正五邊形尺規(guī)作圖的畫法及其他.doc
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正五邊形尺規(guī)作圖的畫法及其他 正五邊形的畫法 圓內(nèi)接正五邊形的畫法如下: 1、 作一個圓,設(shè)它的圓心為O; 2、作圓的兩條互相垂直的直徑AZ和XY; 3、作OY的中點(diǎn)M; 4、以點(diǎn)M為圓心,MA為半徑作圓,交OX于點(diǎn)N; 5、以點(diǎn)A為圓心,AN為半徑,在圓上連續(xù)截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,則五邊形ABCDE即為正五邊形。 以上兩種圖形的作法運(yùn)用了所求圖形邊長與已知的線段長度的關(guān)系,用構(gòu)造直角三角形的方法作出與所求圖形的邊長相等的線段,從而作出整個圖形,這是尺規(guī)作圖中常用的一種方法——等線段法,即用已知圖形的線段作出與所求圖形邊長相等的線段。 正多邊形的尺規(guī)作圖是大家感興趣的.正三邊形很好做;正四邊形稍難一點(diǎn);正六邊形也很好做;正五邊形就更難一點(diǎn),但人們也找到了正五邊形的直規(guī)作圖方法.確實(shí),有的困難一些,有的容易一些.正七邊形的尺規(guī)作圖是容易一些,還是困難一些呢?人們很久很久未找到作正七邊形的辦法,這一事實(shí)本身就說明作正七邊形不容易;一直未找到這種作法,也使人懷疑:究竟用尺規(guī)能否作出正七邊形來?數(shù)學(xué)不容許有這樣的判斷:至今一直沒有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法來,所以斷言它是不能用尺規(guī)作出的. 人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問題,卻在正七邊形面前止步了:究竟能作不能作,得不出結(jié)論來.這個懸案一直懸而未決兩千余年. 17世紀(jì)的費(fèi)馬,就是我們在前面已兩次提到了的那個法國業(yè)余數(shù)學(xué)家,他研究了形如 Fi (i為右下角標(biāo))=22i(底數(shù)2指數(shù)2的i次冪)+1 的數(shù). 費(fèi)馬的一個著名猜想是,當(dāng) n≥3時,不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.現(xiàn)在他又猜測Fi都是素數(shù),對于i=0,1,2,3,4時,容易算出來相應(yīng)的Fi: F0=3,F(xiàn)1=5,F(xiàn)2=17, F3=257,F(xiàn)4=65 537 驗(yàn)證一下,這五個數(shù)的確是素數(shù).F5=225+1是否素數(shù)呢?僅這么一個問題就差不多一百年之后才有了一個結(jié)論,偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素數(shù),因而,偉大的費(fèi)馬這回可是猜錯了!F5是兩素數(shù)之積: F5=6416 700 417. 當(dāng)然,這一事例多少也說明:判斷一個較大的數(shù)是否素數(shù)也決不是件簡單的事,不然,何以需要等近百年?何以需要?dú)W拉這樣的人來解決問題? 更奇怪的是,不僅F5不是素數(shù),F(xiàn)6,F(xiàn)7也不是素數(shù),F(xiàn)8,F(xiàn)9,F(xiàn)10,F(xiàn)11等還不是素數(shù),甚至,對于F14也能判斷它不是素數(shù),但是它的任何真因數(shù)還不知道.至今,人們還只知F0,F(xiàn)1,F(xiàn)2,F(xiàn)3,F(xiàn)4這樣5個數(shù)是素數(shù).由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素數(shù),于是人們產(chǎn)生了一個與費(fèi)馬的猜想大相徑庭的猜想,形如22i+1的素數(shù)只有有限個.但對此也未能加以證明. 當(dāng)然,形如Fi=22i+1的素數(shù)被稱為費(fèi)馬素數(shù).由于素數(shù)分解的艱難,不僅對形如Fi=22i+1的數(shù)的一般結(jié)論很難做出,而且具體分解某個Fi也不是一件簡單的事. 更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)F5不是素數(shù)之后的60多年,一位德國數(shù)學(xué)家高斯,在他僅20歲左右之時發(fā)現(xiàn),當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素數(shù)時是可以尺規(guī)作圖的,他發(fā)現(xiàn)了更一般的結(jié)論:正n邊形可尺規(guī)作圖的充分且必要的條件是 n=2k(2的k次冪)或 2kp1p2…ps,(1,2…s為右下角標(biāo)) 其中,p1,p2,…,ps是費(fèi)馬素數(shù). 正7邊形可否尺規(guī)作圖呢?否!因?yàn)?是素數(shù),但不是費(fèi)馬素數(shù). 倒是正17邊形可尺規(guī)作圖,高斯最初的一項(xiàng)成就就是作出了正17邊形.根據(jù)高斯的理論,還有一位德國格丁根大學(xué)教授作了正257邊形. 就這樣,一個懸而未決兩千余年的古老幾何問題得到了圓滿的解決,而這一問題解決的過程是如此的蹊蹺,它竟與一個沒有猜對的猜想相關(guān)連. 正17邊形被用最簡單的圓規(guī)和直尺作出來了,而正多邊形可以換個角度被視為是對圓的等分,那么這也相當(dāng)于僅用圓規(guī)和直尺對圓作了17等分,其圖形更覺完美、好看.高斯本人對此也頗為欣賞,由此引導(dǎo)他走上數(shù)學(xué)道路(他早期曾在語言學(xué)與數(shù)學(xué)之間猶豫過),而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個正17邊形圖案. 高斯把問題是解決得如此徹底,以致有了高斯的定理,我們對于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形,還進(jìn)而知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖,就因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素數(shù)(3=F0,5=F1);對于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形,乃至于正11邊形、正 13邊形,現(xiàn)在我們能有把握地說,它們不可能由尺規(guī)作圖,因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬素數(shù);對于正257邊形、正65 537邊形,即使我們不知道具體如何作,可是理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的;此外,為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢?因?yàn)?=22,因?yàn)?6= 2 3而 3=F0.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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