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1 第五章彎曲應(yīng)力 材料力學(xué) 5 純彎曲 1 彎曲構(gòu)件橫截面上的 內(nèi)力 應(yīng)力 平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁 橫截面上只有M而無Q的情況 平面彎曲時(shí)橫截面t橫力彎曲 橫截面上既有Q又有M的情況 2 研究方法 縱向?qū)ΨQ面 P1 P2 例如 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí) 該段梁的變形稱為純彎曲 如AB段 P P a a A B 純彎曲 PureBending 5 a F 純彎曲 梁彎曲變形時(shí) 橫截面上只有彎矩而無剪力 橫力彎曲 梁彎曲變形時(shí) 橫截面上既有彎矩又有剪力 例 火車輪軸 6 1 研究對象 等直細(xì)長對稱截面梁 2 前提 a 小變形 在彈性變形范圍內(nèi) b 滿足平面彎曲條件 c 純彎曲 3 實(shí)驗(yàn)觀察 凹邊縮短 凸邊伸長 橫截面上只有正應(yīng)力無剪應(yīng)力 縱向纖維間無擠壓作用 7 中性層 桿件彎曲變形時(shí) 其縱向線段既不伸長又不縮短的曲面 中性軸 中性層與橫截面的交線 4 平面截面假設(shè) 橫截面變形后保持為平面 只是繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度 8 1 變形分布規(guī)律 y y 任意縱向纖維至中性層的距離 中性層的曲率半徑 縱向纖維ab 變形前 變形后 5 2梁的彎曲正應(yīng)力 o 曲率中心 9 所以縱向纖維ab的應(yīng)變?yōu)?橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規(guī)律 曲率 則 曲率 則 當(dāng) a 10 2 應(yīng)力分布規(guī)律 在線彈性范圍內(nèi) 應(yīng)用胡克定律 b 對一定材料 E C 對一定截面 橫截面上某點(diǎn)處的應(yīng)力與此點(diǎn)距中性軸的距離y成比例 當(dāng) 11 3 由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應(yīng)力計(jì)算公式 y 對稱軸 由得 0 將 b 式代入 得 因此z軸通過截面形心 即中性軸通過形心 并垂直于載荷作用面 c 12 考慮平衡條件 為截面對中性軸的慣性矩 e 13 可得撓曲線的曲率方程 為常數(shù) 撓曲線是一條圓弧線 抗彎剛度 正應(yīng)力的計(jì)算公式為 橫截面上最大正應(yīng)力為 截面的抗彎截面模量 反映了截面的幾何形狀 尺寸對強(qiáng)度的影響 14 簡單截面的慣性矩 矩形截面 園形截面 15 矩形 圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量 豎放 b h h b 平放 若h b 則 16 17 注意 1 要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律 在中性軸上為零 而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大 3 必須熟記矩形截面 圓形截面對中性軸的慣性矩的計(jì)算式 2 梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓 正應(yīng)力的正負(fù)號 拉或壓 可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來確定 18 梁的彎矩圖如圖5 8b所示 由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大 其值為 例圖5 8所示 一受均布載荷的懸臂梁 其長l 1m 均布載荷集度q 6kN m 梁由10號槽鋼制成 由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz 25 6cm4 試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 1 作彎矩圖 求最大彎矩 19 因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù) 故截面上緣受最大拉應(yīng)力 其值為 在截面的下端受最大壓應(yīng)力 其值為 2 求最大應(yīng)力 20 1 C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力 2 C截面上最大正應(yīng)力 3 全梁上最大正應(yīng)力 4 C截面的曲率半徑 已知E 200GPa 1 求支反力 壓應(yīng)力 例題 解 求 21 2 C截面最大正應(yīng)力 C截面彎矩 C截面慣性矩 解 22 3 全梁最大正應(yīng)力 最大彎矩 截面慣性矩 解 23 4 C截面曲率半徑 C截面彎矩 C截面慣性矩 解 已知E 200GPa 24 梁的最大正應(yīng)力 梁的危險(xiǎn)截面 梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上 危險(xiǎn)截面位于梁中部 危險(xiǎn)截面位于梁根部 梁的最大正應(yīng)力 梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處 5 3梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 25 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 可解決三方面問題 1 強(qiáng)度校核 即已知檢驗(yàn)梁是否安全 2 設(shè)計(jì)截面 即已知可由確定截面的尺寸 3 求許可載荷 即已知可由確定 Mmax 梁內(nèi)最大彎矩 WZ 危險(xiǎn)截面抗彎截面模量 材料的許用應(yīng)力 26 注意 27 作彎矩圖 尋找需要校核的截面 要同時(shí)滿足 分析 非對稱截面 要尋找中性軸位置 T型截面鑄鐵梁 截面尺寸如圖示 試校核梁的強(qiáng)度 例題 MPa 160 MPa 30 c t s s 28 2 求截面對中性軸z的慣性矩 1 求截面形心 解 29 4 B截面校核 3 作彎矩圖 30 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作彎矩圖 31 5 4彎曲時(shí)的切應(yīng)力 1 矩形截面梁 2 工字形截面梁 32 3 圓形 圓環(huán)形截面梁 33 梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是 下列情況須進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核 若梁較短或載荷很靠近支座 梁的最大彎矩Mmax可能很小而最大剪力Fs max卻相對較大 如果據(jù)此時(shí)的Mmax選擇截面尺寸 就不一定能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 對于一些組合截面梁 如其腹板的寬度b相對于截面高度很小時(shí) 橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力 對于木梁 它在順紋方向的抗剪能力較差 而由剪應(yīng)力互等定理 在中性層上也同時(shí)有 max作用 因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞 所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 34 解 畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力 例2矩形 b h 0 12m 0 18m 截面木梁如圖 7MPa 0 9MPa 試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比 并校核梁的強(qiáng)度 A B L 3m 35 求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度 應(yīng)力之比 36 5 6梁的優(yōu)化設(shè)計(jì) 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 在 一定時(shí) 提高彎曲強(qiáng)度的主要途徑 一 選擇合理截面 1 矩形截面中性軸附近的材料未充分利用 工字形截面更合理 1 根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇 37 2 為降低重量 可在中性軸附近開孔 38 2 根據(jù)截面模量選擇 為了比較各種截面的合理性 以來衡量 越大 截面越合理 d h 39 3 根據(jù)材料特性選擇 塑性材料 宜采用中性軸為對稱軸的截面 脆性材料 宜采用中性軸為非對稱軸的截面 例如T字形截面 即使最大拉 壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值 40 二 合理安排載荷和支承的位置 以降低值 1 載荷盡量靠近支座 41 42 2 將集中力分解為分力或均布力 43 3 合理安排支座位置及增加支座 減小跨度 減小 44 三 選用合理結(jié)構(gòu) 1 等強(qiáng)度梁 設(shè)計(jì)思想 按M x 的變化來設(shè)計(jì)截面 采用變截面梁 橫截面沿著梁軸線變化的梁 增加支座 45 例如矩形截面懸臂梁 設(shè)h const b b x 則 x 0時(shí) b 0 但要有足夠的面積承受剪力 因此 而 沿梁軸線呈線性分布 46 本章結(jié)束