2016屆高三數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化:第8章 第4節(jié)橢 圓.doc
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第八章第四節(jié)一、選擇題1(文)(2014長春模擬)橢圓x24y21的離心率為()ABCD答案A解析先將x24y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21,則a1,b,c.離心率e.(理)若P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1(ab0)上的一點(diǎn),且0,tanPF1F2,則此橢圓的離心率為()A BCD答案A解析在RtPF1F2中,不妨設(shè)|PF2|1,則|PF1|2.|F1F2|,e.2(文)橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn),則ABF2的周長為()A32 B16 C8D4答案B解析由題設(shè)條件知ABF2的周長為|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16.(理)(2013浙江紹興一模)橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),則|ON|等于()A2B4C8D答案B解析連接MF2.已知|MF1|2,又|MF1|MF2|10,|MF2|10|MF1|8.如圖,|ON|MF2|4.故選B3(文)(2014佛山月考)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1PF2,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A1BC2D答案D解析由題意知,c2a2b2413,點(diǎn)P即為圓x2y23與橢圓y21在第一象限的交點(diǎn),解方程組得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.(理)F1、F2是橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn),P是橢圓上任一點(diǎn),過一焦點(diǎn)引F1PF2的外角平分線的垂線,則垂足Q的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析PQ平分F1PA,且PQAF1,Q為AF1的中點(diǎn),且|PF1|PA|,|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a,Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心,a為半徑的圓4(2014豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知橢圓C:1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓C上一點(diǎn),若F1F2P為等腰直角三角形,則橢圓C的離心率為()AB1C1或D答案C解析當(dāng)F1PF2為直角時,P為橢圓短軸端點(diǎn),bc,e;當(dāng)F1F2P或F2F1P為直角時,2c,b22ac,a2c22ac,e22e10,e1.5(文)(2013煙臺質(zhì)檢)一個橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓方程為()A1B1C1D1答案A解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由點(diǎn)(2,)在橢圓上知1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則|PF1|PF2|2|F1F2|,即2a22c,又c2a2b2,聯(lián)立得a28,b26.(理)(2013新課標(biāo)理,10)已知橢圓E:1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),則E的方程為()A1B1C1D1答案D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在橢圓上,兩式相減得,即,AB的中點(diǎn)為(1,1),x1x22,y1y22,k,又k,又c2a2b22b2b2b2,c29,b29,a218,橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,故選D6(2014豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知F1(3,0),F(xiàn)2(3,0)是橢圓1(ab0)兩個焦點(diǎn),P在橢圓上,F(xiàn)1PF2,且當(dāng)時,F(xiàn)1PF2的面積最大,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1C1D1答案A解析|F1F2|為定值,當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時,SF1PF2最大,F(xiàn)1PF2,PF1F2,tan,c3,b,a2b2c212,橢圓方程為1.二、填空題7(2013池州二模)已知點(diǎn)M(,0),橢圓y21與直線yk(x)交于點(diǎn)A、B,則ABM的周長為_答案8解析M(,0)與F(,0)是橢圓的焦點(diǎn),則直線AB過橢圓左焦點(diǎn)F(,0),且|AB|AF|BF|,ABM的周長等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.8已知橢圓M:1(a0,b0)的面積為ab,M包含于平面區(qū)域:內(nèi),向內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q,點(diǎn)Q落在橢圓M內(nèi)的概率為,則橢圓M的方程為_答案1解析平面區(qū)域:是一個矩形區(qū)域,如圖所示,依題意及幾何概型,可得,即ab2.因?yàn)?a2,0b10)和橢圓C2:1(a2b20)的焦點(diǎn)相同且a1a2.給出以下四個結(jié)論:橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點(diǎn);aabb;a1a2a2,故b1b2,因此兩橢圓必?zé)o公共點(diǎn),即命題為真命題;又由于兩橢圓焦點(diǎn)相同,a1a2,aba(ac2)a(ac2)ab,故,即命題為假命題;由焦點(diǎn)相同得abab,故aabb,即命題為真命題;因?yàn)閍abb,即(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)1,故有a1a2b0),由題意c,且橢圓過點(diǎn)M(1,),橢圓方程為y21.(2)設(shè)直線PQ:xty,由消去x得,(t24)y2ty0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),y1y2,y1y2,又A(2,0),(x12,y1)(x22,y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0,PAQ(定值)(理)(2014安徽合肥三校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且橢圓經(jīng)過圓C:x2y24x2y0的圓心C(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程解析(1)圓C方程化為(x2)2(y)26,圓心C(2,),半徑r.設(shè)橢圓的方程為1(ab0),則所以所以所求橢圓的方程是1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(2,0),F(xiàn)2(2,0),|F2C|b0)的離心率e,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax22bxc0的兩個實(shí)數(shù)根分別是x1和x2,則點(diǎn)P(x1,x2)到原點(diǎn)的距離為()ABC2D答案A解析因?yàn)閑,所以a2c,由a2b2c2,得,x1x2,x1x2,點(diǎn)P(x1,x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離d.12(文)(2014陜西西工大附中適應(yīng)性訓(xùn)練)已知橢圓C:1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連線AF,BF,若|AB|10,|AF|6,cosABF,則橢圓C的離心率e為()ABCD答案A解析在ABF中,由|AB|10,|AF|6,cosABF,得|BF|8,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,由對稱性知,|AE|8,且AEF為直角三角形,|EF|10,2a|AF|AE|14.e.(理)(2014包頭三十三中期末)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為()A(0,1)B(,1)C(0,)D(1,1)答案D解析根據(jù)正弦定理得,所以由可得,即e,所以|PF1|e|PF2|.又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a,即|PF2|.因?yàn)閍c|PF2|ac(不等式兩邊不能取等號,否則分式中的分母為0,無意義),所以acac,即11,所以1e1.又因?yàn)閑1,所以1e2Ct0,直線與橢圓有兩個交點(diǎn),yx1是“A型直線”把y2代入1,得不成立,直線與橢圓無交點(diǎn),y2不是“A型直線”把yx3代入1并整理得,7x224x240,(24)247240,y2x3是“A型直線”三、解答題17在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y24x相切,求直線l的方程解析(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(1,0),所以c1,將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方程1,得1,即b21,所以a2b2c22,所以橢圓C1的方程為y21.(2)直線l的斜率顯然存在,設(shè)直線l的方程為ykxm,由消去y并整理得,(12k2)x24kmx2m220,因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切,所以116k2m24(12k2)(2m22)0整理得2k2m210,由消去y并整理得,k2x2(2km4)xm20,因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切,所以2(2km4)24k2m20,整理得km1,綜合,解得或所以直線l的方程為yx或yx.18(文)(2014安徽“江南十?!甭?lián)考)已知橢圓:1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:xmyq(m0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長軸的對稱點(diǎn)為A1,試求A1,F(xiàn),B三點(diǎn)共線的充要條件解析(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(ab0)由題意知a2c,bc,所以a2,b,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)聯(lián)立(3m24)y26mqy(3q212)0,由123m2q2(3m24)(q24)48(3m24q2)0,得3m24q20.記A(x1,y1),B(x2,y2),則A1(x1,y1),y1y2,y1y2,因?yàn)镕(1,0),所以(x11,y1),(x21,y2),故A1,F(xiàn),B三點(diǎn)共線,(x11)y2(x21)(y1)(my1q1)y2(my2q1)y12my1y2(q1)(y1y2)2m(q1)0q4(m0),由知A1,F(xiàn),B三點(diǎn)共線的充要條件是|m|2,且q4.(理)(2014新課標(biāo)全國理)已知點(diǎn)A(0,2),橢圓E:1(ab0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積最大時,求l的方程分析(1)由過A(0,2),F(xiàn)(c,0)的直線AF的斜率為或過兩點(diǎn)的直線斜率公式可求c,再由e,可求a,由b2a2c2可求出b2,則橢圓E的方程可求(2)由題意知動直線l的斜率存在,故可設(shè)其斜率為k,寫出直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理成關(guān)于x的一元二次方程,利用弦長公式求出弦PQ的長|PQ|,利用點(diǎn)到直線的公式求出點(diǎn)O到直線PQ的距離d,則由SOPQ|PQ|d,可將SOPQ表示成關(guān)于k的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(k)的最大值問題注意k應(yīng)使得一元二次方程的判別式大于0.解析(1)設(shè)F(c,0),由條件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意,故設(shè)l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)將ykx2代入y21中消去y得,(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0,即k2時,x1,2,從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d,所以O(shè)PQ的面積SOPQd|PQ|.設(shè)t,則t0,SOPQ.因?yàn)閠4,當(dāng)且僅當(dāng)t2,即k時等號成立,且滿足0.所以,當(dāng)OPQ的面積最大時,l的方程為yx2或yx2.- 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