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福爾摩斯破案記----集合 盡管集合對于大家多不陌生，但集合與元素的關(guān)系，元素的特征，初學(xué)者理解卻常犯錯(cuò)。下面借助福爾摩斯破案記----集合與元素進(jìn)行說明，以期對讀者有所幫助。 線索一：集合是整體，但整體未必是集合 集合是原始不定義的概念，一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把所有的研究對象集在一起，叫構(gòu)成了集合。實(shí)際上，從上述描述性的定義可以看出，集合就是一個(gè)整體。 例：判斷下列哪些能構(gòu)成集合 （1）高一（9）班所有的近視眼的同學(xué)構(gòu)成集合。（2）所有的平行四邊形構(gòu)成集合。 錯(cuò)解：（1）（2）都能構(gòu)成集合。 剖析：（1）（2）都是整體。（1）很多同學(xué)認(rèn)為戴眼鏡就是近視眼的標(biāo)準(zhǔn)，眼睛度數(shù)多少度為近視眼無法說清，近視眼就是模棱兩可的，是不可以衡量的。所以不能構(gòu)成集合。（2）平行四邊形是確定的，因?yàn)槠叫兴倪呅问侵冈谄矫鎯?nèi)，對邊平行且相等的四邊形。因此，可以構(gòu)成集合。 正解：（1）不能構(gòu)成集合，（2）能構(gòu)成集合。 點(diǎn)評：集合有其特殊性：（1）構(gòu)成集合的對象必須是“確定的”，其中確定是指構(gòu)成集合的對象不是模棱兩可的，是可以衡量的。（2）集合一般用大括號表示。而整體只是把研究對象看成一個(gè)不同于研究對象的個(gè)體，里面的研究對象是任意的。 線索二：抓住元素的含義和特征 元素的特征：（1）確定性。指構(gòu)成集合的元素必須是“確定的”，其中確定是指構(gòu)成集合的元素不是模棱兩可的，是可以衡量的（2）互異性。指構(gòu)成集合的元素必須是“互不相同的，相同的只能出現(xiàn)一次”（3）無序性。指構(gòu)成集合的元素必須是“出現(xiàn)順序是任意的”。 是同一集合嗎？ 錯(cuò)解：集合A和集合B是同一集合。 剖析;此題初學(xué)者非常容易犯錯(cuò)。很容易認(rèn)為屬性都是，因此是相同集合。其實(shí)，元素并不一樣，集合A的元素是y,集合B的元素是點(diǎn)（x,y），另外，從幾何角度講，集合A表示的是函數(shù)的函數(shù)值的所有取值；集合B表示的是函數(shù)圖像上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合。 正解：集合A的元素是y,集合B的元素是點(diǎn)（x,y），集合A表示的是函數(shù)的函數(shù)值的所有取值，由于函數(shù)是二次函數(shù)，開口向下，所以有最大值4，實(shí)際上，；集合B表示的是函數(shù)圖像上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合。所以集合A與B不是同一集合。 點(diǎn)評：識(shí)別描述法表示下的集合元素是什么，關(guān)鍵在于看中“”左側(cè)，右側(cè)是元素的特征或性質(zhì)。具體有以下幾類： -----元素是x； ------元素分別為x與t(x)； ------元素為點(diǎn)（x,y） 例：判斷下列說法是否正確，并說明理由。 錯(cuò)解：（1）（2）均正確。 剖析：利用集合元素的三大特征，不難作出判斷。 正解：（1）不正確，，故（1）中的數(shù)構(gòu)成的集合只有三個(gè)元素。（2）正確。 點(diǎn)評：解決此類題，關(guān)鍵是應(yīng)用集合的概念和集合元素的特征。 } { } { } { 度重視。 ，必須在學(xué)習(xí)中引起高 最易被忽視 確與否，特別是互異性 要利用他們檢驗(yàn)解正 性解題， 確定性，互異性和無序 點(diǎn)評：應(yīng)用元素的 綜上所述， 都舍去， 和 。由上可知， 或 ，則 若 ，符合。 時(shí)，集合為 當(dāng) ，舍去。 時(shí)，集合為 當(dāng) 。 ，則 若 互異性，舍去。 ，不符合集合中元素的 此時(shí)集合為 ，則 正解：若 。 ，由互異性可知 或 1 1 0 1 0 1 , 0 , 1 1 1 , 0 , 1 1 1 1 0 , 0 , 1 . 0 0 . 0 , 1 , 1 , 0 2 2 2 2 - = = = = = = - - = = = = = = = x x x x x x x x x x x x x x x x 剖析：由確定性可知， 線索三：元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系 按照描述性定義：構(gòu)成集合的研究對象叫做集合的元素。所以研究對象要么在給定集合中，要么不在給定集合中，即元素屬于給定集合或者元素不屬于給定集合。如，下面舉例說明元素的含義、元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系。 1.元素的含義、元素與集合的關(guān)系： 錯(cuò)解： 剖析：集合A中的元素都在集合B中，所以集合A是集合B的子集，即；元素與集合關(guān)系是屬于與不屬于的關(guān)系。 正解; 點(diǎn)評：元素與集合關(guān)系是屬于與不屬于的關(guān)系； 2.集合與集合的關(guān)系：集合與集合的關(guān)系包括：包含關(guān)系；相等關(guān)系。 （1）包含關(guān)系 例..已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________． 錯(cuò)解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA，只須∴ p的取值范圍是－3≤p≤3． 剖析：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè)． 應(yīng)分二類：①當(dāng)B≠②當(dāng)B=． 正解：由題意有：①當(dāng)B≠時(shí)，即p＋1≤2p－1p≥2． 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3. ②當(dāng)B=時(shí)，即p＋1>2p－1p＜2．由①、②得：p≤3． 點(diǎn)評：　解決有關(guān)BA等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題，進(jìn)行準(zhǔn)確的分類討論． 同時(shí)須記住，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （2）相等關(guān)系 例.已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，求c的值． 錯(cuò)解：＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0時(shí)，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時(shí)，B中的三元素又相同，故此題無解． 剖析：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式． 分兩種情況進(jìn)行討論．（1）＋b=c且＋2b=c2 （2）＋b=c2且＋2b=c， 正解;（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0時(shí)，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時(shí)，B中的三元素又相同，此時(shí)無解． （2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0， ∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c =－． 點(diǎn)評：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正。 通過認(rèn)真分析以上線索，福爾摩斯順利揭開了集合與元素，集合與集合這一錯(cuò)綜復(fù)雜的案情的本質(zhì)，完美的偵破了不少高一新偵查員們?nèi)账級粝胂胝髌频膽野浮?