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1 直觀了解并掌握微積分基本定理的含義 2 會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分 1 利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分 重點(diǎn) 2 應(yīng)用微積分基本定理解決綜合問題 難點(diǎn) 2微積分基本定理 課標(biāo)要求 核心掃描 如果連續(xù)函數(shù)f x 是函數(shù)F x 的導(dǎo)函數(shù) 即 通常稱是f x 的一個(gè)原函數(shù) 自學(xué)導(dǎo)引 1 函數(shù)的原函數(shù) 2 微積分基本定理 F x f x F x F b F a 3 牛頓 萊布尼茨公式的幾何意義 將區(qū)間 a b 無限細(xì)分 逼近 得F b F a 被積函數(shù)f x 的原函數(shù)唯一存在嗎 它們之間有何關(guān)系 被積函數(shù)f x 的原函數(shù)F x 的表達(dá)式不唯一 可以寫成F x C的形式 其中C為常數(shù) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知 F x C F x f x 提示 名師點(diǎn)睛 1 微積分基本定理的理解 2 該定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系 即求積分與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算 這也是計(jì)算定積分的重要方法 是微積分學(xué)中最重要的定理 3 求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算 在微積分基本定理中函數(shù)F x 叫作函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的一個(gè)原函數(shù) 因?yàn)?F x C F x 所以F x C也是函數(shù)f x 的原函數(shù) 1 當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí) 定積分的值取正值 且等于曲邊梯形的面積 2 當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí) 定積分的值取負(fù)值 且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù) 2 由微積分基本定理理解定積分的幾何意義 利用積分性質(zhì) 求原函數(shù) 進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論 題型一求簡單函數(shù)的定積分 思路探索 計(jì)算定積分的一般步驟 1 把被積函數(shù)能化簡的先化簡 不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差 2 利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個(gè)定積分的和與差 3 分別利用求導(dǎo)公式找到F x 使得F x f x 4 利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值 5 計(jì)算所求定積分的值 利用定積分求參數(shù)時(shí) 注意方程思想的應(yīng)用 一般地 首先要弄清楚積分變量和被積函數(shù) 當(dāng)被積函數(shù)中含有參數(shù)時(shí) 必須分清常數(shù)和變量 再進(jìn)行計(jì)算 其次要注意積分下限不大于積分上限 審題指導(dǎo)用微積分基本定理求定積分 求被積函數(shù)的原函數(shù)是關(guān)鍵 需把握兩點(diǎn) 1 熟練掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 學(xué)會逆運(yùn)算 2 當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜 不容易找原函數(shù)時(shí) 可適當(dāng)變形后再求解 特別地 需注意弄清楚積分變量 題型三求較復(fù)雜函數(shù)的定積分 例3 12分 求下列定積分 題后反思 求較復(fù)雜函數(shù)的定積分的方法 1 掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 正確求解被積函數(shù)的原函數(shù) 當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí) 可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解 具體方法是能化簡的化簡 不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù) 正弦 余弦函數(shù) 指數(shù) 對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差 2 精確定位積分區(qū)間 分清積分下限與積分上限 根據(jù)定積分的定義及微積分基本定理 定積分可分解為多個(gè)區(qū)間上的定積分的和 所以求分段函數(shù)的定積分 根據(jù)被積函數(shù)定義 先在不同區(qū)間上求解 然后根據(jù)定積分的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算 方法技巧被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分計(jì)算 方法點(diǎn)評求分段函數(shù)的定積分時(shí) 可利用積分性質(zhì)將其表示為幾段積分和的形式 對于帶絕對值的解析式 先根據(jù)絕對值的意義找到分界點(diǎn) 去掉絕對值號 化為分段函數(shù)再求解 單擊此處進(jìn)入活頁規(guī)范訓(xùn)練