吉林省2018-2019學(xué)年?yáng)|北師范大學(xué)附屬中學(xué)上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷.docx
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吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共12小題,共48.0分)1. 已知集合A=x|-1x6,B=x|x1,則AB為()A. x|1x6B. x|1x6C. x|1x12. 下列四組函數(shù)中,表示相同函數(shù)的一組是()A. y=x1與y=(x1)2B. y=x1與y=x1x1C. y=4lgx與y=2lgx2D. y=(3x)3與y=x3. 函數(shù)f(x)=3x21x+lg(3x+1)的定義域是()A. 13,1B. (13,1)C. (13,1)D. 1,134. 函數(shù)f(x)=ex2+4x9的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. (2,+)B. (2,+)C. (,2)D. (,2)5. 函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0a1)的圖象大致為()A. B. C. D. 6. 設(shè)a=0.45,b=50.4,c=log30.4,則a、b、c的大小關(guān)系是()A. abcB. acbC. cabD. bac7. 已知扇形的周長(zhǎng)是3cm,該扇形的圓心角是1弧度,則該扇形的面積為()A. 12sin1B. 12cm2C. 1cm2D. 2cm28. 函數(shù)f(x)=1gx+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. (1100,110)B. (110,1)C. (1,2)D. (3,4)9. 若f(x)=ax3+x+c在a,b上是奇函數(shù),則a+b+c+2的值為()A. 1B. 0C. 1D. 210. 已知f(x)=logax+2a,x1x24ax+3,x121x,x1,則ff(4)=_14. 函數(shù)f(x)=4x-2x+2,x-1,2的值域?yàn)開(kāi)15. 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1,若對(duì)任意的x(0,2,恒有f(x)0,則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)16. 已知函數(shù)f(x)=12x2ex1ex+1,若f(4-m)-f(m)8-4m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)三、解答題(本大題共6小題,共56.0分)17. 求下列各式的值:(1)3lg4+5lg25+1g1625;(2)(2a23b12)(-6a12b13)(-3a16b56)18. 已知集合A=x|x2-5x-60,B=x|x-3a0(1)當(dāng)a=13時(shí),求B(RA);(2)若AB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍19. 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某種商品在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元,其銷(xiāo)售量就減少10個(gè),已知這種商品進(jìn)價(jià)為40元/個(gè),若按50元一個(gè)售出時(shí)能賣(mài)出500個(gè)(1)請(qǐng)寫(xiě)出售價(jià)x(x40)元與利潤(rùn)y元之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)試計(jì)算當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí),獲得的利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn)20. 已知函數(shù)f(x)=x|x-1|-a(1)當(dāng)a=0時(shí),在給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出f(x)的圖象,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)21. 定義在(-,0)(0,+)上的函數(shù)y=f(x)滿足f(xy)=f(x)-f(y),且函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù)(1)求f(-1),并證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);(2)若f(4)=2,解不等式f(x-5)-f(3x)122. 已知函數(shù)f(x)=log2(2x+1)+ax,xR(1)若f(x)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;(2)當(dāng)a0時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性,不需要證明;(3)當(dāng)a0時(shí),關(guān)于x的方程ff(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=1在區(qū)間1,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案和解析1.【答案】D【解析】解:集合A=x|-1x6,B=x|x1, AB=x|x-1 故選:D先分別求出集合A,B,由此能求出AB本題考查并集的求法,考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題2.【答案】D【解析】解:Ay=x-1與的解析式不同,兩函數(shù)不相同;B.的定義域?yàn)?,+),的定義域?yàn)椋?,+),定義域不同,兩函數(shù)不相同;Cy=4lgx與y=2lgx2=4lg|x|的解析式不同,兩函數(shù)不相同;D.的定義域?yàn)镽,y=x的定義域?yàn)镽,定義域和解析式都相同,兩函數(shù)相同故選:D通過(guò)化簡(jiǎn)解析式可發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A、C的兩函數(shù)的解析式不同,兩函數(shù)不相同,而選項(xiàng)B的兩函數(shù)定義域不同,兩函數(shù)也不相同,只能選D考查函數(shù)的定義,判斷兩函數(shù)是否相同的方法:看解析式和定義域是否都相同3.【答案】B【解析】解:欲使f(x)有意義,則有,解得-x1f(x)的定義域是(-,1)故選:B求函數(shù)f(x)的定義域,即求使f(x)有意義的x的取值范圍本題屬基礎(chǔ)題,考查了函數(shù)的定義域及其求法,解析法給出的函數(shù)要使解析式有意義,具有實(shí)際背景的函數(shù)要考慮實(shí)際意義4.【答案】D【解析】解:因?yàn)閥=ex,是指數(shù)函數(shù),是增函數(shù),y=-x2+4x-9是開(kāi)口向下的二次函數(shù),所以x2時(shí),二次函數(shù)y=-x2+4x-9是增函數(shù),x2時(shí),y=-x2+4x-9是減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:函數(shù)f(x)=e的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,2)故選:D利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化求解即可本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力5.【答案】A【解析】解:由于函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0a1)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 當(dāng)x0時(shí),f(x)=loga x+1,是減函數(shù) 當(dāng)x0時(shí),f(x)=loga (-x )+1,是增函數(shù) 再由圖象過(guò)(1,1)、(-1,1)可得,應(yīng)選A, 故選:A函數(shù)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),x0時(shí),單調(diào)遞減;x0時(shí),單調(diào)遞增,且圖象過(guò)(1,1)、(-1,1),由此得出結(jié)論本題主要考查函數(shù)的圖象特征,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題6.【答案】D【解析】解:00.450.40=1,50.450=1,log30.4log31=0; bac 故選:D容易得出:00.451,50.41,log30.40,從而得出a,b,c的大小關(guān)系考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,增函數(shù)和減函數(shù)的定義7.【答案】A【解析】解:由題意可得:3r=3,解得r=1該扇形的面積=sin1故選:A由題意可得:3r=3,解得r利用扇形面積計(jì)算公式即可得出本題考查了弧長(zhǎng)公式、扇形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題8.【答案】C【解析】解:函數(shù)f(x)=1gx+x-2是連續(xù)增函數(shù),因?yàn)閒(1)=-10,f(2)=lg2+2-20, 所以f(1)f(2)0, 由零點(diǎn)存在定理可知,函數(shù)的零點(diǎn)在(1,2) 故選:C利用函數(shù)的單調(diào)性以及連續(xù)性,通過(guò)零點(diǎn)判定定理推出選項(xiàng)即可本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用,是基本知識(shí)的考查9.【答案】D【解析】解:奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以a+b=0 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), f(-x)=-f(x) 即ax2-x+c=-ax2-x-c 2ax2+2c=0對(duì)于任意的x都成立 a=c=0,則b=0 a+b+c+2=2 故選:D利用奇函數(shù)的定義可知其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),從而建立關(guān)于a,b,c的方程,即可的結(jié)果本題考查了奇函數(shù)的定義及特點(diǎn),注意函數(shù)定義域的特點(diǎn),是個(gè)基礎(chǔ)題10.【答案】C【解析】解:f(x)=滿足對(duì)任意x1x2,都有0成立,開(kāi)始分段函數(shù)是減函數(shù),所以:,解得a故選:C判斷函數(shù)的單調(diào)性利用分段函數(shù),結(jié)合單調(diào)性棱長(zhǎng)不等式組求解即可本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性的定義的理解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力11.【答案】B【解析】解:由函數(shù)f(x)=3x,函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù), 則g(x)=log3x, 所以g(x12)+g(x22)+g(x20172)+g(x20182)=log3(x1x2x2018)2=2log3x1x2x2018=2log381=8, 故選:B由反函數(shù)的求法得:由函數(shù)f(x)=3x,函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則g(x)=log3x, 由對(duì)數(shù)的運(yùn)算求值得:g(x12)+g(x22)+g(x20172)+g(x20182)=2log3x1x2x2018=2log381=8,得解本題考查了反函數(shù)的求法及對(duì)數(shù)的運(yùn)算求值,屬中檔題12.【答案】C【解析】解:令m=f(x),則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f2(x)-(1+t)f(x)+t可變?yōu)閔(m)=m2-(1+t)m+t,設(shè)m1,m2為關(guān)于m的函數(shù)h(m)=m2-(1+t)m+t的零點(diǎn),則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f2(x)-(1+t)f(x)+t有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)m=f(x)的圖象與直線m=m1,m=m2的交點(diǎn)之和為3個(gè),則需函數(shù)m=f(x)的圖象與直線m=m1,m=m2的位置關(guān)系如圖所示,又h(1)=0,由圖可知:0m11=m2,由韋達(dá)定理可得:t=m1m2=m1(0,1),故選:C由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系得:關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f2(x)-(1+t)f(x)+t可變?yōu)閔(m)=m2-(1+t)m+t,設(shè)m1,m2為關(guān)于m的函數(shù)h(m)=m2-(1+t)m+t的零點(diǎn),則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f2(x)-(1+t)f(x)+t有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)m=f(x)的圖象與直線m=m1,m=m2的交點(diǎn)之和為3個(gè),由韋達(dá)定理得:因?yàn)閔(1)=0,由圖可知:0m11=m2,由韋達(dá)定理可得:t=m1m2=m1(0,1),得解本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系及韋達(dá)定理,屬中檔題13.【答案】4【解析】解:函數(shù)f(x)=,f(4)=1-log24=1-2=-1,ff(4)=f(-1)=21-(-1)=4故答案為:4由已知條件利用分段函數(shù)的性質(zhì)得ff(4)=f(-1)=21-(-1)=4本題考查分段函數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用14.【答案】-4,0【解析】解:令,則y=t2-4t=(t-2)2-4,當(dāng)t=4時(shí),ymax=0;當(dāng)t=2時(shí),ymin=-4;故函數(shù)f(x)=4x-2x+2,x-1,2的值域?yàn)?4,0故答案為:-4,0令,則y=t2-4t,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解本題考查函數(shù)的值域求法,運(yùn)用換元法,屬于基礎(chǔ)題15.【答案】1【解析】解:由題意,可知:二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的開(kāi)口向上,且對(duì)稱(chēng)軸為x=a在區(qū)間(0,2上,要使f(x)0恒成立當(dāng)a0時(shí),必須有f(0)0,f(0)=10,a0滿足題意當(dāng)0a2時(shí),必須有f(a)0,f(a)=a2-2a2+1=1-a20,解得:-1a10a20a1當(dāng)a2時(shí),必須有f(2)0,f(2)=4-4a+1=5-4a0,解得:a前提條件是a2,a不符合題意綜上所述,可得a的取值范圍為(-,1故答案為:1本題可根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論,因?yàn)閤的定義域?yàn)椋?,2,所以就要分a在定義域左邊、中間、右邊來(lái)分類(lèi),分別考慮使f(x)0恒成立時(shí)a的取值范圍,最后綜合a的取值范圍即可得到實(shí)數(shù)a的最大值本題主要考查二次函數(shù)定義域確定,而對(duì)稱(chēng)軸不確定的情況下對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分類(lèi)討論的題型,本題屬中檔題16.【答案】2,+)【解析】解:f(x)=,f(x)-=,設(shè)g(x)=f(x)-=,則g(-x)=-=-=-g(x),即g(x)是奇函數(shù),g(x)=-=-1+,則g(x)在(-,+)上為減函數(shù),f(x)=+g(x)f(4-m)-f(m)8-4m,等價(jià)為(4-m)2+g(4-m)-g(m)-m28-4m,即g(4-m)-g(m)+8-4m8-4m,即g(4-m)-g(m)0,即g(4-m)g(m)g(x)在(-,+)上為減函數(shù),4-mm,即m2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是2,+),故答案為:2,+)根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-=,研究函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可本題主要考查不等式的求解,結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng)17.【答案】解:(1)原式=lg(432551625)=lg106=6(2)原式=2(6)3a23+1216b12+1356=4a【解析】(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出 (2)利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題18.【答案】解:(1)當(dāng)a=13時(shí),B=x|x1,A=x|x2-5x-60=x|-1x6,則RA=x|x6或x-1,則B(RA)=x|x-1(2)若AB=B,則AB,B=x|x-3a0=x|x3a則3a6,即a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+)【解析】(1)結(jié)合補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行計(jì)算即可 (2)根據(jù)AB=B得AB,結(jié)合子集關(guān)系進(jìn)行求解即可本題主要考查集合的基本運(yùn)算,求出不等式的等價(jià)條件,結(jié)合交集補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵19.【答案】解:(1)由售價(jià)為x元,可得該商品每個(gè)漲價(jià)x-50元,其銷(xiāo)售量將減少10(x-50)個(gè)即有利潤(rùn)y=(10+x-50)(500-10(x-50)=10(x-40)(100-x)=10(-x2+140x-4000)(2)y=(10+x-50)(500-10(x-50)=10(-(x-70)2+900),當(dāng)x=70時(shí),y取得最大值,且為9000元故每個(gè)商品的售價(jià)為70元能夠使得利潤(rùn)y元最大,利潤(rùn)的最大值為9000元【解析】(1)可得該商品每個(gè)漲價(jià)x-50元,其銷(xiāo)售量將減少10(x-50)個(gè)即有利潤(rùn)y=(10+x-50)(500-10(x-50), (2)利用函數(shù)的解析式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用配方,即可得到最大值及x的值本題考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題,列出函數(shù)的解析式,運(yùn)用配方,是解決二次函數(shù)的常用方法20.【答案】解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x(1x),(x1)x(x1),(x1),則函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,(2)函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=x|x-1|的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù),由(1)得:當(dāng)a0或a14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1個(gè),當(dāng)a=0或a=14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2個(gè),當(dāng)0a14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3個(gè),故答案為:當(dāng)a0或a14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1個(gè),當(dāng)a=0或a=14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2個(gè),當(dāng)0a14時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3個(gè),【解析】(1)由當(dāng)a=0時(shí),f(x)=,則可作出函數(shù)y=f(x)的圖象,(2)函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=x|x-1|的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù),由(1)得:當(dāng)a0或a時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1個(gè),當(dāng)a=0或a=時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2個(gè),當(dāng)0a時(shí),函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3個(gè),得解本題考查了分段函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系,屬中檔題21.【答案】解:(1)令x=y0,則f(1)=f(x)-f(x)=0,再令x=1,y=-1可得f(-1)=f(1)-f(-1)=-f(-1),f(-1)=0令y=-1可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),f(x)是偶函數(shù)(2)f(2)=f(4)-f(2),f(2)=12f(4)=1,又f(x-5)-f(3x)=f(x25x3),f(x25x3)f(2),f(x)是偶函數(shù),在(0,+)上單調(diào)遞增,-2x25x32且x25x30,解得-1x0或0x2或3x5或5x6不等式的解集為x|xx0或0x2或3x5或5x6【解析】(1)先計(jì)算f(1)=0,再令x=1,y=-1可得f(-1),令y=-1即可得出f(-x)=f(x);(2)計(jì)算f(2)=1,故而不等式等價(jià)于f()f(2),根據(jù)f(x)的單調(diào)性和奇偶性列不等式得出解集本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題22.【答案】解:(1)根據(jù)題意,若f(x)是偶函數(shù),則f(-x)=f(x),則有l(wèi)og2(2-x+1)+a(-x)=log2(2x+1)+ax,變形可得2ax=log2(2-x+1)-log2(2x+1)=-x,解可得a=-12,故a=-12;(2)當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=log2(2x+1)和函數(shù)y=ax都是增函數(shù),則函數(shù)f(x)=log2(2x+1)+ax為增函數(shù),(3)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=log2(2x+1)+ax,有f(0)=1,則ff(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=1即ff(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=f(0)又由(2)的結(jié)論,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)=log2(2x+1)+ax為增函數(shù),則有f(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=0,即log2(2x+1)-1og4(2x-1)=a,變形可得:1og4(2x+1)22x1=a,設(shè)g(x)=1og4(2x+1)22x1,若方程ff(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=1在區(qū)間1,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則函數(shù)g(x)的圖象與y=a有2個(gè)交點(diǎn),對(duì)于g(x)=1og4(2x+1)22x1,設(shè)h(x)=(2x+1)22x1,則h(x)=(2x+1)22x1=(2x1)+222x1=(2x-1)+42x1+4,又由1x2,則12x-13,則h(x)min=6,h(1)=9,h(2)=253,則h(x)max=9,若函數(shù)g(x)的圖象與y=a有2個(gè)交點(diǎn),必有l(wèi)og46alog49,故a的取值范圍為(log46,log49【解析】(1)根據(jù)題意,由函數(shù)的性質(zhì)定義可得f(-x)=f(x),則有l(wèi)og2(2-x+1)+a(-x)=log2(2x+1)+ax,變形分析可得答案;(2)根據(jù)題意,分析可得函數(shù)y=log2(2x+1)和函數(shù)y=ax都是R上的增函數(shù),據(jù)此可得f(x)的單調(diào)性;(3)根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式分析可得f(0)=1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析,原方程等價(jià)于f(x)-a(1+x)-1og4(2x-1)=0,變形可得:1og4=a,設(shè)g(x)=1og4,分析可得函數(shù)g(x)的圖象與y=a有2個(gè)交點(diǎn),設(shè)h(x)=,分析函數(shù)h(x)的單調(diào)性以及最值,據(jù)此分析可得答案本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,注意分析函數(shù)f(x)在a0時(shí)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題第15頁(yè),共15頁(yè)- 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- 吉林省 2018 2019 學(xué)年 東北師范大學(xué) 附屬中學(xué) 學(xué)期 期中考試 數(shù)學(xué)試卷
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