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1 第15講 函數(shù)的綜合應(yīng)用 2 1 設(shè)f x xsinx 若x1 x2 且f x1 f x2 則下列不等式恒成立的是 D A x1 x2B x10D x12 x22 3 方法一 因?yàn)閒 x x sin x xsinx f x 所以f x 在R上是偶函數(shù) 又f x1 f x2 所以f x1 f x2 又f x 在 0 上是增函數(shù) 所以 x1 x2 即x12 x22 故選D 方法二 f x 在R上是偶函數(shù) 且在 0 上遞增 作圖如右 由圖象知 x1 x2 即x12 x22 故選D 4 2 設(shè)f x x 1 1 x 1 若關(guān)于x的方程f2 x bf x c 0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1 x2 x3 則x12 x22 x32等于 A A 5B 2 C 13D 3 5 作函數(shù)f x 的圖象如圖所示 由圖象知f x 關(guān)于x 1對(duì)稱(chēng) 因此方程的根也必須關(guān)于x 1對(duì)稱(chēng) 由題意 方程三個(gè)根 必有x1 1的根 另外兩根有x2 x3 2 且由 1 2 0或x2 2 則x3 2或x3 0 所以x12 x22 x32 5 選A 6 3 已知f x 是定義在R上且以3為周期的偶函數(shù) 且f 2 0 則方程f x 0在區(qū)間 0 6 內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值為 B A 5B 4C 3D 2 因?yàn)閒 x 是偶函數(shù) 所以f 2 f 2 0 又因?yàn)閒 x 是以3為周期的周期函數(shù) 所以f 2 f 1 f 4 0 f 2 f 5 0 故方程f x 0在 0 6 內(nèi)至少有4個(gè)解 7 4 若a 1 且a m logan a n logam 則m n的關(guān)系是 A A m n 0B m n 0C n m 0D 不確定 設(shè)f x a x logax 因?yàn)閍 1 所以f x 為單調(diào)遞減函數(shù) 由a m logann 0 8 題型一恒成立問(wèn)題 例1 f x ax3 3x 1對(duì)于x 1 1 總有f x 0成立 求a的值 若x 0 則不論a取何值 f x 0顯然成立 當(dāng)x 0即x 0 1 時(shí) f x ax3 3x 1 0 可化為a 9 設(shè)g x 則g x 所以g x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞減 因此g x max g 4 從而a 4 當(dāng)x 0即x 1 0 時(shí) f x ax3 3x 1 可化為a g x 在區(qū)間 1 0 上單調(diào)遞增 因此g x min g 1 4 從而a 4 綜上a 4 函數(shù)的綜合運(yùn)用 包括構(gòu)造函數(shù)模型 解決不等式的恒成立問(wèn)題 通常采用分離參數(shù)后 構(gòu)造函數(shù)模型求最值 10 題型二比較參數(shù)值的大小 例2 若正實(shí)數(shù)a b滿足ab ba 且a 1 則有 C A a bB a bC a bD 不能確定a b的大小 11 由a0 所以函數(shù)f x 在 0 1 上是增函數(shù) 又f a f b 所以a b 等式ab ba兩邊取對(duì)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為 構(gòu)造函數(shù)f x 利用函數(shù)的性質(zhì)解題 12 在近幾年的高考中 出現(xiàn)了與函數(shù)f x 相關(guān)的一些試題 若利用函數(shù)f x 的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解 就比較簡(jiǎn)單易解 函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù)f x 若f x 0 則xe 即函數(shù)f x 在 0 e 上是增函數(shù) 13 在 e 上是減函數(shù) 且注意x 1時(shí) 函數(shù)f x 0 所以函數(shù)f x 的圖象如圖所示 由圖象可得其性質(zhì) 14 若m n是正整數(shù) 且n m 1 求證 1 m n 1 n m 1 m n 1 n m n m 1 構(gòu)造函數(shù)f x x 1 易知函數(shù)f x 在 1 上是減函數(shù) 當(dāng)n m 1時(shí) f m f n 即 所以 1 m n 1 n m 15 題型三函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題 例3 已知函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 1 且同時(shí)滿足 對(duì)任意x 0 1 總有f x 2 f 1 3 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 則有f x1 x2 f x1 f x2 2 求 1 f 0 的值 2 f x 的最大值 16 1 由條件 得f 0 2 又由條件 取x1 x2 0 得f 0 2 所以f 0 2 2 任取x1 x2 0 1 且x1 x2 則0 x2 x1 1 所以f x2 x1 2 又f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 2 f x1 所以f x 在 0 1 上為增函數(shù) 所以f x max f 1 3 17 已知f x 是二次函數(shù) 不等式f x 0的解集是 0 5 且函數(shù)f x 在區(qū)間 1 4 上的最大值是12 1 求函數(shù)f x 的解析式 2 是否存在自然數(shù)m 使得方程f x 0在區(qū)間 m m 1 內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 若存在 求出所有m的值 若不存在 說(shuō)明理由 18 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x 是二次函數(shù) 且f x 0 如圖所示 又函數(shù)f x 在區(qū)間 1 4 上的最大值為12 由圖象可知f 1 6a 12 所以a 2 由此得到函數(shù)f x 2x x 5 2x2 10 x 2 方程f x 0等價(jià)于方程2x3 10 x2 37 0 設(shè)函數(shù)g x 2x3 10 x2 37 19 則g x 6x2 20 x 2x 3x 10 當(dāng)x 0 時(shí) g x 0 g x 在 上是增函數(shù) 又因?yàn)間 3 1 0 g 0 所以方程g x 0在區(qū)間 3 4 內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根 而在區(qū)間 0 3 4 內(nèi)沒(méi)有實(shí)根 所以存在惟一的自然數(shù)m 3 使得方程f x 0在區(qū)間 m m 1 內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 20 本題主要考查 三個(gè)二次 的關(guān)系 函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 求二次函數(shù)的解析式等基本知識(shí) 考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法 考查函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合等思想方法和分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 與二次函數(shù)有關(guān)的綜合題涉及面廣 包容量大 幾乎貫穿高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié) 是推理能力的重要題型 21 1 理解函數(shù)的概念 掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決函數(shù)綜合問(wèn)題的基礎(chǔ) 靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象 性質(zhì)及數(shù)學(xué)思想方法是解決函數(shù)的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵 2 解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí) 要認(rèn)真分析 處理好各種關(guān)系 把握問(wèn)題的主線 運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決 要注意等價(jià)轉(zhuǎn)換 化歸 數(shù)形結(jié)合 分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想和方法的綜合運(yùn)用 22 3 函數(shù)與方程 函數(shù)與不等式是函數(shù)的綜合中最重要的部分 是歷年高考的重點(diǎn) 熱點(diǎn)和難點(diǎn) 應(yīng)予以重視 4 隱函數(shù)問(wèn)題 注意賦值法的應(yīng)用 其次要充分的利用已知的條件挖掘隱含條件 抽象概括函數(shù)的一些性質(zhì) 如奇偶性 單調(diào)性 周期性等 23 2009 天津卷 已知函數(shù)f x x2 4x x 04x x2 x 0 若f 2 a2 f a 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 C A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 本題解題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的圖象 概括出函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù) 所以由f 2 a2 f a 2 a2 a 2 a 1 24 2009 全國(guó)卷 已知AC BD為圓O x2 y2 4的兩條相互垂直的弦 垂足為M 1 則四邊形ABCD的面積的最大值為 5 如圖 取AC的中點(diǎn)F BD的中點(diǎn)E 連接OE OF 則OE BD OF AC 又AC BD 所以四邊形OEMF為矩形 25 設(shè)OF d1 OE d2 所以d12 d22 OM2 3 又 AC BD 所以S四邊形ABCD AC BD 因?yàn)? d22 3 所以當(dāng)d22 時(shí) S四邊形ABCD有最大值為5 本節(jié)完 謝謝聆聽(tīng)