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2012高考文科試題解析分類匯編：圓錐曲線 一、選擇題 1.【2012高考新課標文4】設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C 【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質及數(shù)形結合思想，是簡單題. 【解析】∵△是底角為的等腰三角形， ∴，，∴=，∴，∴=，故選C. 2.【2012高考新課標文10】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【答案】C 【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關系，是簡單題. 【解析】由題設知拋物線的準線為：，設等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，∵=，∴=，解得=2， ∴的實軸長為4，故選C. 3.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) 　(B) 　　(C)　　(D) 【答案】D 考點：圓錐曲線的性質 解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a，b，c的關系可知，此題應注意C2的焦點在y軸上，即（0，p/2）到直線的距離為2，可知p=8或數(shù)形結合，利用直角三角形求解。 4.【2012高考全國文5】橢圓的中心在原點，焦距為，一條準線為，則該橢圓的方程為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質的運用。通過準線方程確定焦點位置，然后借助于焦距和準線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程。 【解析】因為，由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣，所以。故選答案C 5.【2012高考全國文10】已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由題意可知，，設，則，故，，利用余弦定理可得。 6.【2012高考浙江文8】 如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點。若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【命題意圖】本題主要考查了橢圓和雙曲線的方程和性質，通過對兩者公交點求解離心率的關系. 【解析】設橢圓的長軸為2a，雙曲線的長軸為，由M，O，N將橢圓長軸四等分，則，即，又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，設焦距均為c，則雙曲線的離心率為，，. 7.【2012高考四川文9】已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B [解析]設拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點坐標為（），準線方程為x=, [點評]本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，d為點M到準線的距離). 8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ） A、28條 B、32條 C、36條 D、48條 【答案】B [解析]方程變形得，若表示拋物線，則 所以，分b=-2,1,2,3四種情況： （1）若b=-2， ; （2）若b=2, 以上兩種情況下有4條重復，故共有9+5=14條； 同理 若b=1，共有9條； 若b=3時，共有9條. 綜上，共有14+9+9=32種 [點評]此題難度很大，若采用排列組合公式計算，很容易忽視重復的4條拋物線. 列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法.要能熟練運用. 9.【2012高考上海文16】對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（ ） A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件 【答案】B. 【解析】方程的曲線表示橢圓，常數(shù)常數(shù)的取值為所以，由得不到程的曲線表示橢圓，因而不充分；反過來，根據(jù)該曲線表示橢圓，能推出，因而必要.所以答案選擇B. 【點評】本題主要考查充分條件和必要條件、充要條件、橢圓的標準方程的理解.根據(jù)方程的組成特征，可以知道常數(shù)的取值情況.屬于中檔題. 10.【2012高考江西文8】橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數(shù)與方程，轉化與化歸思想. 利用橢圓及等比數(shù)列的性質解題.由橢圓的性質可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為. 【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程，然后化為有關的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可. 體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等. 11.【2012高考湖南文6】已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[ 【答案】A 【解析】設雙曲線C ：-=1的半焦距為，則. 又C 的漸近線為，點P （2,1）在C 的漸近線上，，即. 又，，C的方程為-=1. 【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎知識，考查了數(shù)形結合的思想和基本運算能力，是近年來?？碱}型. 12.【2102高考福建文5】已知雙曲線-=1的右焦點為（3,0），則該雙曲線的離心率等于 A B C D 【答案】C. 考點：雙曲線的離心率。 難度：易。 分析：本題考查的知識點為圓錐曲線的性質，利用離心率即可。 解答：根據(jù)焦點坐標知，由雙曲線的簡單幾何性質知，所以，因此.故選C. 二 、填空題 13.【2012高考四川文15】橢圓為定值，且的的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。 【答案】， [解析]根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又 [點評]本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復習要回歸課本的新課標理念. 14.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線x2 y2 =1,點F1,F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若P F1⊥P F2,則∣P F1∣+∣P F2∣的值為___________________. 【答案】 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標準方程以及轉化思想和運算求解能力，難度適中。 【解析】由雙曲線的方程可知 【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差—積—和的轉化。 15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 ▲ ． 【答案】2。 【考點】雙曲線的性質。 【解析】由得。 ∴，即，解得。 16.【2012高考陜西文14】右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米. 【答案】. 【解析】建立如圖所示的直角坐標系，使拱橋的頂點的坐標為（0,0）， 設與拋物線的交點為，根據(jù)題意，知（-2，-2），（2，-2）． 設拋物線的解析式為， 則有，∴． ∴拋物線的解析式為． 水位下降1米，則-3，此時有或． ∴此時水面寬為米． 17.【2012高考重慶文14】設為直線與雙曲線 左支的交點，是左焦點，垂直于軸，則雙曲線的離心率 18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=______。 【答案】 【解析】設及；則點到準線的距離為 得： 又 19.【2012高考天津文科11】已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點為,則 【答案】1，2 【解析】雙曲線的漸近線為，而的漸近線為，所以有，，又雙曲線的右焦點為，所以，又，即，所以。 三、解答題 20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分） 已知橢圓（a>b>0）,點P（,）在橢圓上。 （I）求橢圓的離心率。 （II）設A為橢圓的右頂點，O為坐標原點，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|求直線的斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 點在橢圓上 (Ⅱ) 設；則 直線的斜率 21.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P． （i）若，求直線的斜率； （ii）求證：是定值． 【答案】解：（1）由題設知，，由點在橢圓上，得 ，∴。 由點在橢圓上，得 ∴橢圓的方程為。 （2）由（1）得，，又∵∥， ∴設、的方程分別為，。 ∴。 ∴。① 同理，。② （i）由①②得，。解得=2。 ∵注意到，∴。 ∴直線的斜率為。 （ii）證明：∵∥，∴，即。 ∴。 由點在橢圓上知，，∴。 同理。。 ∴ 由①②得，，， ∴。 ∴是定值。 【考點】橢圓的性質，直線方程，兩點間的距離公式。 【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質和已知和都在橢圓上列式求解。 （2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。 22.【2012高考安徽文20】（本小題滿分13分） 如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點，是橢圓的頂點，是直線與橢圓的另一個交點，=60. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）已知△的面積為40，求a, b 的值. 【解析】（I） （Ⅱ）設；則 在中， 面積 23.【2012高考廣東文20】（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，已知橢圓：（）的左焦點為，且點在上. （1）求橢圓的方程； （2）設直線同時與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程. 【答案】 【解析】（1）因為橢圓的左焦點為，所以， 點代入橢圓，得，即， 所以， 所以橢圓的方程為. （2）直線的斜率顯然存在，設直線的方程為， ，消去并整理得， 因為直線與橢圓相切，所以， 整理得 ① ，消去并整理得。 因為直線與拋物線相切，所以， 整理得 ② 綜合①②，解得或。 所以直線的方程為或。 24.【2102高考北京文19】(本小題共14分) 已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個頂點為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點M,N （Ⅰ）求橢圓C的方程 （Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值 【考點定位】此題難度集中在運算，但是整體題目難度確實不大，從形式到條件的設計都是非常熟悉的，相信平時對曲線的練習程度不錯的學生做起來應該是比較容易的。 解：（1）由題意得解得.所以橢圓C的方程為. （2）由得. 設點M,N的坐標分別為，，則，，，. 所以|MN|===. 由因為點A(2,0)到直線的距離， 所以△AMN的面積為. 由，解得. 25.【2012高考山東文21】 (本小題滿分13分) 如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8. (Ⅰ)求橢圓M的標準方程； (Ⅱ) 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值. 【答案】(21)(I)……① 矩形ABCD面積為8，即……② 由①②解得：， ∴橢圓M的標準方程是. (II)， 設，則， 由得. . 當過點時，，當過點時，. ①當時，有， ， 其中，由此知當，即時，取得最大值. ②由對稱性，可知若，則當時，取得最大值. ③當時，，， 由此知，當時，取得最大值. 綜上可知，當和0時，取得最大值. 26.【2102高考福建文21】（本小題滿分12分） 如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上。 （1） 求拋物線E的方程； （2） 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相較于點Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。 考點：圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關系，定值的證明。 難度：難。 分析：本題考查的知識點為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及計算。 解答： （I）設；則 得：點關于軸對稱（lfxlby） 代入拋物線的方程得：拋物線的方程為 （II）設；則 過點的切線方程為即 令 設滿足：及 得：對均成立 以為直徑的圓恒過軸上定點 27.【2012高考上海文22】（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分 在平面直角坐標系中，已知雙曲線 （1）設是的左焦點，是右支上一點，若，求點的坐標； （2）過的左焦點作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積； （3）設斜率為（）的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：⊥ [解]（1）雙曲線，左焦點. 設，則， ……2分 由M是右支上一點，知，所以，得. 所以. ……5分 （2）左頂點，漸近線方程：. 過A與漸近線平行的直線方程為：，即. 解方程組，得. ……8分 所求平行四邊形的面積為. ……10分 （3）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故， 即 (*). 由，得. 設P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. ，所以 . 由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分 【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質及其直線與雙曲線的關系．特別要注意直線與雙曲線的關系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質的運用可以大大節(jié)省解題時間，本題屬于中檔題 ． 28．【2012高考新課標文20】（本小題滿分12分） 設拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點. （I）若∠BFD=90,△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程； （II）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值. 【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識，考查數(shù)形結合思想和運算求解能力. 【解析】設準線于軸的焦點為E，圓F的半徑為， 則|FE|=，=，E是BD的中點， (Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=， 設A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=， ∵的面積為，∴===，解得=2， ∴F(0,1), FA|=， ∴圓F的方程為：； (Ⅱ) 【解析1】∵，，三點在同一條直線上, ∴是圓的直徑，, 由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－， ∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=， 設直線的方程為：，代入得，， ∵與只有一個公共點， ∴=，∴， ∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=， ∴坐標原點到，距離的比值為3. 【解析2】由對稱性設，則 點關于點對稱得： 得：，直線 切點 直線 坐標原點到距離的比值為。 29.【2012高考浙江文22】本題滿分14分）如圖，在直角坐標系xOy中，點P（1，）到拋物線C：=2px（P＞0）的準線的距離為。點M（t，1）是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分。 （1）求p,t的值。 （2）求△ABP面積的最大值。 【命題意圖】本題主要考查了拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力. 【解析】 （1）由題意得，得. （2）設，線段AB的中點坐標為 由題意得，設直線AB的斜率為k（k）. 由，得，得 所以直線的方程為，即. 由，整理得， 所以，，.從而得 ， 設點P到直線AB的距離為d，則 ，設ABP的面積為S，則. 由，得. 令，，則. 設，，則. 由，得，所以，故ABP的面積的最大值為. 30.【2012高考湖南文21】（本小題滿分13分） 在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心.[ （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標. 【答案】 【解析】（Ⅰ）由，得.故圓Ｃ的圓心為點 從而可設橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設知 故橢圓Ｅ的方程為： （Ⅱ）設點的坐標為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切，得 　　， 即　　　　　 同理可得　　. 從而是方程的兩個實根，于是 　　　　　　　　　　　　　?、? 且 由得解得或 由得由得它們滿足①式，故點Ｐ的坐標為 ，或，或，或. 【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系，考查運算能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法.第一問根據(jù)條件設出橢圓方程，求出即得橢圓E的方程，第二問設出點P坐標，利用過P點的兩條直線斜率之積為，得出關于點P坐標的一個方程，利用點P在橢圓上得出另一方程，聯(lián)立兩個方程得點P坐標. 31.【2012高考湖北文21】（本小題滿分14分） 設A是單位圓x2+y2=1上任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。 （1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標。 （2）過原點斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。 21. 【答案】 解：（Ⅰ）如圖1，設，，則由， 可得，，所以，. ① 因為點在單位圓上運動，所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因為，所以 當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 兩焦點坐標分別為，； 當時，曲線是焦點在軸上的橢圓， 兩焦點坐標分別為，. （Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設，，則，， 直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得 ，即. 因為點H在直線QN上，所以. 于是，. 而等價于， 即，又，得， 故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的， 都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 解法2：如圖2、3，，設，，則， ， 因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得 . ③ 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合， 故. 于是由③式可得 . ④ 又，，三點共線，所以，即. 于是由④式可得. 而等價于，即，又，得， 故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有 . 【解析】本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系；考查分類討論的數(shù)學思想以及運算求解的能力.本題是一個橢圓模型，求解標準方程時注意對焦點的位置分類討論，不要漏解；對于探討性問題一直是高考考查的熱點，一般先假設結論成立，再逆推所需要求解的條件，對運算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求. 32.【2012高考全國文22】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 已知拋物線與圓有一個公共點，且在點處兩曲線的切線為同一直線. （Ⅰ）求； （Ⅱ）設、是異于且與及都相切的兩條直線，、的交點為，求到的距離。 【命題意圖】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點處的切線的運用，并在此基礎上求解點到直線的距離。 解：（1）設，對求導得，故直線的斜率，當時，不合題意，所心 圓心為，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）設為上一點，則在該點處的切線方程為即 若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得 求解可得 拋物線在點處的切線分別為，其方程分別為 ① ② ③ ②－③得，將代入②得，故 所以到直線的距離為。 【點評】該試題出題的角度不同于平常，因為涉及的是兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，把解析幾何和導數(shù)的工具性結合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學習也是一個需要練習的方向。 33.【2012高考遼寧文20】(本小題滿分12分) 如圖，動圓,10 而當1或-1為方程（*）的根時，m的值為-1或1. 結合題設（m>0）可知，m>0，且m≠1 設Q、R的坐標分別為（XQ,YQ）,(XR,YR),則為方程（*）的兩根. 因為,所以， 所以。 此時 所以 所以 綜上所述， …………………………12分 [點評]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識，考察思維能力、運算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴謹性。 36.【2012高考重慶文21】本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段 的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積 【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ） ， （*） 設 則 是上面方程的兩根，因此 又，所以 由 ，知 ，即 ，解得 當 時，方程（*）化為： 故 ， 的面積 當 時，同理可得（或由對稱性可得） 的面積 綜上所述， 的面積為 。 37.【2012高考陜西文20】（本小題滿分13分） 已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。 （1）求橢圓的方程； （2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程。 【解析】（Ⅰ）由已知可設橢圓的方程為， 其離心率為，故，則． 故橢圓的方程為． （Ⅱ）解法一：兩點的坐標分別為， 由及（Ⅰ）知，三點共線且點不在軸上， 因此可設直線的方程為． 將代入中，得，所以， 將代入中，得，所以， 又由，得，即． 解得，故直線的方程為或． 解法二： 兩點的坐標分別為， 由及（Ⅰ）知，三點共線且點不在軸上， 因此可設直線的方程為． 將代入中，得，所以， 又由，得，， 將代入中，得，即， 解得，故直線的方程為或