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第三章習(xí)題解 1　在一箱子中裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2　只是次品，在其中任取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。定義隨機(jī)變量，如下： 　　　　 　　　　 試分別就（1），（2）兩種情況寫(xiě)出，的聯(lián)合分布律。 解　（1）放回抽樣 　　　 由于每次抽取時(shí)都是12只開(kāi)關(guān)，第一次取到正品有10種可能，即第一次取到正品的概率為　　　， 第一次取出的是次品的概率為　　 同理，第二次取到正品的概率 　　　第二次取到次品的概率為 由乘法公式得，的聯(lián)合分布率為 ，，。 具體地有 ，， 　　， 用表格的形式表示為 　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 （2）不放回抽樣 　　， 因?yàn)榈诙纬槿r(shí)，箱子里只有11只開(kāi)關(guān)，當(dāng)?shù)谝淮纬槿〉氖钦?，則箱子中有9只正品）。所以 　　，　　 　　，　　 則　， 　　， 用表格表示為 　　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 2?。?）盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。 ?。?）在（1）中求，，，。 解　X可能的取值為0，1，2，3；Y的可能取值為0，1，2。 　?。ㄒ?yàn)楹凶永锟偣仓挥?只球，每次取4只球，而紅球2只，故不可能白球和黑球同時(shí)都取不到） 　，　　 　　　　。 。　　 ，　 ， ，　　 ， 其聯(lián)合分布律為 　　 0　　　　1　　　　2　　　　3 　　0 　 1 　 2 0　　　　　0　　　　　　 0　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　0 （2） 　　　　　　　 　　　　　　　 　??； 　　 　　　　　　　　。 　　　　　　。 3　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　　 （1）確定常數(shù)； （2）求； （3）求； （4）。 解　由得 令，　　得。 （2） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　 （積分區(qū)域?yàn)椋? 　　　　　　 　　　　　　。 4 設(shè)，是非負(fù)的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立。 （1）證明　，其中是的分布函數(shù)，是的概率密度。 （2）設(shè)，相互獨(dú)立，其概率密度分別為 　　　　　，　　 求。 解　（1）因?yàn)?，是非?fù)的連續(xù)型隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，所以，在區(qū)域內(nèi) 　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　?。ǚ植糠e分） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 （2）　　　 　　　　　　　　　 5　設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù) 　　　　， 求邊緣分布函數(shù)。 解　當(dāng)時(shí) 其它情形　，即 。 同理　當(dāng)時(shí) 其它情形　，即 　　。 6　將一枚硬幣擲三次，以X表示前兩次中出現(xiàn)H的次數(shù)，以Y表示3次中出現(xiàn)H的次數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律以及的概率密度。 解　將一枚硬幣擲三次，其H和T出現(xiàn)的情況為 ｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝ X的取值為0,1，2，Y的取值為0，1,2，3則 （TTT），　　　?。═TH） ，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（HTT，THT） ?。℉HT，THH）　 　　　　　　　　　　 　?。℉HT）　　　　　　?。℉HH）　 0　　　　1　　　　2 　　0 　　 　　1　　 2 3 　　　　0　　　0 　　　　　　0 0　　　　　　 0　　　　0　　　 　　　　　　　　　　　　 7　設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 　　　 　求邊緣概率密度。 解　當(dāng)　時(shí) 　　 當(dāng)　時(shí) 　　 8　設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　　　 求邊緣概率密度 解　當(dāng)時(shí)， 　　　　　　于是　　 　　當(dāng)時(shí) 　　　　　于是　 9設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 　　　 （1）確定常數(shù)； （2）求邊緣概率密度 解?。?）　因?yàn)椤? 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 令　，得。即 （2）　　當(dāng)時(shí) 于是　　 當(dāng)時(shí) 　　　　 于是　　 　　10　某一醫(yī)藥公司8月份和9月份收到的青霉素針劑的訂貨單數(shù)分別記為X和Y。據(jù)以往積累的資料知X，Y的聯(lián)合分布律為 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.66　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05　0.01　0.01　0.01 0.05　0.10　0.10　0.05　0.05 0.05　0.02　0.01　0.01　0.03 0.05　0.06　0.05　0.01　0.03 （1）求邊緣分布律； （2）求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件概率。 解（1）邊緣概率　 　　　 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.06　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05　0.01　0.01　0.01 0.05　0.10　0.10　0.05　0.05 0.05　0.02　0.01　0.01　0.03 0.05　0.06　0.05　0.01　0.03 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 0.28　0.28　0.22　0.09　0.13 （2）由條件概率計(jì)算公式，得 　　　　 　　 51　　　52　　　53　　　54　　　55 　　 　　　　　　　　　　　 11　以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個(gè)數(shù)，Y記其中男嬰的個(gè)數(shù)。設(shè)X和Y的聯(lián)合分布律為 　　　　　， （1）求邊緣分布律； （2）求條件分布律； （3）寫(xiě)出時(shí)的條件分布律。 解　因?yàn)閅記錄的是男嬰的個(gè)數(shù)，他是當(dāng)天出生全體嬰兒的一個(gè)子集，故 　　　　 　　　　 ，。 　　 　?。睿? 　　　（） 　　，。 （2）求條件概率 　　 　　　　　　　　　　 　。 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 （3），。 12　求1例1中的條件分布律。 解　1例1設(shè)隨機(jī)變量在1,2，3,4四個(gè)整數(shù)中等可能的取一值，另一個(gè)隨機(jī)變量在中等可能的取一個(gè)整數(shù)值，則的分布律為 　　　 　1　　2　　3　　4 1　 2　 3 4 　　　　 0　　　　　 0　　0　　　 0　　0　　0　　 其對(duì)應(yīng)的邊緣分布 　　　 　　　　　　　 　1　　2　　3　　4 　 1　 2　 3 4 　　　　 0　　　　　 0　　0　　　 0　　0　　0　　 　　　　　 其對(duì)應(yīng)的條件分布律為 由得： ，，，　，，即 1 1 同理，由得： 　　　 　　　， 　　　， 　　　， 　　，即 1　　　　2 　　　 由得： 　　 　　， 　　， 　，即 1　　　　2　　　3 　　　　　　 由得 　　， 　　， 　　， 　　，即 1　　　　2　　　3　　　　4 　　　　　　　　　 13　在第9題中 　　（1）求條件概率密度，特別，寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的條件概率密度； （2）求條件概率密度，特別，寫(xiě)出當(dāng)，時(shí)的條件概率密度。 解　因?yàn)椤　　。? 　　　　　　　 （1）　　 　　　　　　　。 特別地，時(shí)的條件概率密度 　　　 （2） 　　特別地，當(dāng)時(shí)的條件概率密度 　　　　　　， 　　　　　　當(dāng)時(shí)的條件概率密度 14　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　 求條件概率密度。 解?。á。‘?dāng)時(shí)，， 　　　 　　　　　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，于是對(duì)應(yīng)的邊緣概率密度為 　　　　　　 （ⅱ）當(dāng)時(shí)， 　　　　　　 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的邊緣分布概率密度　 15設(shè)隨機(jī)變量，當(dāng)給定時(shí)，隨機(jī)變量的條件概率密度為 　　　　　 求（1）和的聯(lián)合概率密度； ?。?）求邊緣概率密度； ?。?）求 解　由乘法公式知 　　　 又因?yàn)殡S機(jī)變量，即 　　　　　　，所以　 （2）　。 （3） 16?。?）問(wèn)第1題中的兩個(gè)隨機(jī)變量和是否相互獨(dú)立。 　?。?）問(wèn)第14題中的兩個(gè)隨機(jī)變量和是否相互獨(dú)立。 解　?。?）第1題的兩個(gè)隨機(jī)變量為（放回抽樣和不放回抽樣） 　， 對(duì)于放回抽樣來(lái)說(shuō)，由于樣本空間的樣本沒(méi)有變化，所以第一次抽取的結(jié)果并不影響第二次抽取的結(jié)果，所以?xún)蓚€(gè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的。 對(duì)于不放回抽樣來(lái)說(shuō)，由于樣本空間的樣本發(fā)生了變化，所以第一次抽取的結(jié)果對(duì)第二次抽取的結(jié)果有影響，，所以?xún)蓚€(gè)隨機(jī)變量和不是相互獨(dú)立的。 （2）因?yàn)閮蓚€(gè)邊緣密度分別為 　　　當(dāng)時(shí)，　 　　　當(dāng)時(shí)， 而　　， 所以和不是相互獨(dú)立的。 17?。?）設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù) 　　　　，。 證明和相互獨(dú)立。 　　　（2）設(shè)隨機(jī)變量具有分布律 　　　　　　，，和均為正整數(shù)。 問(wèn)和是否相互獨(dú)立。 解　因?yàn)椋ㄖ挥袝r(shí)才有，此時(shí)的表達(dá)式不含）； 　 所以　　，即和相互獨(dú)立。 (2)　因?yàn)椋? 　　　　， , 所以　即和相互獨(dú)立。 具體地，其聯(lián)合分布律（列表）如下： 1 2 3 … n … 1 2 3 n … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 　　　　； 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 一般地　 1　　2　　　　　3　　　　 　　 1　　2　　　　　3　　　　 　　 由此可知和是相互獨(dú)立的。 18 設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的，在區(qū)間上服從均勻分布，的概率密度為 　　　　　　　　， （1）求和的聯(lián)合概率密度； （2）設(shè)有有二次方程，試求有實(shí)根的概率。 解　（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上服從均勻分布，所以 　　　　　　 又和是兩個(gè)相互獨(dú)立的，故其聯(lián)合分布概率密度為 （2）方程有?的充分必要條件是，即 　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　。 　　　　　　　 19　進(jìn)行打靶，設(shè)彈著點(diǎn)的坐標(biāo)和相互獨(dú)立，且都服從分布， 規(guī)定：點(diǎn)落在區(qū)域得2分； 點(diǎn)落在區(qū)域得1分 點(diǎn)落在區(qū)域得0分； 以記打靶的得分，寫(xiě)出，的聯(lián)合概率密度，并求的分布律。 解　（1）因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，且都服從分布，所以，的聯(lián)合概率密 　　　　　　 　　?。?）以記打靶的得分，求的分布律 　　　　因?yàn)榈娜≈禐?，1，2 　　　　　　 用極坐標(biāo)計(jì)算：令，則，， ，，代入上式，得 　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　??； 　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　 　即 0 1 2 20　設(shè)和相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 　　　　， 其中，是常數(shù)，引入隨機(jī)變量　 　　　　 　（1）求條件概率密度； ?。?）求的分布律和分布函數(shù)。 解?。?）和相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以 　　　 （2）和相互獨(dú)立的隨機(jī)變量因?yàn)椋云渎?lián)合分布密度為 　　　　 　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　。 即 0 1 21　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　　　 分別求（1），（2）的概率密度。 解　設(shè)所求的概率密度為，因?yàn)? （1） 　　　　　?。á。? 顯然只有當(dāng)時(shí)，。而使的與的變化范圍：當(dāng)，即時(shí)，中的被積函數(shù)不等于0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即　　　 也可以用分布函數(shù)求 設(shè)的分布函數(shù)為，則 當(dāng)時(shí)，；　 當(dāng)時(shí)， 　　　　　　　　　其中 　　　　　　 當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹辉诰匦螀^(qū)域上不等于0，故 　　　　　 　　　　　　　　 　其中（位于矩形區(qū)域的右上的三角形區(qū)域） 　當(dāng)時(shí)， 所以　　　　 由此知　的概率密度為 　　　　　。 (2)　 　　　由教材之（5.8）知當(dāng)時(shí)其概率密度為 又僅當(dāng)，即時(shí)，上述積分的被積函數(shù)不。由此可得 　　　 　　　即　　　。 22設(shè)和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 　　　　， 求隨機(jī)變量的概率密度。 解　由卷積公式知的概率密度為 　　　　 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由知。 即　 23某種商品一周的需求是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為 　　　　　　　 設(shè)各周的量是相互獨(dú)立的，求（1）兩周，（2）三周的需求量的概率密度。 解　設(shè)第一周的需求量為，第二周的需求量為，則 　　　，。 兩周的需求量， 當(dāng)時(shí)， 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　故　　 　　　（2）設(shè)三周的需求量為，則由（1）知當(dāng)時(shí)　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　故　　　。 　　24　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　　　　 　　　?。?）問(wèn)和是否相互獨(dú)立？ 　　　?。?）求的概率密度。 解　　因?yàn)椤　? 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　故的概率密度為 　　　　　　　　　　 　　　　同理的概率密度為 　　　　　　　　　　 所以　　不等于。 即　　　　　和不是相互獨(dú)立的。 （2）由教材3.5公式（5.1）知 　　　　　 而上述被積函數(shù)只有當(dāng) 　　　　　，即　時(shí)才不等于0。所以 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　。 25　設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有的分布，它們的概率密度均為 　　　　　 求的概率密度。 解　因?yàn)椋嗷オ?dú)，所以，由卷積公式得 　　　　 　　　而， 僅當(dāng)，即時(shí)，上述卷積不為0 　　　于是　　 　　　　　　　　　。 26　設(shè)隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立的，它們的概率密度均為 　　　　　求的概率密度。 解　由教材公式（5.7）知的概率密度為 　　　　 而， 　　　所以 又僅當(dāng)，即時(shí)，上述積分不等于0， 于是當(dāng)時(shí)有 　　 　　　　　 　　　　　 于是　。 27　設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，它們都在區(qū)間服從均勻分布。是以和為邊長(zhǎng)的矩形的面積，求的分布概率密度。 解　由于面積是隨機(jī)變量和的乘積，即，所以也是隨機(jī)變量。問(wèn)題實(shí)際上就是要求在和的邊緣分布概率密度時(shí)的概率密度。 因?yàn)椤　。? 由于隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，所以 　　　 又只有當(dāng)，即時(shí)上述積分才不等于0。 　　時(shí) 　　　　　　 于是　　　。 28　設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，它們都服從正態(tài)分布，試驗(yàn)證隨機(jī)變量　　　　具有概率密度（稱(chēng)為服從參數(shù)為的瑞利（Rayleigh）分布） 　　　　　　 解　由于隨機(jī)變量和獨(dú)立同分布，有 　　　　 　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，是不可能事件，，； 當(dāng)時(shí)， 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　，其中。 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 所以　當(dāng)時(shí)， 　　　　　　 即隨機(jī)變量服從參數(shù)為的瑞利（Rayleigh）分布。 29　設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 　　　　　　 　?。?）試確定常數(shù)； 　　（2）求邊緣概率密度， 　　（3）求函數(shù)的分布函數(shù)。 解　　（1）確定常數(shù) 　因?yàn)椤　? 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　所以　 　　?。?）求邊緣概率密度， 　　　　因?yàn)? 　　　　所以　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　，。 　　　　同理　　 　　　　　　　　　　　　?。ǎ? 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　。 即　　　　　??； 　　　　　　。 　　?。?）求函數(shù)的分布函數(shù) 　　　　　由于，故與相互獨(dú)立。 　　　　　。 　　　　。 于是 　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　。 30　設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從分布，隨機(jī)地抽取4只，求其中沒(méi)有只壽命小于180的概率。 　　　　 解　隨機(jī)地取4只，其壽命記作，，，，由題設(shè)知，它們是獨(dú)立同分布的，且 ，。 記，事件“隨機(jī)地抽取4只沒(méi)有只壽命小于180”即 　　　 　　　　　　　　　　?。ㄓ山滩墓剑?.14）） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 31　對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次，得到的結(jié)果為，，，，，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù)為的瑞利分布， （1）求的分布函數(shù)； （2）求； 解?。?）　因?yàn)?，，，，是相互?dú)立且都服從參數(shù)為的瑞利分布　　　　即　　　　　　 　 　　所以　　　　 　　　　 　　　　　　 ?。?）　 　　　　　　　　　　 （注：，，）。 　　　　32　設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且服從同一分布，試證明： 　　　　　　　　　，（）。 　　　　　證明　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　?。ê拖嗷オ?dú)立） 　　　　　　　　　　　　?。ê屯植迹? 　　　　　　　　　　 33　設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其分布律為 　　　　　　　　 　　　　　　　　 證明隨機(jī)變量的分布律為 　　　　　　　 證明　因?yàn)殡S機(jī)變量和相互獨(dú)立，則 　　　　　　　　， 　　　所以 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　，。 34　設(shè)和相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，，，證明 證明　因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立的隨機(jī)變量，故 所以　 　　　　 　　　　　?。ㄊ桥ｎD二項(xiàng)式的一般項(xiàng)。） 　　　， 即（服從參數(shù)為的泊松分布。） 35　設(shè)，證明 　 證明　因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立的隨機(jī)變量，且 　　　　，，則 　　　　　　　　 　　　　　　　　　。 即。 36設(shè)隨機(jī)變量的分布律 　　　 　　 　 　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5 0 1 2　 3 0.00　　　0.01　　　0.01　　0.05　　　0.07　　　0.09 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08 0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05 （1） 求，； （2） 求的分布律； （3） 求的分布律； （4） 求的分布律。 解　由所給分布律可得對(duì)應(yīng)的邊緣分布律： 　　 　 　　0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　　5 0 1 2　 3 0.00　　　0.01　　　0.03　　0.05　　　0.07　　　0.09 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.05　　　0.06　　　0.08 0.01　　　0.03　　　0.05　　0.05　　　0.05　　　0.06 0.01　　　0.02　　　0.04　　0.06　　　0.06　　　0.05 0.25 0.26 0.25 0.24 　　　 　 0.03　　　0.08　　　0.16　　0.21　　　0.24　　　0.28 （1） 。 （2） 　　　　　　　 　　　　　　　　 由此得 　　　 　　　 　　　　　　　　； 　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　 　 　　 　 　　　　　　 　 　　　　　 0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　4　　　　5 　　0　　　　0.03　　0.16　　　0.28　　0.24　　0.29 （3）　　　　　　　　 　　 　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　 　 　　　　 即　 0　　　　1　　　　2　　　　3　　　　 　　0.28　　0.30　　0.25　　　0.17　 （3）求的分布律 　　　因?yàn)?，所? 　　　　 　　　　 　　　 　　　　　 　　　　 　 　　　　　　 　　 　　 　　 即　 0　　1　　　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　　 0　　0.02　　0.06　　0.13　0.19　0.24　　0.19　　0.12　0.05　　 　 　　　　注2012年2月2日晚23：05分完成本章全部習(xí)題解答。