《期望-方差公式.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《期望-方差公式.doc（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

期望與方差的相關(guān)公式 -、數(shù)學(xué)期望的來由 早在17世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)，給他出了一道題目，題目是這樣的：甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)比賽進(jìn)行到第三局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？ 　　用概率論的知識(shí)，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙獲勝的概率為(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，乙的期望所得值為25法郎。 　　這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，數(shù)學(xué)期望由此而來。 定義1 若離散型隨機(jī)變量可能取值為（=1，2，3 ，…），其分布列為（=1，2，3， …），則當(dāng)<時(shí)，則稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為E=，如果=，則數(shù)學(xué)期望不存在。 定義2 期望：若離散型隨機(jī)變量ξ，當(dāng)ξ=xi的概率為P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），則稱Eξ=∑xi pi為ξ的數(shù)學(xué)期望，反映了ξ的平均值. 期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一確定. 二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C 。 （2）若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)。 （3）。 三、 方差的定義 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量一個(gè)重要的數(shù)字特征。但是在一些場合下，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均值是不夠的，還需要知道隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是方差的概念。 定義3方差：稱Dξ=∑（xi－Eξ）2pi為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了ξ的離散程度. 定義4設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，若存在，則稱 為隨機(jī)變量X的方差，記作，即。 方差的算術(shù)平方根稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作，即 由于與X具有相同的度量單位，故在實(shí)際問題中經(jīng)常使用。 Dξ表示ξ對(duì)Eξ的平均偏離程度，Dξ越大表示平均偏離程度越大，說明ξ的取值越分散. 方差刻畫了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，若X的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望比較集中，則其方差較?。蝗鬤的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望比較分散，則方差較大。若方差=0，則隨機(jī)變量X 以概率1取常數(shù)值。 由定義4知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，故 當(dāng)X離散時(shí), X的概率函數(shù)為； 當(dāng)X連續(xù)時(shí)，X的密度函數(shù)為。 求證方差的一個(gè)簡單公式： 公式1： 證明一： 證明二： 可以用此公式計(jì)算常見分布的方差 四、方差的性質(zhì) （1）設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0。 （2）若C是常數(shù),則。 （3）若與 獨(dú)立，則 公式2： 。 證 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及求方差的公式得 可推廣為：若,，…，相互獨(dú)立，則 （4） D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C =E(X)。 五、常見的期望和方差公式的推導(dǎo)過程 （一）離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)列舉及證明 1．由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)： （1）pi≥0，i＝1，2，…； （2）p1＋p2＋…＝1。 2．離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)： E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。 （1） 公式3：E（aξ+b）=aEξ+b， 證明：令 為常數(shù) 也為隨機(jī)變量 所以 的分布列為 　 　 　 … 　 … 　 　 　 … 　 … = = 說明隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于隨機(jī)變量期望的線性函數(shù) （2） 公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b為常數(shù)）. 證法一： 因?yàn)? 所以有： 證畢 證法二：Dξ=. E(aξ＋b)＝aEξ＋b， D(aξ+b)=a2Dξ． （二）二項(xiàng)分布公式列舉及證明 1．二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量的分布列為：P (＝k)＝Cnk pk qn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，則稱服從二項(xiàng)分布，記作~B (n，p)，其中n、 p為參數(shù)，并記Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。 2．對(duì)二項(xiàng)分布來說，概率分布的兩個(gè)性質(zhì)成立。即： （1）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＞0，k＝0，1，2，…，n； （2）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＝(p＋q) n＝1。 二項(xiàng)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。 3．服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望與方差公式： 若ξ～B（n，p），則Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. （3） 公式5：求證：Eξ=np 方法一： 在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，某結(jié)果發(fā)生的概率均為（不發(fā)生的概率為，有），那么在次實(shí)驗(yàn)中該結(jié)果發(fā)生的次數(shù)的概率分布為 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望.證明如下： 預(yù)備公式 因?yàn)? 所以 = = 所以 = 得證 方法二： 證明：若 ，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)，現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望。 若設(shè) i=1,2，…，n 則，因?yàn)?， 所以，則 可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np 。 需要指出，不是所有的隨機(jī)變量都存在數(shù)學(xué)期望。 公式6 求證：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差公式7：Dξ=npq（q=1－p）. 方法一： 證明： 由公式1知 方法二： 設(shè), 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)。 若設(shè) i=1,2，…，n 則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，，故 ， 由于相互獨(dú)立，于是= np(1- p)。 （三） 幾何分布的期望與方差的公式列舉及證明 1． 定義5：幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。 定義6：在第n次伯努利試驗(yàn)，才得到第一次成功的機(jī)率。 n次伯努利試驗(yàn)，前n-1次皆失敗，第n次才成功的概率。 若，則（1），（2）。 求證：（1）幾何分布的期望 公式8：， 若某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P，求證：從射擊開始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望 證明：依題意分布列為 1 2 3 …… …… 由，知 下面用錯(cuò)位相減法求上式括號(hào)內(nèi)的值。 記 兩式相減，得 由，知，則及（可用LHospital法則證明） 故， 所以 求證：（2） 幾何分布的方差 公式9： 證明：利用導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)如下： 上式中令，則得 （2）為簡化運(yùn)算，利用性質(zhì)來推導(dǎo)。 對(duì)于上式括號(hào)中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，關(guān)于q求導(dǎo)：，并用倍差法求和，有 則， 因此 證明二: = =