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1 第二章應(yīng)力強度因子的計算 2 計算值的幾種方法 1 數(shù)學分析法 復(fù)變函數(shù)法 積分變換 2 近似計算法 邊界配置法 有限元法 3 實驗標定法 柔度標定法 4 實驗應(yīng)力分析法 光彈性法 3 2 1三種基本裂紋應(yīng)力強度因子的計算 一 無限大板 型裂紋應(yīng)力強度因子的計算 計算的基本公式 1 在 無限大 平板中具有長度為的穿透板厚的裂紋表面上 距離處各作用一對集中力P 選取復(fù)變解析函數(shù) 4 邊界條件 除去處裂紋自由表面上 如切出坐標系內(nèi)的第一象限的薄平板 在軸所在截面上內(nèi)力總和為P 以新坐標表示 5 2 在無限大平板中 具有長度為的穿透板厚的裂紋表面上 在距離的范圍內(nèi)受均布載荷q作用 利用疊加原理 集中力 令 6 當整個表面受均布載荷時 3 受二向均布拉力作用的無限大平板 在軸上有一系列長度為 間距為的裂紋 單個裂紋時 7 邊界條件是周期的 8 采用新坐標 當時 9 取 修正系數(shù) 大于1 表示其他裂紋存在對的影響 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多 可不考慮相互作用 按單個裂紋計算 10 二 無限大平板 型裂紋問題應(yīng)力強度因子的計算 1 型裂紋應(yīng)力強度因子的普遍表達形式 無限大板 2 無限大平板中的周期性的裂紋 且在無限遠的邊界上處于平板面內(nèi)的純剪切力作用 11 3 型裂紋應(yīng)力強度因子的普遍表達形式 無限大板 4 型周期性裂紋 12 2 2深埋裂紋的應(yīng)力強度因子的計算 1950年 格林和斯內(nèi)登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變得到橢圓表面上任意點 沿方向的張開位移為 其中 第二類橢圓積分 13 1962年 Irwin利用上述結(jié)果計算在這種情況下的應(yīng)力強度因子 原裂紋面 14 假設(shè) 橢圓形裂紋擴展時 邊緣上任一點有 均在的平面內(nèi) 15 新的裂紋面仍為橢圓 長軸 短軸 原有裂紋面 擴展后裂紋面 以 代入 原有裂紋面的邊緣向位移 16 17 設(shè)各邊緣的法向平面為平面應(yīng)變 有 當時 18 在橢圓的短軸方向上 即 有 橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強度因子 當時 圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強度因子 19 2 3半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強度因子計算 一 表面淺裂紋的應(yīng)力強度因子 歐文假設(shè) 半橢圓片狀表面淺裂紋與深埋橢圓裂紋的之比等于邊裂紋平板與中心裂紋平板的值之比 又有 裂紋長度 板寬度 20 當時 橢圓片狀表面裂紋A處的值 21 二 表面深裂紋的應(yīng)力強度因子 深裂紋 引入前后二個自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴展 增大 彈性修正系數(shù) 由實驗確定 一般情況下 前自由表面的修正系數(shù) 后自由表面的修正系數(shù) 22 巴里斯和薛 時 接近于單邊切口試樣 時 接近于半圓形的表面裂紋 利用線性內(nèi)插法 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數(shù) 板厚 裂紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 23 柯巴亞希 沙 莫斯 表面深裂紋的應(yīng)力強度因子 應(yīng)為最深點處 24 2 4其他問題應(yīng)力強度因子的計算 一 型復(fù)合問題應(yīng)力強度因子的計算 復(fù)變數(shù) 取復(fù)變解析函數(shù) 取應(yīng)力函數(shù) 或 滿足雙調(diào)和方程 25 分析第一應(yīng)力不變量 對于 型復(fù)合裂紋 型 型 26 型復(fù)合裂紋在裂紋前端處的不變量 取復(fù)數(shù)形式的應(yīng)力強度因子 又 27 若采用 選擇滿足具體問題的應(yīng)力邊界條件 復(fù)變解析函數(shù)表達的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式 利用這個方法可以求解很多 無限大 平板中的穿透裂紋問題 28 二 無限寬板穿透裂紋應(yīng)力強度因子的計算 實際情況應(yīng)看成有限寬板計算 必須考慮自由邊界對裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的影響 在理論上得不到完全解 通過近似的簡化或數(shù)值計算方法 方法 邊界配置法 有限單元法等 邊界配置法 將應(yīng)力函數(shù)用無窮級數(shù)表達 使其滿足雙調(diào)和方程和邊界條件 但不是滿足所有的邊界條件 而是在有限寬板的邊界上 選足夠多的點 用以確定應(yīng)力函數(shù) 然后再由這樣符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定值 邊界配置法 只限于討論直邊界問題 29 1 威廉氏 Williams 應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力公式 Williams應(yīng)力函數(shù) 滿足雙調(diào)和方程 邊界條件 裂紋上 下表面 均為零 在邊界上的邊界條件的滿足如下確定 在有限寬板的邊界上選取足夠的點 使這一點的邊界條件滿足 30 為了計算方便引入無量綱量 試件厚度 試件寬度 31 2 的計算 針對 型裂紋 當時 當時 當 1時 在乘后與無關(guān) 而當 2 3 時 在乘之后與有關(guān) 當都為零 32 3 借用無裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù) 取含裂紋三點彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的 取個點分析 以有限級數(shù)代替無限級數(shù)精度足夠 33 對于不同的點有 其中標準試件 34 2 5確定應(yīng)力強度因子的有限元法 不同裂紋體在不同的開裂方式下的應(yīng)力強度因子是不同的 一些實驗方法解析方法都有各自的局限性 而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場 而應(yīng)力和位移場與密切相關(guān) 所以 可以通過有限元方法進行應(yīng)力強度因子的計算 一 位移法求應(yīng)力強度因子 型 35 有限元法 裂紋尖端位移 外推法 二 應(yīng)力法求應(yīng)力強度因子 型 有限元法 利用剛度法求應(yīng)力時 應(yīng)力場比位移場的精度低 因應(yīng)力是位移對坐標的偏導(dǎo)數(shù) 36 三 間接法求應(yīng)力強度因子 應(yīng)變能釋放率法 四 積分法 圍繞裂紋尖端的閉合曲線 積分邊界上的力 邊界上的位移 應(yīng)變能密度 線彈性問題 37 2 6疊加原理及其應(yīng)用 一 的疊加原理及其應(yīng)用 線彈性疊加原理 當n個載荷同時作用于某一彈性體上時 載荷組在某一點上引起的應(yīng)力和位移等于單個載荷在該點引起的應(yīng)力和位移分量之總和 疊加原理適用于 證明 由疊加原理有 38 實例 鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理 其中 圓孔直徑 板有寬度 板寬的修正 39 有效裂紋長度 確定 無限板寬中心貫穿裂紋受集中力作用 有限板寬 40 二 應(yīng)力場疊加原理及其應(yīng)用 無裂紋時外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力場 應(yīng)力場疊加原理 在復(fù)雜的外界約束作用下 裂紋前端的應(yīng)力強度因子等于沒有外界約束 但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時外界約束在裂紋處產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力所致的應(yīng)力強度因子 41 實例 旋轉(zhuǎn)葉輪 或軸 內(nèi)孔端裂紋 42 1 求解無裂紋時 旋轉(zhuǎn)體在無裂紋部位的內(nèi)應(yīng)力 由彈性力學有 為葉輪密度 為角速度 為葉輪內(nèi)徑 為葉輪外徑 為計算點的位置 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 一般情況下 43 2 根據(jù)類比原則 比較兩種情況 內(nèi)孔半徑一致 裂紋大小及組態(tài)一樣 裂紋面上下受力一致 外邊界無約束 唯一不同的是一個是有限體 一個是無限體 由于邊界是自由的 44 帶中心孔的無限大板 受雙向拉應(yīng)力時 孔邊附近的應(yīng)力 注意無裂紋時 由彈性力學知 3 根據(jù)疊加原理 45 2 7實際裂紋的近似處理 利用斷裂力學進行安全評價時 首先確定缺陷的大小 部位和形狀 偏于安全考慮 夾雜 空洞 氣孔 夾雜性裂紋 裂紋應(yīng)針對實際問題進行分析 一 缺陷群的相互作用 1 垂直外應(yīng)力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 工程上偏安全考慮 并列裂紋作為單個裂紋考慮 對于密集的缺陷群 假定它們在空間規(guī)則排列 并可把空間裂紋簡化成平面裂紋 46 2 與外應(yīng)力垂直的面內(nèi)共線裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上 可做為單個裂紋處理 否則必須考慮修正 二 裂紋形狀的影響 通過探傷手段 裂紋形狀的影響 1 探傷結(jié)果是面積 當缺陷的面積相同時 的橢圓裂紋最大 以的橢圓裂紋分析是偏于安全的 47 2 探傷的結(jié)果是最大線尺寸 當最大直徑相同時 圓裂紋的比橢圓裂紋大 以圓裂紋估算偏于安全 當缺陷長度一樣時 貫穿裂紋比其它裂紋的大 以貫穿裂紋估算偏于安全 48 2 8塑性區(qū)及其修正 小范圍屈服 屈服區(qū)較小時 遠遠小于裂紋尺寸 線彈性斷裂力學仍可用 一 塑性區(qū)的形狀和大小 1 屈服條件的一般形式 屈服條件 材料超過彈性階段而進入塑性階段的條件 單向拉壓 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn) 復(fù)雜情況 49 2 根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a 利用米塞斯 von Mises 屈服條件 當復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時的形狀改變能密度 材料屈服 即 對于 型裂紋的應(yīng)力公式 平面應(yīng)力 50 平面應(yīng)力下 型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程 當時 平面應(yīng)變 平面應(yīng)變下 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當時 51 b 利用Tresca 屈雷斯加 屈服條件 在復(fù)雜受力下 當最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時的屈服切應(yīng)力 材料即屈服 比較發(fā)現(xiàn) 平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小 平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服 平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力比高 塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 52 3 應(yīng)力松弛的影響 由于塑性變形引起應(yīng)力松弛 應(yīng)力松弛 依據(jù) 單位厚含裂紋平板 在外力作用下發(fā)生局部屈服后 其凈截面的內(nèi)力應(yīng)當與外界平衡 塑性區(qū)尺寸增大 圖中虛線所示 此曲線下的面積為 外力 53 應(yīng)力松弛后 外力 屈服區(qū)內(nèi)的最大應(yīng)力稱為有效屈服應(yīng)力 又BD與CE下的面積應(yīng)相等 平面應(yīng)力 在平面應(yīng)力條件下 考慮應(yīng)力松弛 軸的屈服區(qū)擴大1倍 54 平面應(yīng)變條件下 注意 上述分析沒有考慮材料強化 材料強化使裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小 對于設(shè)計是偏于安全的 55 二 有效裂紋尺寸 基本原理 設(shè)想裂紋的計算邊界由向右移到 以便使彈性區(qū)域內(nèi)按線彈性理論所獲得的應(yīng)力和實際應(yīng)力曲線基本符合 有效裂紋尺寸 根據(jù)上述基本原理有 56 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 裂紋的計算邊界正好在塑性區(qū)的中心 57 三 應(yīng)力強度因子的計算 1 表達式簡單的可用解析式 a 無限寬板中心穿透裂紋 線彈性 小范圍屈服 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 增大因子塑性區(qū)修正因子 58 b 深埋裂紋 橢圓片狀 平面應(yīng)變 線彈性 小范圍屈服 59 c 表面淺裂紋 形狀因子 60 d 表面深裂紋 很小 令 0 212