恒等于常數,所以不恒等于零,存在一點,使得,存在,使得,因為,所以,這與矛盾,從而假設不成立,原結論得證。證法2 由于在上連續(xù),在上取到最大值和最小值,且,由于,所以的最大值或最小值必在內達到。若在處達到最大值,存在使得,從而有;若在處達到最小值,存在使得,從而有;結論得證。七 解 設,則有,所以是有勢場,由于時,等號成立當且僅當,所以時,達到最大值,且的最大值為。八 證明 (1)由于當時,有,對任意,取,所以有;(2)取,有,收斂,對任意,在上一致收斂于,故由函數列積分的黎曼控制收斂定理, 。南京大學2003年數學分析考研試題一 求下列極限(1)設,求;(2)設,求。(3)。二 過點作拋物線的切線,求 (1)切線方程; (2)由拋物線、切線及軸所圍成的平面圖形面積; (3)該平面圖形分別繞軸和軸旋轉一周的體積。三 對任一,求在中的最大值,并證明該最大值對任一,均小于。四 設在上有連續(xù)導數,且,(為常數),試證:在內僅有一個零點。五 計算下列積分 (1)設,求和; (2),其中為上半球面,的外側。六 設,在上黎曼可積, (1)求,并討論在上的一致收斂性; (2)求,(要說明理由)七 設的收斂半徑為,令,試證明:在上一致收斂于,其中為任一有窮閉區(qū)間。南京大學2003年數學分析考研試題解答一 (1)解 設,則有,由此知,; (2)解 由歸納法,易知,由此知,單調遞增有界,設,則有 ,故。(3) ,故。3 解 (1),設切點為,設切點的切線方程為。將,代入,所求切線方程為,即。(2)解。(3), 。三 解 ,當時,當時,于是在處達到最大值,。容易證明在上單調遞減, 故有.四 證明 對任意,,當充分大時,有,又,由連續(xù)函數的介值定理,存在,由,在上嚴格單調遞增,所以在內僅有一個零點。五 (1)解 ,顯然,.(2)解 , .六、解 ,由于極限函數在上不連續(xù),所以在上不一致收斂;但對任何在上一致收斂于0;且,根據控制收斂定理,對于在上黎曼可積, 有 。七、 證明 由條件知在上連續(xù),在任意有限區(qū)間上是一致收斂的,對任意有限區(qū)間,在上一致收斂于,在上一致有界,再由在上一致連續(xù),于是有在上一致收斂于.- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 南京大學 數學分析 高等 代數 考研 解析
裝配圖網所有資源均是用戶自行上傳分享,僅供網友學習交流,未經上傳用戶書面授權,請勿作他用。
鏈接地址:http://www.szxfmmzy.com/p-6538026.html