概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案 第一章 1．略.見教材習題參考答案. 2.設A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關系式表示下列事件： （1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A，B，C都發(fā)生； （3） A，B，C至少有一個發(fā)生； （4） A，B，C都不發(fā)生； （5） A，B，C不都發(fā)生； （6） A，B，C至多有1個不發(fā)生； 【解】（1） （2） （3） (4) = (5) (6) ∪∪∪ = 3.略.見教材習題參考答案 4.設A，B為隨機事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）. 【解】 P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.設A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 當AB=A時，,取到最大值為0.6. （2） 當A∪B=Ω時，,取到最小值為0.3. 6.設A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率. 【解】 因為P（AB）=P（BC）=0，所以P(ABC)=0， 由加法公式可得 =++-= 7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？ 【解】 設表示“取出的13張牌中有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花”， 則樣本空間中樣本點總數(shù)為 , 中所含樣本點 ,所求概率為 8.對一個五人學習小組考慮生日問題： （1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五個人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 設A1={五個人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨立性求解，下同） （2） 設A2={五個人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故 P（A2）==()5 (3) 設A3={五個人的生日不都在星期日} P（A3）=1-P(A1)=1-()5 9.略.見教材習題參考答案. 10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出n件（n0.試證明：不論ε>0如何小，只要不斷地獨立地重復做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1. 【證】在n重獨立試驗中,事件都不發(fā)生概率為： 由于為隨機事件發(fā)生的概率,而題目給定>0,因此其定義域為 假設n足夠大,即，在 上,由極限定義可得 即假設n足夠大,n次獨立試驗中都不發(fā)生的概率為時, 因而在n足夠大時, 至少發(fā)生一次的概率為 。 證畢。 46.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？ 【解】設A={投擲硬幣r次都得到國徽} B={這只硬幣為正品} 由題知 則由貝葉斯公式知 47.求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率. 【解】 設在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由 .................① .....................② ①—②，得所求概率為 若要計算在n重貝努里試驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得 . 48.某人向同一目標獨立重復射擊每次射擊命中目標的概率為，求此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率。 【解】 根據(jù)獨立重復的伯努利試驗，前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為，再加上第4次射擊命中目標，其概率為，根據(jù)獨立性，所求概率為 . 49. 設是隨機事件, 互不相容，,，求. 【解】因為互不相容，所以,當然,于是 . 50.設A，B是任意兩個隨機事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值. 【解】因為（A∪B）∩（∪）=A∪B （∪B）∩（A∪）=AB∪ 所求  故所求值為0. 51.設兩兩相互獨立的三事件，A，B和C滿足條件： ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由 故或,按題設P（A）<,故P（A）=. 52.設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）. 【解】 ① ② 故 故 ③ 由A,B的獨立性，及①、③式有 故 故 或（舍去） 即P（A）=. 53.隨機地向半圓00,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考) 解：因為 所以 . 57.設隨機事件相互獨立，且求. 【解】 因為 相互獨立，所以 、相互獨立. 而 所以 因此 。