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第17講直角三角形與銳角三角函數(shù) 考點一 考點二 考點一直角三角形的性質(zhì)及判定 考點一 考點二 考點二解直角三角形1 銳角三角函數(shù) 1 三角函數(shù)的定義及關系 考點一 考點二 2 特殊角的三角函數(shù)的值 考點一 考點二 2 解直角三角形及其應用 1 解直角三角形的類型 考點一 考點二 2 解直角三角形的實際應用 考點一 考點二 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 30 角所對直角邊是斜邊的一半含30 角的直角三角形具有特殊的性質(zhì) 在直角三角形中 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半 此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出 它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù) 注意 該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角 30 的特殊性質(zhì) 在非直角三角形或一般直角三角形中不能應用 應用時 要注意找準30 的角所對的直角邊 以及斜邊 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 例1 2018廣西 如圖 從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30 從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45 已知甲樓的高AB是120m 則乙樓的高CD是m 結(jié)果保留根號 解析 由題意可得 BDA 45 則AB AD 120m 又 CAD 30 在Rt ADC中 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 方法點撥在直角三角形中 如果一個銳角等于30 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 本性質(zhì)適用的大前提是 在直角三角形中 在題中如果有一個30 的角 而無直角時 必須依條件構(gòu)造符合性質(zhì)特征的直角三角形 才能由角的大小關系 得出邊的倍分關系 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 直角三角形的性質(zhì)和判定例2 2018廣西柳州 如圖 在Rt ABC中 C 90 BC 4 AC 3 則sinB 答案 A解析 C 90 BC 4 AC 3 AB 5 故選A 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 方法點撥直角三角形中線段和角之間的數(shù)量關系 1 邊 直角三角形的三邊滿足勾股定理 是計算線段長度的重要工具 有時也用于證明線段相等 2 角 直角三角形的兩銳角互余 可用來計算角的大小 也是證明角相等的重要工具 3 斜邊中線 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半也是幾何證明或計算的重要工具 直角三角形的判定方法主要利用定義 即證明一個角是直角 另外還有兩種方法 一是勾股定理的逆定理 即證明 a2 b2 c2 則 C 90 二是利用 若三角形一邊上的中線等于這邊的一半 則這個三角形是直角三角形 這一判定方法 但這一方法不常用 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 銳角三角函數(shù)值的求法例3 2018山東德州 如圖 在4 4的正方形方格圖形中 小正方形的頂點稱為格點 ABC的頂點都在格點上 則 BAC的正弦值是 解析 AB2 32 42 25 AC2 22 42 20 BC2 12 22 5 AC2 BC2 AB2 ABC為直角三角形 且 ACB 90 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 方法點撥格點圖中求某個角的三角函數(shù)值的方法通常的做法是構(gòu)造合適的直角三角形 然后根據(jù)格點來表示出各邊的長 從而求出相應的三角函數(shù)值 在構(gòu)造直角三角形時需注意 通常我們要去求的邊或角不要分割 另外就是構(gòu)造的直角三角形的邊盡可能的是整個的格點數(shù) 這樣便于我們求值 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 有關特殊角三角函數(shù)值的計算 5 方法點撥1 本題考查實數(shù)的運算 指數(shù)冪 絕對值 特殊角的三角函數(shù)值 解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法 這是核心素養(yǎng)中數(shù)學運算的基本要求 2 特殊角的銳角三角函數(shù)值要記熟 或者把特殊角放置到直角三角形中利用相關定理與性質(zhì)直接推導計算也可 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 銳角三角函數(shù)的應用例5 2018重慶 如圖 AB是一垂直于水平面的建筑物 某同學從建筑物底端B出發(fā) 先沿水平方向向右行走20米到達點C 再經(jīng)過一段坡度 或坡比 為i 1 0 75 坡長為10米的斜坡CD到達點D 然后再沿水平方向向右行走40米到達點E A B C D E均在同一平面內(nèi) 在E處測得建筑物頂端A的仰角為24 則建筑物AB的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin24 0 41 cos24 0 91 tan24 0 45 A 21 7米B 22 4米C 27 4米D 28 8米 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 答案 A解析 作BM ED交ED的延長線于點M CN DM于點N 在Rt CDN中 CD 10 3k 2 4k 2 100 k 2 CN 8 DN 6 四邊形BMNC是矩形 BM CN 8 BC MN 20 EM MN DN DE 66 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 方法點撥求直角三角形中某銳角的三角函數(shù)值 常需利用勾股定理求出有關邊長 有時還要通過作高把非直角三角形中的邊和角轉(zhuǎn)化到直角三角形中 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 解直角三角形的實際應用例6 2018山東煙臺 汽車超速行駛是交通安全的重大隱患 為了有效降低交通事故的發(fā)生 許多道路在事故易發(fā)路段設置了區(qū)間測速 如圖 學校附近有一條筆直的公路l 其間設有區(qū)間測速 所有車輛限速40千米 小時 數(shù)學實踐活動小組設計了如下活動 在l上確定A B兩點 并在AB路段進行區(qū)間測速 在l外取一點P 作PC l 垂足為點C 測得PC 30米 APC 71 BPC 35 上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒 請你用所學的數(shù)學知識說明該車是否超速 參考數(shù)據(jù) sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 sin71 0 95 cos71 0 33 tan71 2 90 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 解 在Rt APC中 AC PCtan APC 30tan71 30 2 90 87 在Rt BPC中 BC PCtan BPC 30tan35 30 0 70 21 則AB AC BC 87 21 66 又 40km h 11 1m s 該車沒有超速 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 考法6 方法點撥1 解決此類問題要了解角之間的關系 找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形 當圖形中沒有直角三角形時 要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形 當問題以一個實際問題的形式給出時 要善于讀懂題意 把實際問題化歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決 2 一般過程是 1 將實際問題抽象為數(shù)學問題 畫出平面圖形 構(gòu)造出直角三角形 轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題 2 先根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù) 或邊角關系 去解直角三角形 得到數(shù)學問題的答案 再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案 2 2014甘肅天水 如圖 方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形 每個小正方形的頂點叫格點 ABC的頂點都在方格的格點上 則cosA 3 2017甘肅武威 如圖是一張三角形紙片ABC C 90 AC 8cm BC 6cm 現(xiàn)將紙片折疊 使點A與點B重合 則折痕長等于 cm 解析 取AB的中點M 過點M作MN AB交AC于點N 因為AC 8cm BC 6cm 所以AB 10cm 4 2017甘肅天水 一艘輪船位于燈塔P南偏西60 方向的A處 點A與燈塔P的距離為20海里 它向東航行到達燈塔P南偏西45 方向上的B處 求輪船航行的距離AB 結(jié)果保留根號 解 如圖 過P作PC AC交AB延長線于點C 則 APC 60 BPC 45 AP 20 在 PBC中 BPC 45 PBC為等腰直角三角形 BC PC 10 5 2018甘肅 隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高 中國高鐵正迅速崛起 高鐵大大縮短了時空距離 改變了人們的出行方式 如圖 A B兩地被大山阻隔 由A地到B地需要繞行C地 若打通穿山隧道 建成A B兩地的直達高鐵可以縮短從A地到B地的路程 已知 CAB 30 CBA 45 AC 640公里 求隧道打通后與打通前相比 從A地到B地的路程將約縮短多少公里 參考數(shù)據(jù) 解 過點C作CD AB于點D 在Rt ADC和Rt BCD中 1088 864 224 公里 答 隧道打通后與打通前相比 從A地到B地的路程將約縮短224公里 6 2015甘肅甘南州 如圖 從熱氣球C上測得兩建筑物A B底部的俯角分別為30 和60 如果這時氣球的高度CD為90米 且點A D B在同一直線上 求建筑物A B間的距離 解 由已知 得 ECA 30 FCB 60 CD 90 EF AB CD AB于點D A ECA 30 B FCB 60 7 2015甘肅白銀 如圖 所示 將直尺擺放在三角板ABC上 使直尺與三角板的邊分別交于點D E F G 量得 CGD 42 1 求 CEF的度數(shù) 2 將直尺向下平移 使直尺的邊緣通過三角板的頂點B 交AC邊于點H 如圖 所示 點H B在直尺上的讀數(shù)分別為4 13 4 求BC的長 結(jié)果保留兩位小數(shù) 參考數(shù)據(jù) sin42 0 67 cos42 0 74 tan42 0 90 解 1 CGD 42 C 90 CDG 90 42 48 DG EF CEF CDG 48 2 點H B的讀數(shù)分別為4 13 4 HB 13 4 4 9 4 BC HBcos42 9 4 0 74 6 96答 BC的長為6 96 8 2016甘肅白銀 如圖 是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景 圖 是小明鍛煉時上半身由ON位置運動到與地面垂直的OM位置時的示意圖 已知AC 0 66米 BD 0 26米 20 參考數(shù)據(jù) sin20 0 342 cos20 0 940 tan20 0 364 1 求AB的長 精確到0 01米 2 若測得ON 0 8米 試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑 解 1 過點B作BF AC于點F AF AC BD 0 4 米 AB AF sin20 1 17 米 2 MON 90 20 110