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空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第三章理想不可壓縮流體平面位流 6學(xué)時(shí) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 第3章理想不可壓縮流體平面位流 3 1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3 2幾種簡單的二維位流3 2 1直勻流3 2 2點(diǎn)源3 2 3偶極子3 2 4點(diǎn)渦3 3一些簡單的流動(dòng)迭加舉例3 3 1直勻流加點(diǎn)源3 3 2直勻流加偶極子3 3 3直勻流加偶極子加點(diǎn)渦3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 對(duì)于理想不可壓縮流體 流動(dòng)的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運(yùn)動(dòng)方程組 在第二章中已給出這些方程的推導(dǎo)過程 本章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程 但是 要想得到這些偏微分方程的解 并非易事 因?yàn)閷?shí)際飛行器的外形都比較復(fù)雜 要在滿足這些復(fù)雜邊界條件下求得基本方程的解 困難是相當(dāng)大的 為了簡化求解問題 本章首先介紹流體力學(xué)中一類簡單的流動(dòng)問題 理想不可壓縮流體的無旋流動(dòng) 這是早期流體力學(xué)發(fā)展的一種理想化近似模型 比求解真實(shí)粘性流動(dòng)問題要容易的多 在粘性作用可忽略的區(qū)域 這種理想模型的解還是有相當(dāng)?shù)目尚懦潭?2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 1 不可壓縮理想流體無旋流動(dòng)的基本方程初始條件和邊界條件為在t t0時(shí)刻 在物體的邊界上在無窮遠(yuǎn)處 思考 為什么需要邊界條件 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 如果沒有無旋條件進(jìn)一步簡化上述方程 求解起來也是很困難的 這是因?yàn)榉匠讨械膶?duì)流項(xiàng)是非線性的 而且方程中的速度V和壓強(qiáng)p相互耦合影響 需要一并求出 但是 對(duì)于無旋流動(dòng) 問題的復(fù)雜性可進(jìn)一步簡化 特別是可將速度和壓力分開求解 這是因?yàn)?對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)情況 流場的速度旋度為零 即存在速度勢函數(shù) 位函數(shù) 為 思考 速度和壓力需要耦合求解是什么意思 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中 得到 由此可見 利用無旋流動(dòng)和連續(xù)條件所得到的這個(gè)方程是大家熟知的二階線性偏微分方程 拉普拉斯方程 這是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 如果對(duì)這個(gè)方程賦予適當(dāng)?shù)亩ń鈼l件 就可以單獨(dú)解出速度位函數(shù) 繼而求出速度值 與壓強(qiáng)p沒有進(jìn)行耦合求解 那么如何確定壓強(qiáng)呢 在這種情況下 可將速度值作為已知量代入運(yùn)動(dòng)方程中 解出p值 實(shí)際求解并不是直接代入運(yùn)動(dòng)方程中 而是利用Bernoulli 或Lagrange 積分得到 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 由此說明 只要把速度勢函數(shù)解出 壓強(qiáng)p可直接由Bernoulli方程得到 在這種情況下整個(gè)求解步驟概括為 1 根據(jù)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出速度勢函數(shù)和速度分量 2 由Bernoulli方程確定流場中各點(diǎn)的壓強(qiáng) 這使得速度和壓強(qiáng)的求解過程分開進(jìn)行 從而大大簡化了問題的復(fù)雜性 綜合起來對(duì)于理想不可壓縮流體無旋流動(dòng) 控制方程及其初邊界條件為 初始條件為邊界條件為 在流體力學(xué)中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件 及在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件 邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界 對(duì)飛行器或物體而言 內(nèi)邊界即飛行器或物體表面 外邊界為無窮遠(yuǎn) 3 1 平面不可壓位流的基本方程 邊界條件 按照在邊界上所給條件是針對(duì)位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù) 邊界條件分為三種類型 1 第一邊值問題 狄利希特問題 給出邊界上位函數(shù)自身值 2 第二邊值問題 諾曼問題 給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 3 第三邊值問題 龐卡萊問題 給出部分邊界上位函數(shù)自身值 部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值空氣動(dòng)力問題大多數(shù)屬于第二邊值問題 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 將坐標(biāo)系與飛行器或物體固連 則外邊界在遠(yuǎn)離物體處 速度為V 內(nèi)邊界是物體表面 不允許流體穿過或表面法向速度為零外邊界內(nèi)邊界n為物面法向可以證明 拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件 則解是唯一的 求不可壓理想無旋流繞物體的流動(dòng)問題就轉(zhuǎn)化為求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解這一數(shù)學(xué)問題 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 2 速度勢函數(shù)的性質(zhì) 1 速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量 速度勢函數(shù)沿著流線方向增加 由此可得出 速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù) 而不影響流體的運(yùn)動(dòng) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 2 速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程 是調(diào)和函數(shù) 滿足解的線性迭加原理 如果速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程 則它們的線性組合也滿足拉普拉斯方程 3 速度勢函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等勢線 速度方向垂直于等勢線 4 連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)速度勢函數(shù)之差 速度線積分與路徑無關(guān) 僅決定于兩點(diǎn)的位置 如果是封閉曲線 速度環(huán)量為零 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 3 流函數(shù)及其性質(zhì)根據(jù)高等數(shù)學(xué)中 格林公式可知 平面問題的線積分與面積分的關(guān)系 如果令由此可見 下列線積分與路徑無關(guān) 圍繞封閉曲線的線積分為零 存在的充分必要條件是 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 這是不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程 這樣下列微分一定是某個(gè)函數(shù)的全微分 即這個(gè)函數(shù)稱為流函數(shù) 由此可見 對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng) 二維問題 無論是理想流體還是粘性流體 無論是有渦流動(dòng)還是無渦流動(dòng) 均存在流函數(shù) 思考 為什么二維流動(dòng)一定存在流函數(shù) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)的概念是1781年Lagrange首先引進(jìn)的 流函數(shù)具有下列性質(zhì) 1 流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng) 2 流函數(shù)值相等的點(diǎn)的連線是流線 即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合在流函數(shù)相等的線上 有上式即為平面流動(dòng)的流線方程 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 3 流函數(shù)在某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度方向的速度分量根據(jù)流函數(shù)這一性質(zhì) 如果沿著流線取s 反時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度取n方向 則有 4 理想不可壓縮流體平面勢流 流函數(shù)滿足拉普拉斯方程 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 5 過同一點(diǎn)的等速度勢函數(shù)線與等流函數(shù)線正交 等勢線與流線正交 等流函數(shù)線是流線 有另一方面 過該點(diǎn)的等勢函數(shù)線方程為在同一點(diǎn)處 流線與等勢線的斜率乘積為說明流線與等勢線在同一點(diǎn)正交 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 6 流網(wǎng)及其特征在理想不可壓縮流體定常平面勢流中 每一點(diǎn)均存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)值 這樣在流場中存在兩族曲線 一族為流線 另一族為等勢線 且彼此相互正交 把由這種正交曲線構(gòu)成的網(wǎng)格叫做流網(wǎng) 在流網(wǎng)中 每一個(gè)網(wǎng)格的邊長之比等于勢函數(shù)和流函數(shù)的增值之比 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 流網(wǎng)不僅可以顯示流速的分布情況 方向 也可以反映速度的大小 如流線密的地方流速大 流線稀疏的地方流速小 如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù) 等于單寬流量增量 即表示流速與相鄰流線的間距成反比 因此流線的疏密程度反映了速度的大小 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 1 以速度勢函數(shù)為未知函數(shù)的提法 2 以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法 3 以復(fù)位勢w z 為未知函數(shù)提法 理想不可壓縮流體平面定常無旋流動(dòng)數(shù)學(xué)問題的提法共有三種數(shù)學(xué)提法 設(shè)給定一平面物體C 無窮遠(yuǎn)為直均流 在繞流物體不脫體的情況下 求這個(gè)繞流問題 需要求解滿足一定定解條件的在C外區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù) 位函數(shù) 的性質(zhì)小結(jié) 速度位函數(shù)由無旋條件定義 位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng) 2 速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量 速度位函數(shù)的數(shù)值沿著流線方向增加 3 對(duì)于理想不可壓縮無旋流動(dòng) 從連續(xù)方程出發(fā) 速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 是調(diào)和函數(shù) 滿足解的線性迭加原理 4 速度位函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等位線 速度方向垂直于等位線 5 連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)的速度位函數(shù)之差 速度線積分與路徑無關(guān) 僅決定于兩點(diǎn)的位置 對(duì)封閉曲線 速度環(huán)量為零 位函數(shù) 和流函數(shù) 之間滿足柯西 黎曼條件 速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 1 直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動(dòng) 其流速為位函數(shù)為常用平行于x軸的直勻流 從左面遠(yuǎn)方流來 流速為 相應(yīng)的流函數(shù)和勢函數(shù)為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 2 點(diǎn)源源可以有正負(fù) 正源是從流場上某一點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開去的一種流動(dòng) 負(fù)源 又名匯 是一種與正源流向相反的向心流動(dòng) 如果把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)上 那末這流動(dòng)便只有 而沒有 設(shè)半徑為r處的流速是vr 那么這個(gè)源的總流量是 流量是常數(shù) 故流速vr與半徑成反比 流函數(shù)的表達(dá)式是或 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 位函數(shù)從的式子積分得到在極坐標(biāo)系中 速度分量與流函數(shù)和勢函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系式為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 如果源的位置不在坐標(biāo)原點(diǎn) 而在A點(diǎn) 處 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 3 偶極子等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯 放在x軸線上 源放在 h 0 處 匯放在 0 0 處 從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 應(yīng)用疊加原理 位函數(shù)和流函數(shù)如下其中表示流場點(diǎn)P分別與源和匯連線與x軸之間的夾角 現(xiàn)在我們考慮一種極限情況 當(dāng)h 0 但同時(shí)Q增大 使 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 保持不變的極限情況 這時(shí)位函數(shù)變成 對(duì)偶極子而言 等位線是一些圓心在x軸上的圓 且都過原點(diǎn) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 偶極子的流函數(shù) 取h 0而Qh 2 M保持不變的極限結(jié)果 是 流線也是一些圓 圓心都在y軸上 且都過源點(diǎn)O 兩個(gè)分速的表達(dá)式是 合速度為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 要注意 偶極子是源匯無限靠近的極限情況 它是有軸線方向的 原來的源和匯放在哪條直線上 那條直線就是它的軸線 前面表示的偶極子是以x軸為軸線的 其正向?yàn)檩S線上的流線方向 前面的偶極子是指向負(fù)x方向的 如果偶極子軸線和x軸成 角 正向指向第三象限 則勢函數(shù)和對(duì)應(yīng)流函數(shù)分別為 如果偶極子位于 軸線和x軸成 角 正向指向第三象限 則勢函數(shù)和流函數(shù)分別為 2010年版本 3 2 幾種簡單的二維位流 4 點(diǎn)渦點(diǎn)渦是位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦的流動(dòng) 流線是一些同心圓 流速只有V 而沒有Vr 式中的 是個(gè)常數(shù) 稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度 逆時(shí)針方向?yàn)檎?分速V 和離中心點(diǎn)的距離r成反比 指向逆時(shí)針方向 其位函數(shù)和流函數(shù)分別為 等勢線是射線 流線是圓 由幾何條件可立刻寫出u v分量 位函數(shù)可由上式代入然后積分求出 但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系 積分后得 顯然等位線 C是一系列射線 怎么求位函數(shù) 求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西 黎曼關(guān)系 積分得 顯然流線 C是一系列同心圓 可見點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對(duì)調(diào)了一下 上述負(fù)號(hào)只是代表渦轉(zhuǎn)向 怎么求流函數(shù) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 如點(diǎn)渦位置不在原點(diǎn) 而在 則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)為 沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量 只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi) 環(huán)量值都是 但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線 其環(huán)量等于零 2010年版本 3 2 幾種簡單的二維位流 這種點(diǎn)渦其實(shí)應(yīng)該看作是一根在z方向無限長的直渦線 渦本來是有旋流動(dòng) 但像這樣一根單獨(dú)的渦線所產(chǎn)生的流場 除真正的渦心那一條線 在平面里就是一點(diǎn) 之外 其余的地方仍是無旋流動(dòng) 當(dāng)r 0時(shí) 速度趨近于無窮大 相應(yīng)的壓強(qiáng)也趨于負(fù)無限大 這是不現(xiàn)實(shí)的 按這個(gè)速度分布規(guī)律 速度在半徑方向的變化率是 當(dāng)r很小之后 這個(gè)變化率極大 這時(shí)粘性力必然要起作用 粘性力與速度的法向變化率成正比 結(jié)果 實(shí)際渦總是有一個(gè)核 核內(nèi)流體的不是與r成反比 而是與r成正比 但核外的流速是與r成反比的 如圖所示 核內(nèi)是有旋流 核外是無旋流 這個(gè)核的尺寸究竟有多大 它是因流體的粘性大小及渦強(qiáng)大小而不同的 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 一般地說 這個(gè)尺寸不大 我們作外部流場的計(jì)算時(shí) 可以不管它 把它看作很微小就行了 這里要說明的一個(gè)事實(shí)是 渦對(duì)于外部流場是產(chǎn)生誘導(dǎo)速度的 即擾動(dòng) 其值與至中心的距離成反比 但對(duì)它自己的核心是沒有誘導(dǎo)速度的 直勻流 基本解位函數(shù) 流函數(shù)小結(jié) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 1 直勻流加點(diǎn)源在一個(gè)平行于x軸由左向右流去的直勻流里 加一個(gè)強(qiáng)度為Q的源 把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方 迭加得到的位函數(shù)是 兩個(gè)分速是 在x軸線上有一個(gè)合速為零的點(diǎn) 即駐點(diǎn)A 3 3 一些簡單的迭加舉例 令uA 0 vA 0即得駐點(diǎn)xA坐標(biāo)為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 流動(dòng)的流函數(shù)是 對(duì)于零流線是一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)的水平線 對(duì)于的流線方程為 得到解為 說明是通過駐點(diǎn)的一條水平流線 對(duì)于非水平流線 半徑r 如對(duì)于相應(yīng)的半徑r為 y 流線BAB 的形狀可以根據(jù)流函數(shù) c畫出來 也可以從流量關(guān)系推算出來 由流函數(shù)表達(dá) 由駐點(diǎn)坐標(biāo) y 0 定常數(shù)c 得c Q 2 從而得流線BAB 的方程為 用直角坐標(biāo)表達(dá) 注意到反正切的值域?yàn)?2 2 該流線與y軸交于處 當(dāng) 即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為的直線 從物理上這個(gè)結(jié)果很好理解 從源流出的流量只能限制在圍線中 由速度分布知 而源的流量為Q 以速度V 流過時(shí)將占據(jù)寬度D Q V 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 全部流線譜中 經(jīng)過駐點(diǎn)A的流線BAB 是一條特殊的流線 它像一道圍墻一樣 把流場劃分成為兩部分 外面的是直勻流繞此圍墻的流動(dòng) 里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動(dòng) 流線是氣流不可逾越的線 一個(gè)物體放在氣流里 它的邊界也是氣流不可逾越的界線 氣流只能與物體邊界相切著流過去 所以 我們可以把外部流動(dòng)看作是在直勻流中放了一個(gè)BAB 那樣形狀的物體所造成的流動(dòng) 不過這個(gè)物體后面是不封口的 稱半無限體 這個(gè)半無限體在 x無限遠(yuǎn)處 其寬度 y向尺寸 趨向一個(gè)漸近值D為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 通常將壓強(qiáng)表為無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)Cp 其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動(dòng)壓頭 不可壓無粘流時(shí) 沿這個(gè)半無限體的外表面 壓強(qiáng)系數(shù)是 why 壓強(qiáng)系數(shù)與來流參數(shù)具體值p V 無關(guān) 具有通用性 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 首先 A點(diǎn)是駐點(diǎn) 這一點(diǎn)的Cp一定等于 1 從駐點(diǎn)往后 Cp迅速下降 在距A不很遠(yuǎn)的地方 Cp降到零 該點(diǎn)流速已達(dá)遠(yuǎn)前方的來流速度 此后氣流繼沿物面加速 走了一段之后 流速達(dá)最大值 Cp達(dá)最小值 這一點(diǎn)稱最大速度點(diǎn) 或最低壓強(qiáng)點(diǎn) 過了最大速度點(diǎn)之后氣流開始減速 到無限遠(yuǎn)的右方 流速減到和遠(yuǎn)前方來流一樣大 這是大多鈍頭物體低速流動(dòng)的特點(diǎn) 頭部附近形成一個(gè)低速高壓區(qū) 隨后速度迅速上升 壓強(qiáng)急劇下降 直均流加變強(qiáng)度點(diǎn)源 直均流加等強(qiáng)度點(diǎn)源 點(diǎn)匯 用分布的點(diǎn)源 點(diǎn)匯構(gòu)造物面 直均流加偶極子 實(shí)驗(yàn)演示的直均流加點(diǎn)源和點(diǎn)匯的其他例子 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 2 直勻流加偶極子 無環(huán)量的圓柱繞流 只有當(dāng)正源和負(fù)源的總強(qiáng)度等于零時(shí) 物形才是封閉的 設(shè)直勻流平行于x軸 由左向右流 再把一個(gè)軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處 這時(shí) 流動(dòng)的位函數(shù)和流函數(shù)分別是 流動(dòng)是直勻流流過一個(gè)圓 圓的半徑可以從駐點(diǎn)A的坐標(biāo)定出來 令 why 2010年版本 3 3 一些簡單的迭加舉例 得到a就是圓半徑 這樣位函數(shù)和流函數(shù)可以寫為 0是一條特殊的流線 容易證明 該流線通過駐點(diǎn)的x軸線 另外還有是半徑為a的圓 兩個(gè)速度分量為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在圓周上 r a 速度分量為 相應(yīng)的壓強(qiáng)系數(shù)為 繞圓流動(dòng)在表面上只有周向速度 沒有徑向速度 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在圓周前后駐點(diǎn) 0 壓強(qiáng)系數(shù)等于1 0 從前駐點(diǎn)往后流 在 150 處流速加快到和來流的流速一樣大了 以后繼續(xù)加速 在 2處達(dá)最大速度 其值二倍于來流的速度 Cp是 3 0 過了最大速度點(diǎn)以后 氣流減速 在 0 處降為零 這一點(diǎn)稱為后駐點(diǎn) 這個(gè)流動(dòng)不僅上下是對(duì)稱的 而且左右也是對(duì)稱的 物面上的壓強(qiáng)分布也是對(duì)稱的 結(jié)果哪個(gè)方向的合力也沒有 不過實(shí)際流動(dòng)左右是不對(duì)稱的 由于實(shí)際流體是有粘性的緣故 氣流過了最大速度點(diǎn)以后 不可能始終貼著物體流下去 不可能進(jìn)行完全的減速結(jié)果水平方向是有一個(gè)阻力的 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 達(dá)朗培爾疑題達(dá)朗培爾 D Alembert 18世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家 他提出 在理想不可壓流中 任何一個(gè)封閉物體的繞流 其阻力都是零 這個(gè)結(jié)論不符合事實(shí) 這個(gè)矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展 那時(shí)人們以為用無粘的位流去處理實(shí)際流動(dòng)是沒有什么價(jià)值的 后來才知道 這樣撇開粘性來處理問題 是一種很有價(jià)值的合乎邏輯的抽象 它能使我們把影響流動(dòng)的各種因素分開來看清楚 譬如 早期由經(jīng)驗(yàn)得出來的良好翼型 最大的升阻比不過是幾十比一 后來在位流理論指導(dǎo)下 設(shè)計(jì)出來的翼型的最大升阻比竟達(dá)三百比一 這就是無粘抽象的指導(dǎo)意義 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 粘性流體繞圓柱的流動(dòng)顯示實(shí)驗(yàn) 二維圓柱擾流的卡門渦街 有攻角機(jī)翼繞流尾流場中的旋渦 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 3 直勻流加偶極子加點(diǎn)渦 有環(huán)量的圓柱繞流 在直勻流加偶極子的流動(dòng)之上 再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為 的點(diǎn)渦 順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù) 這時(shí)的流函數(shù)和位函數(shù)為 3 3 一些簡單的迭加舉例 在極坐標(biāo)下 兩個(gè)分速度為r a仍是一條流線 在這個(gè)圓上Vr 0 圓周速度為 駐點(diǎn)現(xiàn)在不在其位置可以從 定出來 在第三和第四象限內(nèi) 前后駐點(diǎn)對(duì)y軸是對(duì)稱的 這個(gè)角度離開 和0 的多少?zèng)Q定于環(huán)量對(duì)速度乘半徑a之比值 比值越大 駐點(diǎn)越往下移 此時(shí)流函數(shù)數(shù)值不為零 下圖給出幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度下駐點(diǎn)位置圖畫 顯然 有環(huán)量的繞圓流動(dòng)其左右仍是對(duì)稱的 但上下已不對(duì)稱了 因此在垂直于來流的y方向合力就不會(huì)為零 垂直于來流方向的空氣動(dòng)力分力稱為升力 可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)積分 利用伯努利方程將壓強(qiáng)表為速度分布后積分求得 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 用動(dòng)量定理來計(jì)算繞圓柱的有環(huán)量流動(dòng)的升力 以原點(diǎn)為中心 畫一個(gè)半徑為r1很大的控制面S 整個(gè)的控制面還包括圓的表面S1及連接S和S1的兩條割線 不過這兩條割線上的壓力和動(dòng)量進(jìn)出都對(duì)消了 不必管它受力情況左右對(duì)稱 不會(huì)有X合力 我們只計(jì)算Y方向合力就行了 徹體力略去不計(jì) 流動(dòng)是定常的 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 動(dòng)量積分方程變?yōu)?在r1的大圓上 Lp Lv 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在上述表達(dá)式中 奇函數(shù)積分為零 只有偶函數(shù)積分 對(duì)于單位時(shí)間動(dòng)量的凈流出量計(jì)算如下 3 3 一些簡單的迭加舉例 在y方向的速度分量是 單位長度圓柱所受的總升力為 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 只要是一個(gè)封閉物體 代表這個(gè)物體作用的正負(fù)源的強(qiáng)度總和必須等于零 這種正負(fù)源放在一起的情況 在遠(yuǎn)離物體的地方 我們可以取r1很大 其作用和一個(gè)偶極子沒什么區(qū)別 這就說明了物形對(duì)升力沒有直接的關(guān)系 關(guān)鍵的問題在于必須有一個(gè)繞物體的環(huán)量存在 有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流 便有一個(gè)升力 庫塔 儒可夫斯基定理一個(gè)封閉物體所受升力L等于來流的密度乘速度再乘以氣流方向逆著環(huán)流旋轉(zhuǎn)90 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個(gè)Y向的合力 也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到 其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對(duì)比 無環(huán)量時(shí) 上半圓 由 至0 上的壓力分布和下半圓 由 至2 上的壓力分布對(duì)稱 結(jié)果是合力為零 有環(huán)量時(shí) 上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓 所以有一個(gè)向上的合力 即升力 這個(gè)力的來源主要靠上半圓上的吸力 從 野渡無人舟自橫 到 香蕉球 技術(shù)淺談 香蕉球 的力學(xué)原理 2010年版本 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 把直勻流和分布的偶極子 或總強(qiáng)度為零的分布點(diǎn)源和點(diǎn)匯 疊加起來 所得到的組合流動(dòng)為對(duì)稱封閉物體繞流 設(shè)直勻流沿x軸正向流來 其速度為V 在x軸上x a和x b范圍內(nèi)連續(xù)分布一系列的偶極子 單位長度內(nèi)偶極子的強(qiáng)度設(shè)為m 偶極子密度 如果偶極子密度的分布形式已知 則離原點(diǎn)距離為 的小區(qū)間內(nèi)由偶極子產(chǎn)生的流函數(shù)為 總流函數(shù)為 物體的外形可以用零流線來表示 改變不同的偶極子密度分布 可以獲得不同形狀的封閉物體 由流函數(shù)和速度以及速度與壓強(qiáng)的關(guān)系確定流場中各點(diǎn)及物體表面的速度分布和壓強(qiáng)分布 奇點(diǎn)疊加數(shù)值解法 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 對(duì)于實(shí)際問題 往往是給定物體的外形來確定其流動(dòng)的特性 在這種情況下 偶極子密度分布函數(shù)的確定需要由流函數(shù)求解 對(duì)偶極子密度來說 流函數(shù)是一個(gè)積分方程 求它的解是比較困難的 但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展 可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解 下面簡單地?cái)⑹鲇脭?shù)值方法求解已知物體形狀確定繞物體流動(dòng)特性的過程 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 1 數(shù)值解法步驟首先 我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段 設(shè)每段的寬度為 段數(shù)n可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定 流場中某一定點(diǎn)P處的流函數(shù)為 式中為第j段中點(diǎn)離原點(diǎn)的距離 為第j段內(nèi)偶極子密度的平均值 表示第j段內(nèi)偶極子的強(qiáng)度 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度對(duì)于給定物體外形上的n個(gè)已知點(diǎn) xi yi 就可以得到一個(gè)對(duì)未知函數(shù)的n元一次聯(lián)立代數(shù)方程組 其中為影響系數(shù) 表示處的單位偶極子密度對(duì)物體表面某點(diǎn)Pi xi yi 處的流函數(shù)貢獻(xiàn) 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 展開上式 即利用解一次方程組的各種計(jì)算方法 求解上面方程組 確定偶極子密度 2010年版本 北京航空航天大學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 國家精品課 3 4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 一旦所給定物體外形的偶極子密度分布已經(jīng)解得 則可以確定流場內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù) 此后即可由流函數(shù)與速度的關(guān)系式及伯努利方程 確定流場內(nèi)各點(diǎn)處的速度及壓強(qiáng)值 在上述過程中 我們實(shí)際上是把第j段中分布的偶極子用集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度偶極子來代替了 顯然 如果分段數(shù)量較多 這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性 理論上 當(dāng)段數(shù)n趨于無限大時(shí) 偶極子密度分布的數(shù)值結(jié)果趨近于精確解 在實(shí)際應(yīng)用時(shí) 由于計(jì)算機(jī)容量和計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)的限制 以及多元一次聯(lián)立方程組解的不穩(wěn)定性 分段的數(shù)目不宜太多 也可以由位函數(shù)出發(fā) 用位函數(shù)對(duì)應(yīng)的物面條件來解決實(shí)際流動(dòng)問題 這兩種方法是等價(jià)的 在實(shí)際應(yīng)用中 用位函數(shù)疊加法比用流函數(shù)法更廣泛 本章基本要求掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系 掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點(diǎn) 疊加原理和邊界條件 掌握四種基本而重要的位流流動(dòng)即 直勻流 點(diǎn)源 點(diǎn)匯 偶極子和點(diǎn)渦的表達(dá) 重點(diǎn)掌握直勻流與偶極子和點(diǎn)渦的疊加 掌握儒可夫斯基升力定律 了解二維對(duì)稱物體繞流數(shù)值解法步驟 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)方程和四個(gè)未知函數(shù) u v w p 理論上是可解的由于飛行器的外形都比較復(fù)雜 要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的 原因在于方程包含非線性項(xiàng) 而且方程中速度與壓強(qiáng)相互耦合 需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化 尤其是可以將速度和壓強(qiáng)分開求解 這是因?yàn)闊o旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程 從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度 而壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解本章的思路是 先針對(duì)理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解 將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動(dòng) 對(duì)復(fù)雜外形的繞流 介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意 小測驗(yàn) 15分鐘 a 試寫出從 y流向 y 速度值為V 的直勻流的位函數(shù) b 試寫出位于原點(diǎn)的點(diǎn)匯的位函數(shù) c 試寫出位于原點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦的位函數(shù) d 試寫出位于原點(diǎn) 軸線指向 y軸的偶極子的位函數(shù) 提示 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系為 在x軸上距原點(diǎn)為b處放置點(diǎn)源 源強(qiáng)度為Q y軸為璧面 試求x b 2處的速度表達(dá) 同上圖 在x軸上距原點(diǎn)為b處放置強(qiáng)度為 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦 求該點(diǎn)渦此時(shí)的速度大小與方向 1 d圖 2題 3題圖 解1a V yb c d 解2 在x軸上距原點(diǎn)為b處放置點(diǎn)源 源強(qiáng)度為Q y軸為璧面 試求x b 2處的速度表達(dá) 相當(dāng)于將璧面去掉在 b處放置強(qiáng)度同樣為Q的點(diǎn)源 2題 3題圖 解2 題目相當(dāng)于在 b處疊加一個(gè)環(huán)量相等方向相反的點(diǎn)渦 求該點(diǎn)渦速度相當(dāng)于求b點(diǎn)速度 由于點(diǎn)渦對(duì)自身沒有誘導(dǎo)速度 因此b處速度只是由鏡像渦產(chǎn)生 鏡像渦的流函數(shù) 方便求導(dǎo) 2題 3題圖 如果求b 2處速度 則需寫出全部流函數(shù)