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1 通過優(yōu)化柔性橢球體對(duì)欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的自重構(gòu) 摘要 根據(jù)優(yōu)化技術(shù) 欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的多模型特征 柔性操作的測(cè)量 自重構(gòu)的控制方法已被調(diào)查研究 分析了空間關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)變形和欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂 柔性操作之間的關(guān)系 處于鎖定模式下欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的一種新型柔性橢球體操 作的測(cè)量被提出 能應(yīng)用于獲得自重構(gòu)控制的最理想結(jié)構(gòu) 因此 基于簡(jiǎn)諧振動(dòng)隨時(shí) 間變化非線性控制方法認(rèn)為能完成其自重構(gòu) 被動(dòng)關(guān)節(jié)三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂等仿真例 子在一些調(diào)查方面起重要作用 關(guān)鍵詞 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂 自重構(gòu) 優(yōu)化 非線性控制 0 前言 欠驅(qū)動(dòng)裝置和機(jī)械臂能應(yīng)用于許多領(lǐng)域 例如太空技術(shù) 合作機(jī)械人 變形裝置 在太空領(lǐng)域里 由于沒有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構(gòu) 當(dāng)驅(qū)動(dòng)構(gòu)件出現(xiàn)一些問 題時(shí) 基于欠驅(qū)動(dòng)技術(shù)的誤差出現(xiàn)是不可避免的 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂也能被設(shè)計(jì)為合作機(jī) 器人 也就是說 COBOT COBOT 的驅(qū)動(dòng)不是作驅(qū)動(dòng)裝置而是提供動(dòng)力學(xué)非函數(shù)約 束 COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準(zhǔn)確的應(yīng)用 例如在生物工程學(xué)上外科 手術(shù)和半導(dǎo)體制造等等 在機(jī)械領(lǐng)域機(jī)械變形有多種模態(tài) 并能從一種模態(tài)向另一種 模態(tài)轉(zhuǎn)變 引用不同模態(tài)之間的改變可能導(dǎo)致連桿數(shù)目的變化或機(jī)械變形的約束限制 很顯然 欠驅(qū)動(dòng)控制 冗余度驅(qū)動(dòng)和柔性裝置是不可避免的 因此 欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)逐漸 的成為研究領(lǐng)域一個(gè)具有吸引力的話題 從力學(xué)角度看 研究欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)是不可能控制的 被動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是必須 靠與動(dòng)力裝置連接 Jain等表明動(dòng)力裝置是欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的非完整性約束是二階的 在機(jī)械實(shí)際上 與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史 然而 關(guān)于這種 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制技術(shù)的研究只是近10的事情 研究多針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人 跳 躍機(jī)器人 航空航天機(jī)器人等一階非完整性約束系統(tǒng) 關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的研究觀點(diǎn) Anthoney等研究運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 Arai 等提出隨時(shí)間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制 Lee 等為欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人提供了多種非線性控制方法 欠驅(qū)動(dòng)研究的這些方法已從本質(zhì) 上揭示了它是非線性的 并且是隨時(shí)間變化的 抽象的 事實(shí)上 Brockett 已證實(shí)這 并沒有消除阻礙和穩(wěn)定給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜電狀況反饋 很顯然 非線性系統(tǒng)的特征在 組合空間多自由度是可以控制的 所以 非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關(guān)注 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和機(jī)械臂是對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)基本原理相違背的 傳動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)基本 原理認(rèn)為 原動(dòng)件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時(shí) 機(jī)構(gòu)才具有確定的運(yùn)動(dòng) 欠驅(qū)動(dòng) 機(jī)械臂首先被提出并不是由于它的價(jià)值優(yōu)點(diǎn) 但一些研究表明 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的故意設(shè) 2 計(jì)也是很有價(jià)值的 例如 Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂多維受力的測(cè)量 Nakamura 等設(shè)計(jì)出了輪式滾動(dòng)接觸的非完整機(jī)器人和平面四連桿二驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的控 制 He 等針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂提出一種自由碰撞運(yùn)動(dòng)規(guī)劃演算法 從以上討論 的結(jié)果來看 我們可推斷出在研究欠驅(qū)動(dòng)時(shí) 可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問題 如所 提到的技術(shù)和理論的形成 因此 我們改善這裝置具有很大的潛能性 這篇論文中 我們對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的靜態(tài)特征和自重構(gòu)控制方法進(jìn)行探索與研 究 1 柔性橢球體模型 機(jī)械硬度是機(jī)械臂的一個(gè)重要要素 它是用來抵抗受力和阻礙力的能力 對(duì) 于開式鏈接機(jī)械臂而言 鏈接部分是非常重要的部分 所以末端位姿的變形將會(huì) 對(duì)連桿帶來不良影響 轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程 i 1 2 n 1 iiKM 式中 關(guān)節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩i 關(guān)節(jié) i 的變形量 關(guān)節(jié) i 的硬度系數(shù)ik 如果忽略關(guān)節(jié) i 的重力和摩擦力不計(jì) 假設(shè)機(jī)械臂末端位姿力矢 mRF 則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成 2 FJT 式中 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩nRM 雅可比矩陣mJ 眾所周知 關(guān)節(jié)有會(huì)有變形 機(jī)械臂末端位姿有如下關(guān)系式 3 Jx 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量x 關(guān)節(jié)的位姿矢量 將 1 式寫成矩陣的形式 結(jié)合 2 3 式 經(jīng)簡(jiǎn)單的計(jì)算 和 F 之X 間的關(guān)系如下 4 F Jk XT1 式中 如果定義 6 T1JkC 6 式是末端位姿的柔性矩陣 然而 在太空工作 強(qiáng)度矩陣一致 柔性矩1 c 3 陣 C 可以用來測(cè)量機(jī)械臂的靜態(tài)特征 矩陣 C 也有雅可比函數(shù)功能 因此 它在 組合和構(gòu)造要素較大范圍內(nèi)是可改變的 在穩(wěn)定條件下機(jī)械臂的可變特征能用于 完成一些應(yīng)該的復(fù)雜的操作 如裝配 拋光 維修等等 由 5 6 式可知矩 陣 C 是對(duì)稱性矩陣 如果定義 7 Cdet T 對(duì)矩陣 C 進(jìn)行微分 方程式 7 我們又可以得到 8 m1ii 式中 i 1 2 3 m 應(yīng)用了矩陣 C 的單一性 因此 是其對(duì)稱矩i TC 陣 有如下關(guān)系 9 x T 式 9 被描述為橢球體曲線方程 當(dāng)橢球體的主要曲線與矩陣 C 的單一值相 等時(shí) 這橢球體也被認(rèn)為是一般柔性橢球體 GFE 由于直觀原因 圖一中平面 2 連桿機(jī)械臂的的連桿長(zhǎng) GFE 如圖 2 和 3 所示 2 1i0 Li 圖一 平面 2R 桿機(jī)械臂 圖 2 平面 2R 桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的 GFE 模型 4 圖 3 平面 2R 桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的 GFE 模型 這些圖示表明測(cè)量是需要依賴組合和機(jī)構(gòu)要素 然而全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂并不能改變其 機(jī)構(gòu)要素 因此 由于不同的構(gòu)件 圖 2 而不是結(jié)構(gòu)要素 從圖 2 改變到圖 3 GFE 模型是可以改變的 當(dāng)被動(dòng)關(guān)節(jié)被引進(jìn)作為全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂時(shí) 為了方便使用 假設(shè)這些被動(dòng)關(guān)節(jié)具有制動(dòng)裝置和位置控制 以便被動(dòng)關(guān)節(jié)能在自由模式和鎖定模式 下進(jìn)行制動(dòng) 然而在運(yùn)動(dòng)學(xué)上 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂揭示了一些冗余度連桿問題 并沒有表 明在輸入方式下的自運(yùn)動(dòng)不如工作狀態(tài)下的自運(yùn)動(dòng) 另一方面 被動(dòng)關(guān)節(jié)的制動(dòng)模式 能使欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有重構(gòu)能力 系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作 2 柔性矩陣 假設(shè)在欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂中 s 連桿為被動(dòng)關(guān)節(jié) 被動(dòng)關(guān)節(jié)裝有制動(dòng)裝置 當(dāng) 被動(dòng)關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時(shí) 其速度運(yùn)動(dòng)方程可以寫成為 10 paJx 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量mRX 驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的雅可比矩陣nJ 分別為驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)矢量3p 當(dāng)機(jī)械臂中被動(dòng)關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài)時(shí) 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可變?yōu)?11 qJxi 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量mRX 鎖定狀態(tài)下被動(dòng)關(guān)節(jié)機(jī)械臂的雅可比矩陣niJ 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂廣義坐標(biāo)q 很顯然 方程 11 和 3 是同一形式 方程 10 和 11 表明欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械 臂在運(yùn)動(dòng)學(xué)上具有不同的模式 換句話說 在運(yùn)動(dòng)學(xué)上系統(tǒng)具有多中模式特征 圖 5 4 平面 3R 連桿機(jī)械臂就是很好的例子 機(jī)械臂的第二關(guān)節(jié)是被動(dòng)關(guān)節(jié) 其他的 都是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié) 當(dāng)被動(dòng)關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時(shí) 被選做為廣義坐標(biāo)變量 如果被3R 動(dòng)關(guān)節(jié)處于自鎖狀態(tài) 機(jī)械臂的維數(shù)將變?yōu)?2 維 這廣義坐標(biāo)變量為 顯然2Rq 由于 但雅可比矩陣有如下關(guān)系 0q 圖 4 平面 3R 桿機(jī)械臂 由于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂存在不同的運(yùn)動(dòng)模式 一種可以用來優(yōu)化和機(jī)械臂的機(jī)構(gòu) 組合及自重構(gòu)以使用不同的工作 預(yù)測(cè)如何完成基于欠驅(qū)動(dòng)下的全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂操作是 不可避免的問題 不象全驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂那樣 欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂并不能改善其 操作工作 執(zhí)行機(jī)械臂任務(wù)類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故 有一條可行 的途徑就是在不同的時(shí)間分解機(jī)構(gòu)的工作 例如 當(dāng)機(jī)械臂工作處于驅(qū)動(dòng)模式下 機(jī) 構(gòu)組合能進(jìn)行機(jī)構(gòu)自重構(gòu) 然而當(dāng)機(jī)械臂工作在全驅(qū)動(dòng)模式下 其功能之一就是能控 制機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng) 事實(shí)上 處于欠驅(qū)動(dòng)工作模式下的機(jī)械臂能辯別機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng) 如位置 控制或間斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 但是這并不是此論文所討論的重點(diǎn) 我們應(yīng)關(guān)注的是欠驅(qū) 動(dòng)冗余度機(jī)械臂的靜態(tài)特征和機(jī)構(gòu)自重構(gòu)控制方法 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂兩中模式的運(yùn)動(dòng)方程可以被多種方法描述 但是在復(fù)雜的機(jī)械 裝置中多連桿機(jī)械臂的機(jī)構(gòu)要素定義還存在一定的困難 為了解決這些問題 我們將 進(jìn)行分析欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的兩種模式間的關(guān)系 假定一種特殊的機(jī)械臂組合機(jī)構(gòu) 假設(shè)有 處于裝置的兩種模式下的mn 末端位姿表達(dá)式是一致的 可以表示為 12 pai JqJ 假設(shè) 0Jaa 13 13 式表示微運(yùn)動(dòng)發(fā)生在關(guān)節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處 根據(jù) 13 式 6 方程式又可以寫成 14 apJ 把 14 代入 12 式中 我們可以得到 15 ai I qJ 15 式描述欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂兩種模式下的不同一機(jī)構(gòu) 因此 兩種廣義坐標(biāo)也是 相等的 設(shè) 又可以得到 q 16 api I 16 式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關(guān)系 此式能預(yù)測(cè)出全驅(qū)動(dòng)模式的運(yùn) 動(dòng) 把 16 式代入方程式 5 可以得到全驅(qū)動(dòng)模式下的欠驅(qū)動(dòng)矩陣方程 17 Ti1iJkC 根據(jù)方程 7 GFE 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂也能定義 方程 17 表示在機(jī)械裝置改裝 后的系統(tǒng)靜態(tài)特征 其一 我們以通過 3R 桿機(jī)械臂模擬 圖 4 作為非冗余度機(jī)械 臂而言 如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點(diǎn) 它不僅與柔性橢球體模型有關(guān) 相反 有許多與處于冗余度機(jī)械臂工作狀態(tài)下的這一點(diǎn)相關(guān) 假設(shè) 3R 桿平面機(jī)械臂三桿長(zhǎng) 分別為 機(jī)構(gòu)的起始角度為m0 1L5 0L321 和 GFE 其他末端位姿起始位置如圖 5 所示 6 1 顯然 根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況 可知存在許多這樣的關(guān)節(jié)組合 這 些機(jī)構(gòu)都是與 GFE 相關(guān)的 但是一欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂存在機(jī)構(gòu)自重構(gòu)的能力 一 般而言 我們期望的 GFE 在不同的基本組合中有類似的運(yùn)動(dòng) 換句話說 橢球體模 型類似于一個(gè)球 如圖 5 所示 在 3 桿中第一桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表現(xiàn)最佳 3 非線性控制 7 我們通過分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng) 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂動(dòng)態(tài)方程可以寫成 18 McIapaa 19 0Tp 式中 為質(zhì)量慣性矩 為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量 M 是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量 是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量 是被動(dòng)關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量 p Jain 等證實(shí)方程 19 是二階非線性約束方程 通過自重構(gòu) 在工作狀態(tài)下給定位置 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有改善裝置運(yùn)動(dòng)的能力 由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關(guān)節(jié)的維數(shù) 被動(dòng)關(guān)節(jié)的位置控制只能通過動(dòng)態(tài)藕合來實(shí)現(xiàn) 基于 Brockett 理論 給定機(jī)構(gòu)的系統(tǒng) 并不是光滑的 穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律 因此 非線性控制的結(jié)果表明系統(tǒng) 是非線性的 隨時(shí)間變化的 離散的 非線性控制方法還有一種就是在 Ref 17 中 所提到的全驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 這種方法的本質(zhì)就是當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)周期時(shí) 被動(dòng)關(guān)節(jié)將偏離平衡位置 圖 6 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有 20 tcosAa 21 in 22 2a 式中 A 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅 W 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率 8 如果我們將式中 22 變換一下 代入 19 式得到 23 2Tap1pAIcI 通常 角頻率 是一個(gè)較大的數(shù) 因此 簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期 T 是一個(gè)非常 小的數(shù) 被作為一個(gè)周期的約束 23 式有可以寫成TPIC 1 24 2Tap1pIcI2 24 式表示一個(gè)周期后有一點(diǎn)發(fā)生偏離 顯然 構(gòu)成整體的價(jià)值在于簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的振幅和角頻率 者就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)能控制被動(dòng)關(guān)節(jié)的原因之一 4 自重構(gòu)控制律 自重構(gòu)需要穩(wěn)定的控制技術(shù) 間諧振動(dòng)非線性控制方法在第 3 部分已經(jīng)簡(jiǎn)單 地介紹了 下面我們將設(shè)計(jì)一個(gè)新的控制方法來執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自重構(gòu)運(yùn)動(dòng) 這種方法將 用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時(shí)的廣義柔性橢球體模型 假設(shè) 引用于一個(gè)期望的組合 此組合源于一些優(yōu)化方法 是驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂d 的驅(qū)動(dòng)位置角 設(shè) 9 25 de 式中 e 關(guān)節(jié)位置矢量誤差 對(duì)方程 24 進(jìn)行微分有 26 padpae 取滑動(dòng)模態(tài)為 a1aekS 27 集中律為 a3a2a sgn 28 式中 且 sgn 作為符號(hào)函數(shù) 有如下式子 0 0321 K 如果矢量 有 可以得到下面式子 STn1 S 27 式表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)滿足萊布羅定律 假設(shè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入與 20 21 有關(guān) 當(dāng) 時(shí) 又可以得到如下關(guān)系式0K4 0p2d 將 26 式中 2 桿的 2 倍偏離量代入 30 式 可以得到 設(shè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入為 將 32 和 31 式代入 19 式 有如下關(guān)系 振動(dòng)振幅為 雖被動(dòng)關(guān)節(jié)并沒有達(dá)到期望的位置 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入控制可用 32 式來描述 另 一方面 被動(dòng)關(guān)節(jié)處于期望的位置 輸入控制方式有以下方程 從 27 式中可知偏 離時(shí)間為 結(jié)合 28 和 35 式 控制律為 顯然 這種控制方法是非線性的 隨時(shí)間變化的 且遵循 Brockett 理論 有以上 關(guān)系重新整理振幅 控制律為 當(dāng) ep 0 時(shí)滿足 10 當(dāng) ep 0 時(shí)滿足 5 仿真研究 在這部分中 選平面 3R 桿機(jī)械臂作為仿真模型 如圖 4 所示 設(shè)第二桿為機(jī)械 臂的被動(dòng)關(guān)節(jié) 其他兩桿為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié) 如果初始位置為 30 6 021 為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型 更好的位置為 這在第三部分已給出 我們認(rèn)為后面一種情況 15 8 9 17 85 24321 是我們期望的結(jié)果 根據(jù)第四部分所提供的控制方法 模擬仿真結(jié)果如圖 7 所示 11 圖 7 3R 桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的自重構(gòu)運(yùn)動(dòng) 1 連桿 1 2 連桿 2 3 連桿 3 圖 7 a 表示隨時(shí)間變化的關(guān)節(jié)位置誤差 圖 7 b 表示與時(shí)間有關(guān)的關(guān)節(jié)運(yùn) 動(dòng)軌道軌跡 圖 7 c 表示在自重構(gòu)控制中機(jī)械臂機(jī)構(gòu)位置的改變 圖 7 d 表示 關(guān)節(jié)速度與位置間關(guān)系圖 顯然 機(jī)械臂已滿足期望的機(jī)構(gòu)完成自重構(gòu)控制 6 結(jié)束語 欠驅(qū)動(dòng)技術(shù)是一個(gè)非常關(guān)鍵性的問題 它不僅能夠產(chǎn)生空間機(jī)器人系統(tǒng)的線性誤 差 而且能操控合作機(jī)器人和機(jī)器裝置 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂有實(shí)現(xiàn)機(jī)械自重構(gòu)的能力 新 的關(guān)儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動(dòng)冗余度制動(dòng)式機(jī)械臂的測(cè)量被提出 這測(cè)量由于優(yōu)化系 統(tǒng)的穩(wěn)定性 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的非線性控制方法能執(zhí)行自重構(gòu)運(yùn)動(dòng) 有 3 連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂 的仿真結(jié)果證明測(cè)量和振幅的控制是有效的 References 1 Nakamura Y Mukerherjee R Nonholinomic path planning of space robotics via a bi directional approach IEEE Transactions on Robotics 12 and Automation 1991 7 4 500 514 2 Moore C A Peshkin M A Colate J E Design of 3R cobot using continuous variable transmissions IEEE 1nternationa1 Conference on Robotics and Automation 1999 3249 3254 3 Dai J S Zhang Q x Metamorphic mechanisms and their configuration models Chinese J of Meehanica1 Engineering 2000 13 3 212 218 4 Arai H Yanie K Thchi S Dynamic contro1 of a manipulator with passive joints in operational space IEEE Transactions on Robotics and Automation 1993 9 1 85 93 5 Arai H Tachi S Position contro1 of a manipulator with passive joints using dynamic coupling IEEE Transactions on Robotics and Automation 1991 7 4 528 534 6 Jain A Rodriguez G An analysis of the kinematics and dynamics of under actuated 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