2014年華師在線秋季《數(shù)學(xué)分析選論》在線作業(yè).doc
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2014年秋季數(shù)學(xué)分析選論在線作業(yè)1. 計(jì)算, 其中是圓周, ,若從軸正向看出,L是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行.解: 平面的法線方向單位向量為,圍成方程為 依斯托克斯公式得,=.2. 試論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的重極限,累次極限(1) , ;(2) .解: (1) 注意到 , , 故兩個(gè)累次極限均為0,但是, 所以重極限不存在.(2) 注意到 , , 故兩個(gè)累次極限不存在. 此外,因?yàn)?, 所以.3. 設(shè)是由方程,求.解: 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo),有, 因而 . 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo),有 ,因而 . 故 .4. 計(jì)算, 其中為由平面, , , , 與所圍成.解: 在平面上的投影區(qū)域?yàn)? 于是5. 設(shè) 是某可微函數(shù)的全微分,求的值.解: 不妨設(shè)該可微函數(shù)為,則按定義可得 ,由此知. 從而又得 .聯(lián)系到上面第一式,有 或 ,從而 .6. 求曲面被柱面與平面所割下部分的面積.解: 曲面方程表示為 , , , 于是所求面積S=7. 計(jì)算,其中為以,為頂點(diǎn)的正方形封閉圍線.解: 段:直線方程 ,.段:直線方程 ,.段:直線方程 ,段:直線方程 ,于是有, =0 .8. 求曲面被平面截下部分之曲面面積S.解: 由得 ,從而 。注意到該曲面上的點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱,且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域,從而有 .9. 求, 其中是點(diǎn)A(2,0)到點(diǎn)O(0,0)的上半圓周.解: 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設(shè), .有.于是,由格林公式知=.其中在直線段上, 有, , 則.因此 10. 試討論函數(shù) 在處的可微性.解: 因?yàn)? 所以, ,其中 , , 由此知在處可微.11. 求, 其中S是邊長(zhǎng)為的正方體的外側(cè).解: 利用高斯公式, 得12. 計(jì)算,其中為四分之一的邊界,依逆時(shí)針?lè)较?解: 設(shè),則 原式 13. 設(shè)由方程 所確定,試求.解: 對(duì)原方程取對(duì)數(shù),得,并該式兩端對(duì)求導(dǎo),有,即 ,再對(duì)上式兩端對(duì)求導(dǎo),得 .14求表面積為, 而體積最大的長(zhǎng)方體的體積.解: 設(shè)長(zhǎng),寬,高分別為,則問(wèn)題變?yōu)榍蠛瘮?shù) 的最大值,聯(lián)系方程為 . 設(shè)輔助函數(shù)為,則有解方程組得到,因而最大體積為.15求橢圓面在處的切平面方程與法線方程.解: 設(shè). 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為,即 .法線方程為 16. 設(shè), 求.解: 方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到 , 因此有,。方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得到, 因此 17. 設(shè) , 而 , . 求, . 和解: 由于 , , , , 于是, .18. 設(shè) . 求 , .解: 這里是以和 為自變量的復(fù)合函數(shù), 它可寫成如下形式, , . 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知.于是 , 19. 變換為球面坐標(biāo)計(jì)算積分 .解:積分區(qū)域變換為球面坐標(biāo)為 .于是, =20. 設(shè)函數(shù)連續(xù),,其中,求和 .解: 因?yàn)閰^(qū)域?yàn)橹鶢顓^(qū)域,被積函數(shù)中第二項(xiàng)為,所以用柱坐標(biāo)法比較方便 .于是, . 利用洛必達(dá)法則, 有.21. 解答下列問(wèn)題(1)設(shè) 是光滑弧上的連續(xù)函數(shù),長(zhǎng)度記為,則, , (2) 設(shè), , 則,(3)設(shè)是曲線 上從到之線段,證明: .解: (1) 注意到柯西不等式, 。(2)由于 , ,可知 . 采用極坐標(biāo),可得.由此知 , 利用題(1),有 , (3)因?yàn)?,所以 , 。 .將曲線用參數(shù)式表示,即令 , ,且取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?,可?2. 計(jì)算 , 其中 S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側(cè).解: 曲面S1取負(fù)側(cè),而投影區(qū)域?yàn)镈1:,于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得,曲面S2取正側(cè),而投影區(qū)域?yàn)镈2:2,于是應(yīng)用極坐標(biāo)可得,于是, .23. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性(1)(2)解: (1)注意到 , 有因此,,即 在(0,0)處連續(xù).(2)注意到 , 故在(0,0)處不連續(xù).24. 計(jì)算曲面積分, 其中為圓錐面被曲面所割下的部分.解: 對(duì)于圓錐面,則 ,在平面上投影區(qū)域?yàn)椋海谑?25. 設(shè)是由直線 和 圍成, 試求 的值.解: 先對(duì)積分后對(duì)積分 .由分部積分法, 知 26. 設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù),試證,其中是 ,.證明: 由于對(duì)上面區(qū)域變換積分變量記號(hào)時(shí),積分區(qū)域不變,因此27. 設(shè)在上可微函數(shù)滿足+,試證:在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).證: 對(duì)于復(fù)合函數(shù) ,, 由于 , =+,因此當(dāng)時(shí),與無(wú)關(guān),即在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù).28. 證明: 方程所確定的隱函數(shù) 滿足.證明: 對(duì)方程兩邊分別對(duì)和求偏導(dǎo)數(shù),有,分別解得 ,于是,得到 29. 設(shè) 證明:不存在.證明: 注意到,它隨而異,因此不存在.30. 設(shè) 證明:.證明: 對(duì) 由于 可知當(dāng)時(shí),便有 . 故- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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