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第二章 三角、反三角函數(shù) 一、考綱要求 1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進(jìn)行弧度和角度的互換。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義。 3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值和恒等式的證明。 5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(wx+)的簡(jiǎn)圖，理解A、w、的物理意義。 6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctgx表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決三角形的計(jì)算問題。 8.理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖像得出反三角函數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用反三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題。 9.能夠熟練地寫出最簡(jiǎn)單的三角方程的解集。 二、知識(shí)結(jié)構(gòu) 1.角的概念的推廣： (1)定義：一條射線OA由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點(diǎn)。 (2)正角、零角、負(fù)角：由始邊的旋轉(zhuǎn)方向而定。 (3)象限角：由角的終邊所在位置確定。 第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z 第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z 第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z 第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z (4)終邊相同的角：一般地，所有與α角終邊相同的角，連同α角在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以表示為k360+α，k∈Z。 (5)特殊角的集合： 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合｛α｜α＝，k∈Z｝ 終邊在一、三象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈Z｝ 終邊在二、四象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝ 終邊在四個(gè)象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝ 2.弧度制： (1)定義：用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度與弧度的互化： 1＝弧度，1弧度＝() (3)兩個(gè)公式：(R為圓弧半徑，α為圓心角弧度數(shù))。 弧長(zhǎng)公式：l=｜α｜R 扇形面積公式：S=lR=｜α｜R2 3.周期函數(shù)： (1)定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得x取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，其中非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期，如果T中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小正數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期。 (2)幾個(gè)常見結(jié)論： ①如果T是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。 (1) ②如果T是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期，那么也是y=f(wx)(w≠0)的周期。 ③一個(gè)周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)y=f(x)=c。 4.三角函數(shù)定義： (1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意大小的角，P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分別是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,Secα=,cscα= (如圖(1))。 (2)六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：(如圖(2)) (3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 倒數(shù)關(guān)系：sinαcscα=1,cosαsecα=1,tgαctgα=1 商數(shù)關(guān)系：tgα=,ctgα= 平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α (4)誘導(dǎo)公式： α 2kπ+α -α π-α π+α 2π-α -α +α 正弦 sinα -sinα sinα -sinα -sinα cosα cosα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα cosα sinα -sinα 正切 tgα -tgα -tgα tgα -tgα ctgα -ctgα 余切 ctgα -ctgα -ctgα ctgα -ctgα tgα -tgα 上述公式可以總結(jié)為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。 5.已知三角函數(shù)值求角 6.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)： (1)三角函數(shù)線： 如圖(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS (2)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)： 函數(shù) y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx 圖象 定義域 R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 時(shí)ymax=1 x=2kπ- 時(shí)ymin=-1 ［-1,1］ x=2kπ時(shí)ymax=1 x=2kπ+π時(shí)ymin=-1 R 無(wú)最大值 無(wú)最小值 R 無(wú)最大值 無(wú)最小值 周期性 周期為2π 周期為2π 周期為π 周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在［2kπ-,2kπ+ ］上都是增函數(shù)；在［2kπ+ ,2kπ+π］上都是減函數(shù)(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函數(shù)；在［2kπ，2kπ+π］上都是減函數(shù)(k∈Z) 在(kπ-，kπ+)內(nèi)都是增函數(shù)(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)內(nèi)都是減函數(shù)(k∈Z) 7.函數(shù)y=Asin(wx+)的圖像： 函數(shù)y=Asin(wx+)的圖像可以通過下列兩種方式得到： ＞0，圖像左移 (1)y=sinx y=sin(x+) ＜0，圖像右移｜｜ w＞1，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍 y=sin(wx+) 0＜w＜1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍 A＞1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的A倍 y=Asin(wx+) 0＜A＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的A倍 w＞1,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍 (2)y=sinx 0＜w＜1,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍 ＞0，圖像左移 y=sin(wx) ＜0,圖像右移 A＞1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)A倍 y=sin(wx+) y=Asin(wx+) 0＜A＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)A倍 8.兩角和與差的三角函數(shù)： (1)常用公式： 兩角和與差的公式： sin(αβ)＝sinαcosβcosαsinβ， cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ， tg(αβ)= 倍角公式： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α， tg2α=. 半角公式： sin=, cos=, tg===. 積化和差公式： sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕 cosαcosβ= 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕, sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕 和差化積公式： sinα+sinβ=2sincos, sinα-sinβ=2cossin cosα+cosβ=2coscos , cosα-cosβ=-2sinsin 萬(wàn)能公式： sinα=，cosα=,tgα= (2)各公式間的內(nèi)在聯(lián)系： (3)應(yīng)注意的幾個(gè)問題： ①凡使公式中某個(gè)式子沒有意義的角，都不適合公式。 ②靈活理解各公式間的和差倍半的關(guān)系。 ③在半角公式中，根號(hào)前的符號(hào)由半角所在像限來(lái)決定。 ④常具的變形公式有：cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ). ⑤asinα+bcosα=sin(α+).(其中所在位置由a，b的符號(hào)確定，的值由tg=確定)。 9.解斜三角形： 在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表： 名稱 公式 變形 內(nèi)角和定理 A+B+C=π +＝-，2A+2B＝2π-C 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC cosA= cosB= cosC 正弦定理 ===2R R為ΔABC的外接圓半徑 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=,sinB=,sinC= 射影定理 acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a 面積公式 ①SΔ=aha=bhb=chc ②SΔ=absinC=acsinB=bcsinA ③SΔ= ④SΔ=(P= (a+b+c)) ⑤SΔ= (a+b+c)r (r為ΔABC內(nèi)切圓半徑) sinA= sinB= sinC= 10.反三角函數(shù)： 名稱 反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù) 反正切函數(shù) 反余切函數(shù) 定義 y=sinx(x∈〔-, 〕的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)，記作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)，記作x=arccosy y=tgx(x∈(- , )的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)，記作x=arctgy y=ctgx(x∈(0,π))的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)，記作x=arcctgy 理解 arcsinx表示屬于［-,］ 且正弦值等于x的角 arccosx表示屬于［0，π］，且余弦值等于x的角 arctgx表示屬于(-,)，且正切值等于x的角 arcctgx表示屬于(0，π)且余切值等于x的角 圖像 性質(zhì) 定義域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 ［-，］ ［0，π］ (-，) (0，π) 單調(diào)性 在〔-1，1〕上是增函數(shù) 在［-1，1］上是減函數(shù) 在(-∞，+∞)上是增數(shù) 在(-∞，+∞)上是減函數(shù) 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx 周期性 都不是同期函數(shù) 恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］) cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］) tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-,)） ctg(arcctgx)=x(x∈R) arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π)) 互余恒等式 arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) arctgx+arcctgx=(X∈R) 11.三角方程： (1) 最簡(jiǎn)單三角方程的解集： 方程 方程的解集 sinx=a ｜a｜＞1 Φ ｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝ ｜a｜＜1 ｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝ cosx=a ｜a｜＞1 Φ ｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝ ｜a｜＜1 ｛x｜x=2kπarccosa,k∈z tgx=a ｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝ ctgx=a ｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝ (2)簡(jiǎn)單三角方程：轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單三角方程。 三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是每年高考的必考內(nèi)容，其主要內(nèi)容由以下三部分構(gòu)成：三角函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)；三角恒等變形；反三角函數(shù)。在高考中，第二部分為主要內(nèi)容，進(jìn)行重點(diǎn)考查，當(dāng)然也不放棄前后兩部的考查，對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行分析后，可以看出：對(duì)三角函數(shù)的考查主要有兩種方式：?jiǎn)为?dú)考查三角函數(shù)或與其它學(xué)科綜合考查，前一部分通常是容易題或中等題，而后一部分有一定難度。 下面對(duì)常見考點(diǎn)作簡(jiǎn)單分析： 1.角、三角函數(shù)定義的考點(diǎn)：這是對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查，一般不會(huì)單獨(dú)成題，更多地是結(jié)合其它方面的內(nèi)容(如：三角恒等變形，三角函數(shù)性質(zhì)等)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)作綜合考查。 2.三角函數(shù)圖像的考查：通常有三種方式：由圖像到解析式：由圖像到性質(zhì)；圖像的應(yīng)用。 3.三角函數(shù)性質(zhì)的考查 (1)定義域和值域： (2)周期性：通常結(jié)合恒等變形考查如何求三角函數(shù)的最小正周期，或考查與周期性相關(guān)的問題，如：設(shè)f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=( ) (3)單調(diào)性：通常以處理最值問題的形式出現(xiàn)，總與恒等變形聯(lián)系在一起，一般地二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等的最值問題相結(jié)合。 4.三角恒等變形：以化簡(jiǎn)、求值、證明等各種題型出現(xiàn)，以題中通?？疾楹汀⒉?、倍、半各公式的運(yùn)用，大題中通常考查和積互化公式的運(yùn)用，這是三角函數(shù)的重要內(nèi)容。 5.反三角函數(shù)：對(duì)這部分的考查多屬于容易題或中檔題，重點(diǎn)是反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)。 6.代數(shù)、三角、解幾、立幾，不等式等的綜合考查。 進(jìn)行三角恒等變形是處在三角問題最常用的技能，下面分析幾種常見的解題思路： 1.角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關(guān)系，減少角的種類，化異角為同角。 2.函數(shù)名的變換：觀察、比較題設(shè)與結(jié)論之間，等號(hào)的左右兩邊的函數(shù)名差異，化異名為同名。 3.常數(shù)的變換：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=tg,=sin等。 4.次數(shù)的變化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。 5.結(jié)構(gòu)變化：對(duì)條件，結(jié)論的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變除為乘，或求差等 6.和積互化：這既是一種基本技能，也是一種常見解題思路，且應(yīng)用比較廣泛。 7.綜合運(yùn)用上述各種方式。 例1 sin600的值是( ) A.. B.- C. D.- 解：sin600=sin(360+240)=sin240 =sin(180+60)=-sin60 =- ∴應(yīng)選D. 例2 已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),則ctgθ的值是_______. 解:sinθ+cosθ=(sinθ+cosθ)2=()2sinθcosθ=-. ∴sinθ和cosθ是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的兩根. 25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的兩根為t1=,t2=-. ∵θ∈(0.π) sinθ＞0. ∴sinθ= ,從而cosθ=-, ∴ctgθ=.=-. 應(yīng)填- . 例3 tg20+tg40+tg20tg40的值是_______. 解：∵=tg60=tg(20+40)=, ∴tg20+tg40= (1-tg20tg40). ∴原式=(1-tg20tg40)+ tg20tg40). = 應(yīng)填. 例4 求值：coscos=________. 解：coscos =(cos+cos)= (-+0)=-. 例5 關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+) (x∈R),有下列命題： ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍； ②y=f(x)的表達(dá)可以改寫為y=4cos(2x-)； ③y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(- ,0)對(duì)稱； ④y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱； 其中正確命題的序號(hào)是___________. (注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上) 解：分別討論四個(gè)命題. ①令4sin(2x+)=0,得2x+=kπ (k∈Z),x=- (k∈Z),設(shè)x1=-,x2=- ,k1≠k2,k1,k2∈Z, 則f(x1)=f(x2)=0, 但x1-x2=(k1-k2),當(dāng)k1-k2為奇數(shù)時(shí)，x1-x2不是π的整數(shù)倍 ∴命題①不正確. ②y=f(x)=4sin(2x+)=4cos［-(2x+)］=4cos(-2x+)=4cos(2x-) ∵命題②正確 ③根據(jù) 2x+ 0 π 2π X - Y 0 4 0 -4 0 作出y=f(x)=4sin(2x+)的草圖，如圖 由圖知，f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱， ∴命題③正確 ④由圖知，y=f(x)的圖像不關(guān)于直線x=-對(duì)稱 ∴命題④不正確 應(yīng)填②、③ 例6 函數(shù)y=sin(x-)cosx的最小值是_______. 解：利用積化和差公式(注：今后高考試卷中會(huì)印寫公式)，得 y=［sin(2x-)］+sin(-)］ = sin(2x-)-. ∵sin(2x- )∈［-1,1］, ∴ymin=-. 應(yīng)填-. 例7 y= +sin2x,則y的最小值是_____. 解：利用3倍公式： sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx. y=+sin2x =+sin2x =+sin2x =+sin2x =+sin2x = +sin2x =cos2x+sin2x =sin(2x+) ∴ymin=-. 應(yīng)填- 例8 在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinAsinB( ) A.有最大值和最小值0 B.有最大值但無(wú)最小值 C.既無(wú)最大值也無(wú)最小值 D.有最大值1但無(wú)最小值 解：∵A+B=. ∴sinAsinB=sinAcosA=sin2A, A∈(0, )2A∈(0,π) ∴sinAcosA有最大值但無(wú)最小值. 應(yīng)選B. 例9 求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x= ∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2 =(sin2xcos+cos2xsin)+2 = sin(2x+)+2 ∴當(dāng)2x+=+2kπ時(shí),ymax=2+ 即x=+Kπ(K∈Z)，y的最大值為2+ 例10 已知α是第三象限角，且sinα=-則tg=( ) A. B. C.- D.- 解：∵sinα=,sinα=-, ∴-=. 化簡(jiǎn)得12tg2+25tg +12=0， 即(4tg+3)(3tg+4)=0. 解出tg =-,tg =- . 又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，+2kπ)， ∴∈+kπ，+kπ)， ∴tg ∈(-∞，-1)， ∴tg =- (舍去tg=-1). 應(yīng)選D. 例11 sin220+cos280+sin20cos80=___________. 解：sina220+cos280+sin20cos80 =++2sin20cos80 =1-(cos40+cos20)+ (sin100-sin60) =1-cos30cos10+ cos10- = 應(yīng)填. 例12 求sin220+cos250＋sin20cos50的值_____________. 解:sin220+cos250+sin20cos50 =sin220+sin240+sin20sin40 =(sin20+sin40) 2-sin20sin40 =(2sin30cos10) 2+ (cos60-cos20) =+ (-cos20) = 應(yīng)填. 例13 tg20+4sin20=________. 解：tg20+4sin20 = = = = = = =. 例14 cos275＋cos215＋cos75cos15的值等于( ) A. B. C. D.1+ 解：cos275+cos215＋cos75cos15 =(sin215+cos215)+sin15 =1+ =. 應(yīng)選C. 例15 已知ctg=3,則cosθ=_________. 解：由已知有tg=. ∴cosθ===. 例16 已知tgA+ctgA=m,則sin2A___________. 解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgA ∴sin2A= ==. 例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b≠0時(shí)，求tg3A的值(用a、b表示)； (2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）. 解：(1)利用和差化積公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=. (2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2 ∴(1+2cos2A) 2=. 又sin6A= ==, ∴(1+2cos2A)2==a2+b2. 例18 一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( ) A.arcos B.arcsin C.arccos D.arcsin 解：不妨設(shè)此直角三角形三內(nèi)角為A、B、C且A＜B＜C=90. 由已知，sinA,sinB,sin90=1成等比數(shù)列， ∴sin2B=sinA 又A+B=90，得sinB=cosA, ∴cos2A=sinA,1-sin2A=sinA， 即sin2A+sinA-1=0. 解出sinA= (舍去sinA=) ∴A=arcsin , 應(yīng)選B. 例19 如圖，若sin2x＞cos2x，則x的取值范圍是( ). A. ｛x｜2kπ-＜x＜2kπ+,k∈Z｝ B. ｛x｜2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z｝ C. ｛x｜kπ-＜x＜kπ+,k∈Z｝ D. ｛x｜kπ+＜x＜kπ+,k∈Z＝ 解：由于sin2x和cos2x的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解. 在同一坐標(biāo)系在區(qū)間［0，π］上作出sinx和cosx的圖像. 把［，π］的cosx的圖像沿x軸上翻后，求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=,x2＝.∴在(+2kπ，+2kπ)上有sin2x＞cos2x. 應(yīng)選D. 例20 下列四個(gè)命題中的假命題是( ) A.存在這樣的α和β的值，使得 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在無(wú)窮多個(gè)α和β的值，使得 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.對(duì)于任意的α和β，使得 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在這樣的α和β的值，使得 cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ 解：C是兩角和的余弦展開公式，當(dāng)然正確，從而D也正確. 對(duì)于A，取α=β=0，則cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A正確. 對(duì)于B，取α=β=2kπ，k∈Z，則cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2kπ+sin2kπsin2kπ, ∴B.不正確. 應(yīng)選B. 例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx＜1或arctgx＞2. 又-＜arctgx＜ . ∴-＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg1. 例22 滿足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范圍是( ) A.［-1,- ］ B.［-,0］ C.［0, ］ D.［,1］ 解：反余弦函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,1］,且為減函數(shù). -1≤1-x≤1 ∴ -1≤x≤1 ≤x≤1 1-x≤x 應(yīng)選D. 例23 已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, ) 求α+β(用反三角函數(shù)表示). 解：由題設(shè)得sinα==,從而cosα=,且cosβ=- 又α+β∈(π,2π)(α+β-π)∈(0,π), cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-. ∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β)〕=- . ∴-π+(α+β)=arccos 即α+β=π+arccos 例24 記函數(shù)y=的圖像為l1，y=arctgx的圖像為l2，那么l1和l2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A.無(wú)窮多個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè) 解：作出函數(shù)草圖可知有2個(gè)交點(diǎn). 又x:0→時(shí),arctgx:0→+∞, :+∞→0. ∴x＞0時(shí)，l1和l2有一個(gè)交點(diǎn). 又arctgx和都是奇函數(shù)， ∴x＜0時(shí)，l1和l2也有一個(gè)交點(diǎn). 應(yīng)選B. 四、能力訓(xùn)練 1.設(shè)M＝｛第一像限角｝，N＝｛小于90角｝，則M∩N是( ) (A)｛第一像限角｝ (B)｛銳角｝ (C)｛小于90角｝ (D)非以上答案 (考查象限角的概念) 2.扇形圓心角為60，半徑為a，則扇形內(nèi)切圓面積與扇形面積之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9 (考查扇形面積公式) 3.θ是第四象限角，且｜c(diǎn)os｜＝cos，則在( ) (A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限 (考查象限角與三角函數(shù)值的符號(hào)) 4.sin21+sin22+…+sin290的值屬于區(qū)間( ) (A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47） (考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)的有界性) 5.已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊為射線4x+3y=0(x＞0)，則sinα(sinα+ctgα)+cos2α的值是( ) (A) (B) (C) (D) (考查三角函數(shù)定義和直線方程) 6.己知0＜a＜1，＜α＜，則下列元數(shù)M=(sinα)logasinα,N=(cosα)logαcosα,P=(cosα)logasinα的大小關(guān)系是( ) (A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N (考查對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)關(guān)系) 7.若f(sinx)=sin3x,則cos3x等于( ) (A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx) (考查誘導(dǎo)公式與函數(shù)解析式) 8.方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都錯(cuò) (考查三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像) 9.函數(shù)y=sin(2x+)的圖像中的一條對(duì)稱軸方程是( ) (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x= (考查三角函數(shù)圖像的特征) 10.如圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖像， 那么f(x)的解析式可以寫成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x) (考查三角函數(shù)的圖像與解析式) 11.對(duì)于函數(shù)y=cos(sinx)，正確的命題是( ) (A)它的定義域是［-1，1］ (B)它是奇函數(shù) (C)y∈［cos1,1］ (D)不是周期函數(shù) (考查三角函數(shù)有關(guān)性質(zhì)及弧度制) 12.函數(shù)y=tg-的最小正周期是( ) (A) (B)π (C) (D)2π (考查三角函數(shù)的周期和恒等變形) 13.函數(shù)y=cscxcos3x-cscxcos5x是( ) (A)周期為的奇函數(shù) (B)周期為的偶函數(shù) (C)周期為π的奇函數(shù) (D)周期為π的偶函數(shù) (考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系) 14.若a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，則下列不等式中成立的是( ) (A)a＞＞b (B)a＜＜b (C)a＜b＜ (D)b＜a＜ (考查輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性) 15.下列四個(gè)命題中的假命題是( ) (A)存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ (B)不存在無(wú)窮多個(gè)α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C)對(duì)于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (D)不存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ (考查公式的記憶，理解和邏輯語(yǔ)言的理解) 16.tgα、tgβ是方程7x2-8x+1=0的二根，則 sin2(α+β)-sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值是( ) (A) (B) (C) (D) (考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及有關(guān)求值) 17.sin(α+β)=-，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π)，α+β∈(，2π)。則cos2β＝( ) (A)-1 (B)1 (C) (D)- (考查同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的余弦公式) 18.若ctgx=3，則cos2x+sin2x的值是( ) (A)- (B)- (C) (D) (考查同角三角函數(shù)關(guān)系，半角公式，萬(wàn)能公式) 19.tg9-tg27+tg63+tg81的值為( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2 (考查同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式，和積互化公式) 20.在△ABC中，(1)已知tgA= sinB=，則∠C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,則∠C有且只有一解，其中正確的是( ) (A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)與(2)都正確 (D)(1)與(2)均不正確 (考查綜合有關(guān)公式，靈活處理三角形中的計(jì)算) 21.在△ABC中，若a，b，c為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，則( ) (A)a，b，c成等差數(shù)列 (B)a，c，b成等差數(shù)列 (C)a，c，b成等比數(shù)列 (D)a，b，c成等比數(shù)列 (考查三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，和差化積，倍角公式，兩個(gè)基本數(shù)列) 22.給出下列四個(gè)命題： ①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形； ②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形； ③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC是鈍角三角形； ④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，則△ABC是等邊三角形，以上命題正確的個(gè)數(shù)是( ) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) (考查靈活運(yùn)用公式判斷三角形形狀和判斷正誤的能力) 23.函數(shù)y=cosx(π≤x≤2π)的反函數(shù)是( ) (A)y=π+arccosx (B)y=π-arcsinx (C)y=π+arcsinx (D)y=π-arccosx (考查反函數(shù)的求法，誘異公式，反三角弦函數(shù)定義) 24.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的一組是( ) (A)y=arcsin(cosx)與y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)與y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx與y=arcctg (D)y=sin(arcsinx)與y=tg(arctgx) (考查有關(guān)反三角恒等式及其運(yùn)算，函數(shù)的定義) 25.設(shè)m=arcsin,n=arccos,p=arctg，則m，n，p的大小關(guān)系是( ) (A)p＞n＞m (B)n＞m＞p (C)p＞m＞n (D)m＞n＞p (考查反三角函數(shù)的運(yùn)算及其單調(diào)性) 26.設(shè)函數(shù)y=2arcsin(cosx)的定義域?yàn)?-，)，則其值域是( ) (A)( ，) (B)( ，π) (C)(- ，) (D)(- ，π) (考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的定義域和值域) 27.函數(shù)y=logsinx(2cosx+1)的定義域是__________。 (考查函數(shù)定義域的求法，數(shù)形結(jié)合解三角不等式) 28.f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是____________ (考查絕對(duì)值定義，誘異公式，正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，函數(shù)值域) 29.把y=sinx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)。然后將新得圖像向左平移單位，這樣得到的圖像的解析式是______________。 (考查三角函數(shù)圖像的變換) 30.若函數(shù)y=sin(x+)+cos(x+)是偶函數(shù)，則的值是_________。 (考查函數(shù)的奇偶性，三角恒等變形，最簡(jiǎn)單三角方程) 31：(1)tg70+tg50-tg70tg50=________ (2)△ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，則log2sinc=_________ (3)(1+tg1)(1+tg2)(1+tg3)……(1+tg45)=________ (4)己知tgA+tgB+=tgAtgB，且sinAcosB=，則△ABC的形狀是______ (5)己知A、C是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tgA,tgC是方程x2-px+1-p＝0(p≠0，且p∈R)，的兩個(gè)實(shí)根，則tg(A+C)=________，tgA,tgC的取值范圍分別是_____和_____，P的取值范圍是__________ (考查兩角和的正切公式的變形運(yùn)用，倍角公式，韋達(dá)定理，對(duì)數(shù)值計(jì)算) 32.函數(shù)y=cosx-1(0≤x≤2π)的圖像與x軸所圍成圖形的面積是_________。 (考查三角函數(shù)圖形的對(duì)稱變換) 33.函數(shù)y=arcsin+arctgx的值域是___________ (考查反三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性) 34.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命題 ①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整數(shù)倍； ②y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-)； ③y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱； ④y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱 其中正確命題的序號(hào)是______________ (考查簡(jiǎn)單三角方程，誘導(dǎo)公式，圖像的對(duì)稱性) 35.設(shè)三角函數(shù)f(x)=sin(+)，其中k≠0 (1)寫出f(x)的極大值M，極小值m，最小正周期T。 (2)試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時(shí)，函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值m， (考查三角函數(shù)的最值、周期，以及分析問題、解決問題的能力) 36.己知x+=2cosθ，試求xn+(n∈N)的值 (結(jié)合三角函數(shù)，考查數(shù)學(xué)歸納法，增量法) 37.求值： (1) (2)sec50+tg10 (考查同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式，輔助角公式，和差化積等) 38.解答下列各題： (1)己知A、B均為鈍角，且sinA=,sinB=,求A+B (2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=,tgβ=-,求2α-β (3)己知α、β都是銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證：α+2β= (4)求證：arcsin+arcsin(-)＝arcsin (考查如何求角，如何證明關(guān)于角的等式) 39.根據(jù)下列所給條件，分別求出cos(α+β)的值： (1)己知sinα-sinβ=，cosα-cosβ= (2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的兩個(gè)根(α≠2kπ+β,k∈z)； (3)己知z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z1-z2=+i； (4)己知直線y=2x+m與圓x2+y2=1有兩個(gè)公共點(diǎn)M，N，且x軸正半軸逆轉(zhuǎn)到兩射線OM，ON(O為原點(diǎn))的最小正角依次為α、β (考查三角與方程、復(fù)數(shù)、解幾的聯(lián)系，萬(wàn)能公式的運(yùn)用) 40.解答下列各題： (1)銳角△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC (2)銳角△ABC中，求證：tgAtgBtgC＞1 (3)α、β∈［0，］，己知+=2，求證：α+β= (考查三角函數(shù)的單調(diào)性) 41.解答下列各題： (1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。 (2)求y=的最值 (3)設(shè)函數(shù)y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①寫出f(a)的表達(dá)式； ②試確定能使f(a)= 的a的值。 (4)求f(x)=的值域 (5)求y=2sinxsin2x的最大值 (6)若θ為鈍角，求y=+(a＞b＞0)的最小值 (7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范圍 (8)己知3sin2α+2sin2β=2sinα，求cos2α+cos2β的最值 (考查三角函數(shù)常見最值的求法) 42.a、b、c是△ABC的三邊，求證：= (考查三角形中恒等式的證明) 43.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C＝，求sinB的值。 (考查三角形中的有關(guān)計(jì)算) 44.在△ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC的周長(zhǎng)為12，求其面積的最大值。(考查三角形中的最值問題) 45.己知f(x)=tgx,x∈(0,)，若x1,x2∈(0, )，且x1≠x2，證明：［f(x1)+f(x2)］＞f() (綜合考查三角函數(shù)與不等式) 46.己知實(shí)數(shù)x，y滿足x +y =1，問 x2+y2是否為定值?若是，請(qǐng)求該值：否則求其取值范圍。 (考查代數(shù)與三角的綜合題) 47.在高出地面30m的小山頂C處建造一座電視塔CD(如圖)，今在距離B點(diǎn)60m的地面上取一點(diǎn)A，若測(cè)得CD對(duì)A所張的角為45，求電視塔的高度。 (考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問題的能力) 48.如圖，海中小島A周圍20海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測(cè)得小島A在船的角偏東30，在C處測(cè)得A在船的南偏東60，如果此船不改變航向，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)? (考查應(yīng)用正弦定理處理實(shí)際問題的能力) 49.外國(guó)船只，除特許者外，不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域，設(shè)A，B是我們的觀測(cè)站，A與B間的距離是S里，海岸線是過A，B的直線，一外國(guó)船只在P點(diǎn)，在A處測(cè)得∠BAP=α，同時(shí)在B處測(cè)得∠ABP=β，問α及β滿足什么三角不等式時(shí)，就應(yīng)當(dāng)問這艘未經(jīng)特許的外國(guó)船發(fā)出警告，命令退出我海域? (考查靈活應(yīng)用三角知識(shí)處理實(shí)際問題的能力) 50.半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓周長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，向形外作等邊△ABC，問B點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大?并求出這個(gè)最大值。 (考查分析問題和解決問題的能力) 51.己知半徑為1，圓心角為的扇形，求一邊在半徑上的扇形的內(nèi)接矩形的最大面積。 (考查三角函數(shù)在圓形最值中的運(yùn)用) 52.腰為a的等腰△ABC中，∠A=90，當(dāng)A，B分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，且點(diǎn)C與原點(diǎn)O在AB的兩側(cè)時(shí)，求OC長(zhǎng)的最大值。 (綜合考查三角、解幾、最值問題) 53.如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為S，為使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底邊長(zhǎng)之和最小，問此時(shí)腰與下底夾角α應(yīng)該是多少? (考查代數(shù)與三角的綜合) 54.用一塊長(zhǎng)為a，寬為b(a＞b)的矩形木塊，在二面角為α的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的儲(chǔ)物倉(cāng)(使木板垂直于地面的兩邊緊貼墻面，另一邊與地面緊貼)試問，怎樣圍才能使儲(chǔ)物倉(cāng)的容積最大?并求出這個(gè)最大值 (考查代數(shù)、三角、立幾的綜合運(yùn)用) 55.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸上給定兩點(diǎn)A，B，試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB最大。 (考查代數(shù)，三角，解幾的綜合運(yùn)用) 能力訓(xùn)練參考答案 1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D 27.｛x｜2kπ＜x＜2kπ+，且x≠2kπ+，k∈z＝ 28.［-2，2］ 29.y=sin(2x+) 30.=kπ+ (k∈z) 31.(提示：應(yīng)用公式tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ))(1)- (2)- (3)223(提示：用(2)的結(jié)論) (4)正三角形 (5) ；(0，)；(0，)；［，1) 32.2π 33.［0，π］ 34.①② 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T≤1) 36.2cosnθ 方法(一)：用數(shù)學(xué)歸納法 方法(二)：設(shè)x=cosθ+t,則==cosθ-t ∴t2=-sin2θ 于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可 37.(1)-4 (2) 38.(1)∵A+B∈(0，π)，sin(A+B)=1 ∴A+B= (2)tgα=tg［(α+β)-β］=∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-∈(-1,0) ∴β∈(,π) ∴2α-β∈(-π,- ) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β)］=1 ∴2α-β=- (3)α+2β∈(0，π) sin(α+2β)＝1 ∴α+2β= (4)arcsin+arcsin(-)∈(-，)， arcsin∈(0, ) 又兩邊正弦相等 ∴等式成立。 39.提示：?jiǎn)栴}都可歸結(jié)為tg==-cos(α+β)= 40.提示： (1)～(2)A+B＞ ∴＞A＞-B＞0 ∴sinA＞sin(-B)＝cosB 同理：sinB＞cosC,sinC＞cosA (3)顯然：,必定一個(gè)大于1，一個(gè)不小于1，不妨設(shè)sin2α≤cos2β sin2β≥cos2α ∴α+β≤ α+β≥ ∴α+β＝ 41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三種解法：萬(wàn)能公式，解析法：轉(zhuǎn)化為asinx+bcosx=c(處理) 1 (a≤-2) (3)①f(a)= --2a-1 (-2＜a＜2＝ 1-4a (a≥2) ②a=-1(提示：通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題) (4)［-,-1］∪(-1, ］ (5)y=4sin2xcosx ∴y2=8sin2xsin2x2cos2x≤8()2 ∴ymax= (6)y=a2(1+tg2θ)+b2(1+ctg2θ)=a2+b2+(a2tg2θ+b2ctg2θ)≥(a+b)2 ∴ymin=(a+b)2 (7)設(shè)cosxcosy=M,則M+=cos(x-y)∈［-1,1］ M-＝cos(x+y)∈［-1，1］ ∴M∈［-，］ (8)cos2α+cos2β= (sinα-)2+ 又sin2β=sinα-sin2α∈［0，1］ ∴sinα∈［0, ］ ∴ (cos2α+cos2β)max=2，(cos2α+cos2β)min= 42.提示：左====右 43. 44.由條件可知cosA=0 ∴ A= ∴12=b+c+≥2+ ∴=6(2-) ∴Smax=108-72 45.分析：＞1+cos(x1+x2)＞2cosx1cosx2cos(x1-x2)＜1 46.設(shè)x=cosα，y=cosβ(α,β∈［0,π］),則sin(α+β)=1，∴α+β＝ ∴ x2+y2=1 47.150m 48.∵A離航向所在直線的距離為15＞20 ∴繼續(xù)航行沒有觸礁的危險(xiǎn) 49.設(shè)P到AB的距離為d，則S=d(ctgα+ctgβ) 當(dāng)d≤D，即ctgα+ctgβ≤時(shí)，應(yīng)向外國(guó)船發(fā)出警告。 50.設(shè)∠AOB=α(0＜α＜180＝，則S=+2sin(α-60) ∴α=150時(shí)，Smax=2+ 51.設(shè)∠BOC=α，則S＝(cos(2α-)-) ∴α＝時(shí)，Smax= 52.設(shè)∠BAO=α，則OC2=a2(+sin2θ+cos2θ) ∴｜OC｜max=-a 53.三邊之和l=+h ∴α=30時(shí)，lmin=+h 54.設(shè)木板在地面上的兩頂點(diǎn)在墻角的距變分別是x、y (1)若長(zhǎng)邊緊貼地面，則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα) ∴此時(shí)Vmax=a2bctg=V1 (2)若短邊緊貼地面，則b2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα) ∴ 此時(shí)Vmax=b2actg=V2 ∵a＞b＞0 ∴V1＞V2 ∴當(dāng)長(zhǎng)邊緊貼地面，且倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)容積最大，最大值為a2bctg 55.設(shè)A(0,a),B(0,b),C(x,0) 則 tg∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)= ∴當(dāng)x=時(shí)，(∠ACB)max=arctg