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第七章 第二節(jié) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量的線性運(yùn)算 二 向量的坐標(biāo)表示 一 向量的概念及線性運(yùn)算 二 向量的模與方向余弦 向量的表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 向量 又稱矢量 既有大小 又有方向的量稱為向量 向徑 矢徑 自由向量 與起點(diǎn)無關(guān)的向量 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量 單位向量 模為1的向量 零向量 模為0的向量 有向線段M1M2 或a 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 注意 如不特殊說明 以后討論的向量都是自由向量 規(guī)定 零向量與任何向量平行 記作 因平行向量可平移到同一直線上 故兩向量平行又稱 兩向量共線 若k 3 個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 則稱此 k個向量共面 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 向量的線性運(yùn)算 1 向量的加法 三角形法則 平行四邊形法則 運(yùn)算規(guī)律 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個向量相加 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 向量的減法 三角不等式 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 向量與數(shù)的乘法 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 數(shù)乘符合下列運(yùn)算規(guī)律 1 結(jié)合律 2 分配律 1 某向量的單位向量 按照向量數(shù)乘的定義 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 向量的共線 若一組向量平行于同一條直線 認(rèn)為零向量平行于任何一條直線 則稱它們是共線的 這組向量也稱共線向量 或平行向量 幾個常用概念 證明 充分性 顯然 定理1 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 必要性 結(jié)論成立 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 兩式相減 得 例1 試用向量方法證明 對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形 證 結(jié)論得證 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 向量在軸上的投影與投影定理 空間一點(diǎn)在軸上的投影 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 空間一向量在軸上的投影 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 或 說明 投影為正 投影為負(fù) 投影為零 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 關(guān)于向量的投影定理 1 證 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 關(guān)于向量的投影定理 2 可推廣到有限多個 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 關(guān)于向量的投影定理 3 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 空間一點(diǎn)在平面上的投影 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 空間一向量在平面上的投影 三 向量的坐標(biāo)表示 在空間直角坐標(biāo)系下 起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 稱為向徑 向量 因?yàn)?我們所討論的向量都是自由 所以 在空間直角坐標(biāo)系下 設(shè)點(diǎn) 則 沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量 M的坐標(biāo)為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例如 說明 解 由題意知 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 正確答案是 4 半徑為a的圓周沿直線無滑動地滾動時(shí) 點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停 其上一 定點(diǎn)的軌跡稱為擺線 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2a 2 a a t a a 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 a 解 故擺線的方程為 四 向量的模與方向余弦 空間兩向量的夾角的概念 特殊地 當(dāng)兩個向量中有一個零向量時(shí) 規(guī)定它們的夾角可取0與之間任意取值 設(shè) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量模長的坐標(biāo)表示式 方向角與方向余弦 與三坐標(biāo)軸 方向角的余弦稱為方向余弦 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 的夾角 方向角 方向余弦 稱為其方向角 方向余弦的性質(zhì) 2 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 解 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量的概念 向量的加減法 向量與數(shù)的乘法 注意與標(biāo)量的區(qū)別 平行四邊形法則 注意數(shù)乘后的方向 五 小結(jié) 向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo) 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 習(xí)題6 2 P10 4 8 11 13 16 作業(yè) 解 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 備用題 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 解 3 設(shè) 求以向量 為邊的平行四邊形的對角線的長度 該平行四邊形的對角線的長度各為 對角線的長為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束