2016屆高三數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化:第8章 第5節(jié)雙曲線.doc
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第八章第五節(jié)一、選擇題1(文)(2014廣東文)若實(shí)數(shù)k滿足0k5,則曲線1與曲線1的()A實(shí)半軸長相等 B虛半軸長相等C離心率相等D焦距相等答案D解析0k5,兩方程都表示雙曲線,由雙曲線中c2a2b2得其焦距相等,選D(理)(2014廣東理)若實(shí)數(shù)k滿足0k9,則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實(shí)半軸長相等C虛半軸長相等D離心率相等答案A解析由0k0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)P是雙曲線C上一點(diǎn),則POF的大小不可能是()A15B25C60D165答案C解析雙曲線的漸近線方程為0,兩漸近線的斜率k,漸近線的傾斜角分別為30,150,所以POF的大小不可能是60.(理)已知雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案A解析由漸近線方程為yx知,ab,又頂點(diǎn)到漸近線距離為1,1,由得,a2,b,選A3(文)(2013保定調(diào)研)已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線方程是yx,它的一個焦點(diǎn)在拋物線y248x的準(zhǔn)線上則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案B解析由題意可知解得所以選B(理)(2014甘肅蘭州、張掖診斷)已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案C解析因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點(diǎn)為(3,4),所以c5,又c2a2b2,所以a3,b4,所以以此雙曲線的方程為1.4(2014山東煙臺一模)雙曲線C1的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若C1的一個焦點(diǎn)與拋物線C2:y212x的焦點(diǎn)重合,且拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的弦長為4,則雙曲線C1的實(shí)軸長為()A6B2CD2答案D解析設(shè)雙曲線C1的方程為1(a0,b0)由已知,拋物線C2的焦點(diǎn)為(3,0),準(zhǔn)線方程為x3,即雙曲線中c3,a2b29,又拋物線C2的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點(diǎn),且交雙曲線C1所得的弦長為4,所以2,與a2b29聯(lián)立,得a22a90,解得a,故雙曲線C1的實(shí)軸長為2,故選D5(2013廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0),若頂點(diǎn)B在雙曲線1上,則為()ABCD答案C解析設(shè)ABC中角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,由正弦定理得,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知,A、C是雙曲線的焦點(diǎn),且|AC|10,|BC|AB|8.所以,故選C6(文)(2014江西贛州四校聯(lián)考)已知雙曲線1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F1,左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,P為雙曲線上任意一點(diǎn),則分別以線段PF1,A1A2為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為()A相交B相切C相離D以上情況都有可能答案B解析設(shè)以線段PF1,A1A2為直徑的兩圓的半徑分別為r1,r2,若P在雙曲線左支上,如圖所示,則|O2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2,即圓心距為兩圓半徑之和,兩圓外切若P在雙曲線右支上,同理求得|OO1|r1r2,故此時兩圓內(nèi)切綜上,兩圓相切,故選B(理)如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中,當(dāng)動點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時,總有:D1AD1M,則動點(diǎn)M在面ABCD內(nèi)的軌跡是()上的一段弧()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析因?yàn)闈M足條件的動點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時,動點(diǎn)的軌跡是以D1D為軸線,以D1A為母線的圓錐,與平面ABCD的交線即圓的一部分故選A二、填空題7(文)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mxy0,若m為集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意一個值,則使得雙曲線的離心率大于3的概率是_答案解析由題意知雙曲線方程可設(shè)為m2x2y21,從而e3,m0,m2,故所求概率是,故填.(理)(2014浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|PB|,則該雙曲線的離心率是_答案解析聯(lián)立漸近線與直線方程可解得A(,),B(,),則kAB,設(shè)AB的中點(diǎn)為E,由|PA|PB|,可知AB的中點(diǎn)E與點(diǎn)P兩點(diǎn)連線的斜率為3,6,化簡得4b2a2,所以e.8(2014溫州十校聯(lián)考)過雙曲線1(a0,b0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的兩條切線,記切點(diǎn)分別為A、B,雙曲線的左頂點(diǎn)為C,若ACB120,則雙曲線的離心率e_.答案2解析連接OA,根據(jù)題意以及雙曲線的幾何性質(zhì),|FO|c,|OA|a,而ACB120,AOC60,又FA是圓O的切線,故OAFA,在RtFAO中,容易得到|OF|2a,e2.9(文)(2013北京大興模擬)已知雙曲線1(a0,b0)的左頂點(diǎn)與拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),則雙曲線的焦距為_答案2解析由解得由題意得得又已知a4,故a2,b1,c.所以雙曲線的焦距2c2.(理)(2014深圳調(diào)研)已知雙曲線C:1(a0,b0)與橢圓1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線C的漸近線方程為y2x,則雙曲線C的方程為_答案x21解析易得橢圓的焦點(diǎn)為(,0),(,0),a21,b24,雙曲線C的方程為x21.三、解答題10(文)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)(4,)(1)求雙曲線的方程;(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:0;(3)在(2)的條件下,求F1MF2的面積解析(1)e,可設(shè)雙曲線方程為x2y2(0),雙曲線過點(diǎn)(4,),1610,即6,雙曲線方程為1.(2)證明:法1:由(1)可知,雙曲線中ab,c2,F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1kMF2,點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,m23,kMF1kMF21,MF1MF2,即0.法2:(23,m),(23,m),(23)(23)m23m2,點(diǎn)M在雙曲線上,9m26,即m230,0.(3)F1MF2的底邊長|F1F2|4,F(xiàn)1MF2的高h(yuǎn)|m|,SF1MF26.(理)(2013銅陵一模)若雙曲線E:y21(a0)的離心率等于,直線ykx1與雙曲線E的右支交于A,B兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍;(2)若|AB|6,點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn),且m(),求k,m的值解析(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A,B兩點(diǎn),故即所以1k.(2)由得x1x2,x1x2,|AB|26,整理得28k455k2250,k2或k2.又1k0,a0)與拋物線yx2有一個公共焦點(diǎn)F,雙曲線的過點(diǎn)F且垂直于y軸的弦長為,則雙曲線的離心率等于()A2BCD答案B解析雙曲線與拋物線x28y的公共焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),由題意知(,2)在雙曲線上,于是,得a23,b21,故e,故選B(理)(2013安徽皖南八校聯(lián)考)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P,使0,且F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()ABC2D5答案D解析設(shè)|PF1|m,|PF2|n,且mn,|F1F2|2c,由題可知F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊由雙曲線的幾何性質(zhì)和直角三角形的勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2,整理得c26ac5a20,等式兩邊同時除以a2得e26e50,解得e5或e1.因?yàn)殡p曲線的離心率e1,所以e5.12(2014重慶理)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,則該雙曲線的離心率為()ABCD3答案B解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2,即4|PF1|PF2|9b24a2,又4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即9()240,則(1)(4)0,解得(舍去),則雙曲線的離心率e.13(2014湖北文)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個不等實(shí)根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線1的公共點(diǎn)的個數(shù)為()A0B1C2D3答案A解析關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個不等實(shí)根為0,tan(tan0),A(0,0),B(tan,tan2),則過A,B兩點(diǎn)的直線方程為yxtan,雙曲線1的漸近線方程為yxtan,所以直線yxtan與雙曲線沒有公共點(diǎn),故選A14(文)若原點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A32,)B32,)C,)D,)答案B解析a21224,a23,雙曲線方程為y21.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則(x,y),(x2,y),y21,x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(右支上任意一點(diǎn)),32.故選B(理)設(shè)F1、F2分別是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|F1F2|,且cosPF1F2,則雙曲線的漸近線方程為()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0答案C解析在PF1F2中,由余弦定理得,cosPF1F2.所以|PF1|c.又|PF1|PF2|2a,即c2c2a,所以ca.代入c2a2b2得.因此,雙曲線的漸近線方程為4x3y0.二、填空題15(文)(2013湖南)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a0,b0)的兩個焦點(diǎn),若在C上存在一點(diǎn)P,使PF1PF2,且PF1F230,則C的離心率為_答案1解析由已知可得,|PF1|2ccos30c,|PF2|2csin30c,由雙曲線的定義,可得cc2a,則e1.(理)(2014山東日照模擬)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線1(a0,b0)的焦點(diǎn),過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P和Q.且F1PQ為正三角形,則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析設(shè)F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入雙曲線方程得y0,PQx軸,|PQ|.在RtF1F2P中,PF1F230,|F1F2|PF2|,即2c.又c2a2b2,b22a2或2a23b2(舍去),a0,b0,.故所求雙曲線的漸近線方程為yx.16P為雙曲線x21右支上一點(diǎn),M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn),則|PM|PN|的最大值為_答案5解析雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1(4,0)、F2(4,0),為兩個圓的圓心,半徑分別為r12,r21,|PM|max|PF1|2,|PN|min|PF2|1,故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.三、解答題17(文)(2013江蘇泰州質(zhì)檢)已知點(diǎn)N(1,2),過點(diǎn)N的直線交雙曲線x21于A,B兩點(diǎn),且()(1)求直線AB的方程;(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C,D兩點(diǎn),且0,那么A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓?為什么?解析(1)由題意知直線AB的斜率存在設(shè)直線AB:yk(x1)2,代入x21得,(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程(*)的兩根,2k20且x1x2.(),N是AB的中點(diǎn),1,k(2k)k22,k1,AB的方程為yx1.(2)將k1代入方程(*)得x22x30,x1或x3,不妨設(shè)A(1,0),B(3,4)0,CD垂直平分ABCD所在直線方程為y(x1)2,即y3x,代入雙曲線方程整理得x26x110,令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中點(diǎn)M(x0,y0),則x3x46,x3x411,x03,y06,即M(3,6)|CD|x3x4|4,|MC|MD|CD|2,|MA|MB|2,即A,B,C,D到M的距離相等,A,B,C,D四點(diǎn)共圓(理)(2014廣東肇慶一模)設(shè)雙曲線C:1(a0,b0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),離心率e,A,B是雙曲線上的兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M(1,2)(1)求雙曲線C的方程;(2)求直線AB的方程;(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C,D兩點(diǎn),那么A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓?為什么?解析(1)依題意得解得a1.所以b2c2a2312,故雙曲線C的方程為x21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),由題意得x1x2,x1x22,y1y24,所以1,即kAB1.故直線AB的方程為yx1.(3)假設(shè)A,B,C,D四點(diǎn)共圓,且圓心為P.因?yàn)锳B為圓P的弦,所以圓心P在AB的垂直平分線CD上又CD為圓P的弦且垂直平分AB,故圓心P為CD中點(diǎn)M.下面只需證CD的中點(diǎn)M滿足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0),B(3,4)由此可得直線CD方程:yx3.由得C(32,62),D(32,62),所以CD的中點(diǎn)M(3,6)因?yàn)閨MA|2,|MB|2,|MC|2,|MD|2,所以|MA|MB|MC|MD|,即A,B,C,D四點(diǎn)在以點(diǎn)M(3,6)為圓心,2為半徑的圓上18(文)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,其漸近線與圓x2y210x200相切過點(diǎn)P(4,0)作斜率為的直線l,交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且滿足|PA|PB|PC|2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M為雙曲線上一動點(diǎn),點(diǎn)N為圓x2(y2)2上一動點(diǎn),求|MN|的取值范圍解析(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx,因?yàn)闈u近線與圓(x5)2y25相切,則,即k,所以雙曲線的漸近線方程為yx.設(shè)雙曲線方程為x24y2m,將y(x4)代入雙曲線方程中整理得,3x256x1124m0.所以xAxB,xAxB.因?yàn)閨PA|PB|PC|2,點(diǎn)P、A、B、C共線,且點(diǎn)P在線段AB上,則(xPxA)(xBxP)(xPxC)2,即(xB4)(4xA)16.所以4(xAxB)xAxB320.于是4()320,解得m4.故雙曲線方程是x24y24,即y21.(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),圓x2(y2)2的圓心為D,則x24y24,點(diǎn)D(0,2)所以|MD|2x2(y2)24y24(y2)25y24y85(y)2.所以|MD|,從而|MN|MD|.故|MN|的取值范圍是,)(理)已知斜率為1的直線l與雙曲線C:1(a0,b0)相交于B、D兩點(diǎn),且BD的中點(diǎn)為M(1,3)(1)求C的離心率;(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,|DF|BF|17,證明:過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切解析(1)由題意知,l的方程為:yx2,代入C的方程并化簡得,(b2a2)x24a2x4a2a2b20.設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),則x1x2,x1x2,由M(1,3)為BD的中點(diǎn)知1,故1,即b23a2,故c2a,C的離心率e2.(2)由知,C的方程為3x2y23a2,A(a,0),F(xiàn)(2a,0),x1x22,x1x20,故不妨設(shè)x1a,x2a,|BF|a2x1,|FD|2x2a,|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17,故5a24a817,解得a1,或a.故|BD|x1x2|6.連接MA,則由A(1,0),M(1,3)知|MA|3,從而MAMBMD,DAB90,因此以M為圓心,MA為半徑的圓過A、B、D三點(diǎn),且在點(diǎn)A處與x軸相切,所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切- 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