福師大網(wǎng)絡(luò)教育《復(fù)變函數(shù)》網(wǎng)絡(luò)作業(yè)答案.doc
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復(fù)變函數(shù)作業(yè)一 一、判斷(對(duì)的用T表示,錯(cuò)的用F表示)1、如果存在,那么在解析。( F )2、。( F )3、當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),為實(shí)數(shù)。( F )4、設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的,如果是實(shí)常數(shù),那么在整個(gè)內(nèi)是常數(shù);如果是實(shí)常數(shù),那么在內(nèi)也是常數(shù)。( T )2、 填空1、= ;= 。2、設(shè)是1的次根,則= 0 。3、在映射下,扇形區(qū)域的像區(qū)域?yàn)?。4、若,則= 。三、計(jì)算1、 計(jì)算下列函數(shù)值:1);2)。1)、解:主值 ,2)、解: 設(shè)3+4i的平方根是x+yi,x、yR,則有 x2-y2=3,且 2xy=4,求得 x=2,y=1,或x=-2 y=-1,故3+4i的平方根是 2+i,或-2-i,故答案為:2+i,或-2-i 2、下列函數(shù)在復(fù)平面上何處可導(dǎo)?何處解析?1);2)。1);解:因?yàn)?f(z)=|z| 當(dāng)趨于0-時(shí) f(z)=|-1; 當(dāng)趨于0+時(shí) f(z)=|1; 右極限不等于左極限。所以f(z)=|z|在z=0處不可導(dǎo),而在除0以外的其他地方都可導(dǎo)且解析。2)。解:僅在直線上可導(dǎo),在復(fù)平面上處處不解析。3、函數(shù)是否為解析函數(shù)?求出其導(dǎo)數(shù)。解:不是解析函數(shù),因?yàn)闈M足條件的只有兩個(gè)點(diǎn),不成區(qū)域4、已知,求。解:5、計(jì)算積分 1);解:1); 2);解:在內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn),所以令,所以3) ;解: 4) 。解: 四、證明:若積分路徑不經(jīng)過,則。證明:如果積分路徑不經(jīng)過,且不繞過, 則由柯西定理得,若積分繞z=轉(zhuǎn) 圈,則積分值為 若繞z = -i轉(zhuǎn) 圈,則積分值為故在一般情況下,積分值為五、證明:設(shè)是的共軛調(diào)和函數(shù),問下列各對(duì)函數(shù)中后者是不是前者的共軛調(diào)和函數(shù)?判斷并給出理由:1)(為常數(shù));2)。1)證明:2) 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)證明: 因?yàn)樵谀硡^(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)一定是該區(qū)域內(nèi)某解析函數(shù)(可能多值)的實(shí)部或虛部,反之,某區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。和不滿足此條件,應(yīng)該是2uv是的共軛調(diào)和函數(shù)。綜上所述,不是 的共軛調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)作業(yè)二一、判斷1、在z=0收斂,在z=3發(fā)散。( F)2、在區(qū)域內(nèi)解析,且在區(qū)間(-R,R)取實(shí)數(shù)值的函數(shù)f(z)展開成z的冪級(jí)數(shù)時(shí),展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)。( T)3、在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)不能展開成羅朗級(jí)數(shù)。( F)4、z=0是的本性奇點(diǎn)。( T)二、填空1、的收斂半徑為 。2、展開成z的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑= 。3、z=0是的 3 級(jí)零點(diǎn)。4、以z=a為m級(jí)和n級(jí)極點(diǎn),則z=a為的 m+n 級(jí) 極 點(diǎn)。三、計(jì)算1、求在處的泰勒展開式。解:2、 求解:3、 求在z=1處的泰勒展開式。解:當(dāng)z=1時(shí),此函數(shù)的泰勒展開式為:(z-1)3-(z-1)2-3(z-1)4、將在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開為羅朗級(jí)數(shù)。解: 四、若為整函數(shù),且,則是不高于n 次的多項(xiàng)式。證明:當(dāng)時(shí),令當(dāng)時(shí),復(fù)變函數(shù)作業(yè)三一、 判斷題(對(duì)的用“T”表示,錯(cuò)的用“F”表示)1、若在區(qū)域內(nèi)單葉解析,則在內(nèi)。(F)2、線性變換將平面上的圓周變?yōu)閳A周或直線。(T )3、解析函數(shù)具有保形性。(F)4、函數(shù)在可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為0。( F )二、 填空題1、方程在單位圓內(nèi)有 6 個(gè)根。2、關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為 x+(y-1)=1 。3、,則= 4 。4、在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為 ,伸縮率為 20 。三、 計(jì)算題1、解:設(shè)f1(z)=1/(z-2)(z-48)(z-50),f2(z)=1/(z-1)(z-48)(z-50),f3(z)=1/(z-1)(z-2)(z-50),則答案為 2if1(1)+f2(2)+f3(48)2、解:3、解: 4、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A,并使1成為不動(dòng)點(diǎn),使變?yōu)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的線性變換。解:依題意得,設(shè) ,因?yàn)?+i關(guān)于單位圓的對(duì)稱點(diǎn)為 ,無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于單位圓的對(duì)稱點(diǎn)是0,5、 求把平面的單位圓 變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換,使。解:設(shè)圓周內(nèi)部一點(diǎn)Z=a()變?yōu)閣=0,點(diǎn)a(a0)關(guān)于單位圓周 對(duì)稱點(diǎn) ,應(yīng)該變?yōu)閣=0 關(guān)于單位圓周 的對(duì)稱點(diǎn) ,因此所求變換具有形式為: 其中 為常數(shù),當(dāng) 時(shí), ,故取z=1,對(duì)應(yīng)點(diǎn)w滿足 因此令 從而所求的變換為- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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