《理論力學》詳解答案.docx
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第零章 數學準備一 泰勒展開式1 二項式的展開 2 一般函數的展開 特別:時, 3 二元函數的展開(x=y=0處) 評注:以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉化。在理論力問題的簡單處理中,一般只需近似到三階以內。二 常微分方程1 一階非齊次常微分方程: 通解:注:積分時不帶任意常數,可為常數。2 一個特殊二階微分方程 通解: 注:為由初始條件決定的常量3 二階非齊次常微分方程 通解:;為對應齊次方程的特解,為非齊次方程的一個特解。 非齊次方程的一個特解(1) 對應齊次方程設得特征方程。解出特解為,。*若則,;*若則,; *若則,;(2) 若為二次多項式*時,可設*時,可設注:以上,A,B,C,D均為常數,由初始條件決定。三 矢量 1 矢量的標積 注:常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢積 四 矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。 令*D=0時,方程組有非零解*D0時,方程只有零解第一章 牛頓力學的基本定律萬丈高樓從地起。整個力學大廈的地基將在此筑起,三百年的人類最高科學智慧結晶將飄來他的古樸與幽香。此時矢量言語將盡顯英雄本色,微積分更是風光占盡?!疽c分析與總結】 1 質點運動的描述(1) 直線坐標系 (2) 平面極坐標系(3) 自然坐標系 (4) 柱坐標系 析 上述矢量順序分別為:矢量微分:(其它各矢量微分與此方法相同)微分時一定要注意矢量順序2 牛頓定律 慣性定律的矢量表述 (1) 直角坐標系中(2) 極挫標系中(3) 自然坐標系中 3 質點運動的基本定理 幾個量的定義:動量 角動量 沖量 力矩 沖量矩 動能 (1) 動量定理 方向上動量守恒:(2) 動量矩定理 (3) 動能定理 4機戒能守恒定理 T+V=E 析勢函數V: 穩(wěn)定平衡下的勢函數:; 此時勢能處極小處 且能量滿足【解題演示】 1 細桿OL繞固定點O以勻角速率轉動,并推動小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動,O點與鋼絲間的垂直距離為d,如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解:依幾何關系知: 又因為: 故:2 橢圓規(guī)尺AB的兩端點分別沿相互垂直的直線O與Oy滑動,已知B端以勻速c運動,如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點的軌道方程、速度及加速度的大小與。解:依題知: 且: 得:又因M點位置: 故有:代入(*)式得:即: 3 一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動,如圖所示。求圓盤邊上任意一點M的速度和加速度(以O、M點的連線與鉛直線間的夾角表示);并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。 解:設O點坐標為()。則M點坐標為() 故: 4 一半徑為r的圓盤以勻角深度在一半經為R的固定圓形槽內作無滑動地滾動,如圖所示,求圓盤邊上M點的深度和加速度(用參量,表示)。解:依題知:且O點處:則: 5 已知某質點的運動規(guī)律為:y=bt,a和b都是非零常數。(1)寫處質點軌道的極坐標方程;(2)用極坐標表示出質點的速度和加速度。解:得: 6 已知一質點運動時,經向和橫向的速度分量分別是r和,這里和是常數。求出質點的加速度矢量. 解:由題知: 且: 故: 7 質點作平面運動,其速率保持為常量,證明質點的速度矢量與加速度矢量正交。證明:設速度為。則:由于與為正交矢量。即得證。 8一質點沿心臟線以恒定速率v運動,求出質點的速度和加速度.解:設 且有: 解得: 得:則: 9已知質點按 運動,分別求出質點加速度矢量的切向和法向分量,經向分量和橫向分量。解:(1)極坐標系下:由得:且設:則:得: 則:徑向與橫向的分量分別為,。10質點以恒定速率沿一旋輪線運動,旋輪線方程為。證明質點在方向做等加速運動。解:依題意:得:則: 11 一質點沿著拋物線運動,如圖所示,其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質點從正焦弦的一端點以速率出發(fā),求質點到達正焦弦的另一端點時的速率。解:建立自然坐標系有:且: 積分得:(代入)又因為:在點處斜率: 在點處斜率: 故: 即: 12 豎直上拋一小球,設空氣阻力恒定。證明小球上升的時間比下落返回至原地點的時間短。解:設空氣阻力為,且小球初速為,質量為沒,則有:上升時間:上升高度:下落時間:得: 即得證。 13 質量為的質點自離地面高度處下落。若空氣阻力與質點速度的平方成正比,比例常數為C,試討論此質點下落過程中的運動狀況。解:設加速度為,速率為,則:得:積分并代入時有: 知:質點一直在做向下的變加速運動,且加速度越來越小。 14 將一質量為的質點以初速度與水平線成角拋出,此質點受到的空氣阻力是其速度的倍,這里是常數。試求當質點的速度與水平線之間的夾角又為角度時所需時間。解:依牛頓第二運動定律有: 積分并代入初始條件:時:解得:當再次夾角為時:可解出: 15 一質量為的質點用一長度為的不可伸長的輕繩懸掛于一小環(huán)上,小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上,其質量為。開始時,小環(huán)靜止質點下垂,處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質點以大小為的初速度,證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時,小環(huán)在鋼絲上仍不滑動,則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數至少是,此時繩中的張力為。解:依 得:則:又因為:得:故: 即得證。 16 滑輪上繞有輕繩,繩端與一彈簧的一個端點聯(lián)結,彈簧的另一端掛一質量為的質點,如圖所示。當滑輪以勻角速率轉動時,質點以勻速率下降。若滑輪突然停止轉動,試求彈簧的最大伸長及彈簧中的最大張力。已知彈簧作用力為W時的靜止伸長。解:(注:此題中)設最大伸長為有:依能量守恒: 解得: 則: 17 兩個相同的輕質彈簧,勁度系數為,自然長度是,在它們中間豎直地串接一質量為的質點。彈簧的另外兩端點分別固定于A點和B點,如圖所示,A、B間的高度差是。設開始時質點靜止于AB的中點,求質點的運動規(guī)律。17解:質點運動時勢能在平衡時:得:且運動時受力滿足:代入初始條件: 可解得: 18 兩個質量都是的質點A和質點B用一自然長度為的輕質彈簧相連,置于一光滑水平桌面上,如圖所示。彈簧的勁度系數為。兩質點處于靜止狀態(tài),彈簧呈自然長度;而后,質點B沿AB方向受到一大小為的恒力作用。分別求處質點A和質點B的運動規(guī)律。18解:依受力分析知 +得: 積分得: 代入得:積分得:同理: 積分得:式中。另解:先將AB及彈簧看成一系統(tǒng),其質心做一受恒力的作用,再將A與B 理解成繞質心做周期性振動,可得A的運動規(guī)律為質心運動與A振動的合運動,B亦然。計算亦很簡單! 19 一質點從一光滑圓柱表面最高處,自靜止下滑,如圖所示。問質點滑至何處將脫離圓柱表面?解:將脫離時滑過相應角度為,此時滿足:可解得: 20 一鋼絲彎成尖端朝上的擺線:,上面穿有一質量為的小環(huán)。今若小環(huán)在鋼絲的最低處獲得大小為的初速度,開始沿擺線滑動。求出當小環(huán)的速度與水平線成角度時,小環(huán)的速率。已知小環(huán)與鋼絲的摩擦系數為。解:小環(huán)運動時,依受力分析知: 其對鋼絲的正壓力為 又因為:得: 代入:得:則損失能量:再依能量守恒: 得: (其中)現進行積分: 解出:代入得:代入得: 再將C代入得:故: 21 如圖所示,用細線將一質量為的圓環(huán)懸掛起來,環(huán)上套有兩個質量都是的小環(huán),它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動。若兩小環(huán)同時從大環(huán)頂部由靜止向兩邊滑動,證明如果,大環(huán)將升起;此時角是多少?解:小環(huán)因重力對的壓力。而小環(huán)運動所需向心力必由對的彈力F與重力提供,滿足:(法向)又依能量守恒知:且依兩環(huán)的對稱性知,大環(huán)受合力向上,且大小為: 當大環(huán)升起須滿足:故得方程: 故:當滿足時,升起時角度滿足解出: 則剛升起時:第二章 有心運動和兩體問題斗轉星移,粒子變遷,乃至整個宇宙的各種運動均受著“上帝”的安排-力的大小與距離平方成反比定律。在此解析幾何的空間曲線將一展風情?!疽c分析與總結】1有心力和有心運動 (1) 有心運動的三個特征:平面運動 動量守恒() 機械能守恒()(2) 運動微分方程 可導出: 析是一個恒量,解題時應充分利用。恰當運用會使你絕處逢生,可謂是柳暗花明又一村的大門。2 距離平方反比引力作用下的質點運動可由比內公式導出: (為由初始條件決定的常量)近日點: 遠日點:且 可得半長軸長: 析用來求,進而得出運動規(guī)律,即便是開普勒三定律亦是須臾即得。4 距離平方反比斥力作用下的質點運動(粒子散射)的雙曲線模型 ()可導出: 散射角: 盧瑟福散射公式:(式中散射截面:,立體角:將散射角公式兩側微分并代入即得散射公式)4 質點運動軌道的討論(1) 圓軌道的穩(wěn)定條件 (等效勢能:)再利用可導出: ()(2) 軌道的軌跡曲線 析通過與0的關系,即可判斷天體運動的軌跡曲線【解題演示】 1 質點在有心力的作用下運動,質點速度的大小為,這里是常數。已知時,速度與矢量間夾角為。求質點的軌道方程。解: 且又因為 故上式轉化成 積分并代入初始條件得 即: 2 木星軌道的半長軸長度是5.2天文單位(1個天文單位為 )。求出(1)木星繞太陽運動的周期;(2)木星的平均軌道速率。已知地球的平均軌道速率是。解:(1)依開普勒第三定律: 木星與地球的周期聯(lián)系為:(注:為1.0天文單位) (2)則: 順便證明開普勒第二第三定律:(1) 單位時間內掃過的面積 (2) 周期: 3 月球的質量和半徑分別是和,其中 分別是地球的質量和半徑。試求(1)月球表面處的重力加速度;(2)若在月球表面發(fā)射火箭,使之脫離月球,則火箭的發(fā)射速度至少是多少?解:(1)(2)脫離月球初動能:得: 4 如果質點受到的有心力為,式中及都是常數,并且。試證其軌道方程可寫為:,式中,為積分常數,。4證明:依比內方程得:積分得: 式中: ,A為積分常數 5 一質點受遵循萬有引力定律的有心力作用,作橢圓運動.和 是過橢圓中心一直徑的兩端,分別是質點在和處的速率.證明.(為短半軸處的速率)證明:即: 6 設地球的半徑為,質量是.證明人造衛(wèi)星在地球引力場中以橢圓軌道運動的速率由下試表示:.其中, 是質點能脫離地球的逃逸速度,即第二宇宙速度;是衛(wèi)星軌道半長軸的長度.證明:在半徑為處:得: ()7太陽繞銀河系中心運動,其軌道運動速度約為,離銀河系中心的距離為30 000光年.以太陽質量為單位,估計一下銀河系的總質量.解:設銀河系的質量幾乎全部集中在核心上。依代入 得: 8 一質點質量為,在有心引力作用下運動.試問質點的能量E及角動量的大小L分別為何值時,質點將按軌道 運動?這里 均為已知常數.解:(1)依比內公式有: 得:積分得: 即:由于時,軌道在處開口,是拋物線型,故 。(2) 得:又因為 得:故須滿足: 得:此時: 9 一質量為的質點受兩體諧振勢的有心力作用.初始時質點沿半徑為的圓軌道運動.(1)求出質點圓軌道運動的速度.(2)如果質點在軌道平面內受到一與速度成角的大小為 的沖量作用,求質點在此后的運動中離力心的最大和最小距離.(3)當和時,從物理上對你所得的結果分別作出解釋.解:(1) 因為:故有: 積分得:(3) 由質點和諧振動系統(tǒng)組成的系統(tǒng)能量守恒,當受到沖量I之后 此時:當運動到極點處但有: 整理得方程: 可解出: 得: (3) 時:此時:沖量的作用使速度在同方向變?yōu)?倍,由于此處,故此處為一極點: 。到達另一極點處,恢復到切向,且得:時:同理,沖量作用使(后瞬間),故此處為一極點到電達一極點時,恢復切向,且:得:10一彗星在近日點處離太陽的距離是地球軌道半徑的一半(假設地球作圓軌道運動),在該處彗星的速率是地球軌道速率的二倍。試從守恒定理出發(fā)。(1)求出慧星軌道與地球軌道相交處慧星的速率(2)問此慧星的軌道是橢圓,拋物線還是又曲線?為什么?(3)它能脫離太陽系嗎?解:(1)設地球繞日軌道半徑為R,速率為,此慧星質量為,速率為,有:得:(2)此慧星的能量 即:其軌道是拋物線(3)在拋物線型軌道中:即能脫離太陽系。11由于核電荷部分地被原子中的電子所屏蔽,屏蔽庫侖勢為,其中。Z為原子序數。試討論電子在上述勢場中作圓軌道運動時的穩(wěn)定條件。解:電子運動時的等效勢能 穩(wěn)定條件:得: 得:解出 (注: 無意義)12地球軌道的偏心率。今若沿其半短軸將橢圓軌道分割為兩半,證明地還需在這兩個半軌道運行的時間分別為:,計算一下它們相差多少天?證明:(幾何法,開普勒第二定律),分割點到日心連線與弧線圍成面積 相差 13質量為的質點在有心斥力場中運動,式中是力心到質點的距離。為常數。當質點離力心很遠時,質點的速度為,瞄準距離是。試求質點與力心間可能達到的最近距離d。解:依能量與動量守恒可得: 可解得:14試求出上題中質點受力心散射后的散射角,并求出微分散射截面。解:依題知,散射舅跡為雙曲線,從(8)題知: 且。是取距離最近時力心與雙曲線焦點連線。 又知:時即: 得:又由于散射截面,且由上式可得:則: 得:即 微分散射截面: 15在光滑水平桌面上,兩個質量分別為的質點由一不可伸長的繩聯(lián)結,繩穿過固定在水平桌面上的光滑小環(huán),如圖所示。若與小環(huán)相距時獲得垂直于繩的初速度,試寫出質點的軌道微分方程,并解出它的運動軌道方程。解:由于小環(huán)光滑,則: 故比內方程可寫為: 得: 即: 又因為時,得:( 注:此處 )16質量為質點A,軒于光滑的水平桌面上運動,如圖所示。此質點系有一根輕繩,繩子穿過桌面O處的光滑小孔下垂,并掛有一同樣質量的質點B。若質點A在桌面上離小孔距離為處,沿垂直于繩子方向以初速率射出,證明質點在此后運動離O點距離必在d到3d之間。16解:設繩對的拉力為,距孔為,有 可得 代入:得: (注:)積分得:代入初始條件 得:故: 可解出 , (無意義,舍) 即得證。此題用拉氏方法更簡單。 第三章 非慣性參考系 不識廬山真面目,只緣身在此山中。地球的多姿多彩,宇宙的繁榮,也許在這里可以略見一斑。春光無限,請君且放千里目,別忘了矢量語言在此將大放益彩?!疽c分析與總結】1 相對運動 析僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。(1) 平動非慣性系 () 即:(2) 旋轉非慣性系 ()2 地球自轉的效應(以地心為參考點)寫成分量形式為:析坐標系選取物質在地面上一定點O為坐標原點,x軸指向南方,y軸指向東方,鉛直方向為 z軸方向。 為旋轉非慣性系 在 條件下忽略 與 所得。正因如此,地球上的物體運動均受著地球自轉而帶來的科氏力 的作用,也正是它導致了氣旋,反氣旋,熱帶風暴,信風,河岸右側沖刷嚴重,自由落體,傅科擺等多姿多彩的自然現象。注自由落體偏東的推導時,取 =0,且須應用級數展開,對小量作近似【解題演示】1 一船蓬高4米,在雨中航行時,它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m的甲板;但當停航時,甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m 處,如果雨點的速率是8米每秒,求船航行時的速率?解:取湖面為慣性坐標系,如右圖所示建立坐標系 依幾何關系,設雨點相對湖面速度為 船相對雨點的速度為 則:船相對湖面的航行速度則:u=82. 河的寬度為,水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的流速為0,河中心處水的流速為。河中一小船內的人,以相對于水流恒定的速率,垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行軌道和抵達對巖的地點。解:如右圖所示,建立xoy慣性系,且依題意可知人的位置(x,y)滿足: 由得:y=ut分別代入,并聯(lián)立得: 到達對岸時,代入得: 3. 一圓盤以勻角速度繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉動。一質點M沿圓盤上的弦,以恒定的相對速度運動,如圖所示。已知該弦離盤心的距離為,求在以地面為參考系時,質點M的速度和加速度(表示成質點M離弦中點的距離的函數).解:設的速度,加速度分別為和,依題意知: 4一飛機在赤道上空以速率水平飛行??紤]到地球的自轉效應,分別在下列情形下求出飛機相對于慣性坐標系(不隨地球轉動的坐標系)的速率:(1)向北飛行;(2)向西飛行;(3)向東飛行。已知地球半徑為.解:以飛機為坐標原點,以向東為方向,向南為方向,豎直向上為方向,相對于地心(設為慣性系)的速度為:則:三種情況相對于地心的速度分別為: (1) 則: (2) 則: (3) 則:5一楔子,頂角為,以勻加速度沿水平方向加速度運動。質量為的質點沿楔子的光滑斜面滑下,如圖所示。求質點相對于楔子的加速度及質點對楔子的壓力. 解:依 得: 又因為在平動非慣性中:. 得: 則楔子對斜面的壓力 6一纜車,以大小為,與地平線成角的勻加速度上升。纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解:以纜車為坐標原點建立坐標系,如右圖則,物體滿足: ,則:知:又因為: 則:即:向后方偏離7一單擺擺長為,懸掛點在水平線上作簡諧振動:。這里是懸掛點離開水平線上的固定點O的距離,如圖所示。開始時擺錘沿鉛直下垂,相對于的速度為零。證明單擺此后的微小振動規(guī)律為 解:以擺錘為原點建立坐標系,如右圖,則:C相對于點運動狀況: (利用:)再利用微振動,并令有: 可解得: 并代入初始條件得:, 故:積分并代入,得: 8一豎直放置的鋼絲圓圈,半徑為,其上套有一質量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運動,求小環(huán)相對于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對小環(huán)的作用力大小。已知初始時刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角,小環(huán)的相對速率.解:設與沿直線向方向的夾角為。如右圖所示,以小環(huán)質心為參考原點建立坐標系,則在方向上:即 得 積分得:在方向保持力平衡,則支持力 9一平放于光滑水平桌面上的圓盤,以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉動。有一質量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對速率向圓盤的邊緣走動。試分別利用(1)地面慣性系;(2)圓盤非慣性系,討論圓盤對人的作用力解:(1)以地面慣性參考系討論,設人走的半徑為,切向為 則有: (2)以圓盤非慣性討論: 則:10一半徑為豎直放置的光滑圓環(huán),繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角速度轉動。在此圓環(huán)上套有一質量為的小環(huán),自處相對于圓環(huán)無初帶地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的位置為何值時,它的滑動將開始反向?這是是圓環(huán)的圓心與小環(huán)的連線跟轉軸之間的夾角。解:同(8)題: 在方向上有:得:積分并代入 得:當開始反向時,, 代入上式解得: 11一內壁光滑的管子,在水平面內繞通過其端點O的鉛直軸,以恒定的角速度轉動。管內有一質量為的質點,用一自然長度為,勁度系數為的彈簧和管子的端點O相連,設初始時質點到O的距離為且。求質點在管中的運動方程及它對管壁的壓力。解:以O為原點,如右圖建立直角坐標系,則有: 得: 又因為:故:在方向有: (其中:)解方程并代入得: 再由,式得: 故:12質量為的小環(huán),套在半徑為的光滑圓圈上,若圓圈在水平面內以勻角速度繞其圓周上的一點轉動。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運動微分方程(以小環(huán)相對于圓圈繞圓心轉過的角度為參量寫出),設圓圈對小環(huán)的作用力大小以表示,并可略去小環(huán)重力。解:如右圖所示建立坐標系,則: 則: 又因為:,在方向投影: 得切線方向:在方向投影:得在法線方向:13一質量為的質點,位于光滑的水平平臺上,此平臺以勻角速度繞通過平臺上一定點O的鉛直軸轉動。若質點受到O點的吸引力作用,這里是質點相對于O點的徑矢。試證明:質點在任何起始條件下,將繞O點以角速度作圓周軌道運動。證明:(注:此題與12題過程與條件基本相同)如右圖建立坐標系: 則: 因為: , 且:得: , 即: 將繞以角速度作圓周軌道運動。14一拋物線形金屬絲豎直放置,頂點向下,以勻角速率繞豎直軸轉動。一質量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動時的運動微分方程。已知金屬絲構成的拋物線方程為,這里為常數。解:如右圖建立直解坐標系,則: 則: 其中:, , 且則: 代入得: 15在北緯處,一質點以初速率豎直上拋,到達高度為時又落回地面??紤]地球的自轉效應,不計空氣的阻力,求質點落地位置與上拋點之間的距離;是偏東還是偏西?為什么?解:依地球上質點運動方程: 初始條件為對式進行第一次積分代入得:積分得:代入初始條件得: 落地時:代入上式得: () 故偏西。16在北緯的地方,以仰角向東方發(fā)射一炮彈,炮彈的出口速率為,考慮地球的自轉效應,證明炮彈地點的橫向偏離為 。解:(此題與上題解題基本相同)初始條件變?yōu)椋簩M行積分代入得:積分并代入初始條件得: 代入得:代入 得:當落地時: 并代入上式得:即橫向偏離: 第四章 質點組動力學以彼之道,還施彼身。單身獨影自是無風不起浪,無論是親朋相會,還是冤家聚頭,定有故事流傳.代數方程在此將笑傲江湖. 【要點分析與總結】1 質點組(1) 質心: 對于連續(xù)體: (2) 內力與外力: 且內力滿足: 2 質點組運動的動量、角動量、動能(1) 動量 (2) 角動量 (3) 動能 3 質點組運動的基本定理(1) 動量定理:質心定理:(2) 角動量定理: (3) 動能定理:對質心:4 開放的質點組: 或此章中許多等式的推導多用到分部積分與等量代換.在本章的習題解答中多用到動量定理,角動量定理與機械能守恒定理的聯(lián)立方程組,有時質心定理的橫空出世會救你于水深火熱之中.【解題演示】1在一半徑為的圓圈上截取一段長為的圓弧,求出這段圓弧的質心位置。解:如右圖所示建立坐標系 。則:設 有:則質心位置為,距頂點的位置為2求出半徑為的勻質半球的質心位置。解:如右圖所示,取一截面元與底面相距,則其質量: 則:質心與底面距離 3兩只質量均為的冰船,靜止地放在光滑的冰面上。一質量為的人自第一只船跳入第二只船,并立即自第二只船跳回第一只船。設所有的運動都在一條直線上。求兩船最后的速度之比。解:人在兩船運動為人與船組成系統(tǒng)的內部作用,故此系統(tǒng)動量守恒,有: 得:4一船以速度前進,船上某人以相對速度向船頭拋出一質量為的鐵球。已知船和人的總質量是。求人拋擲鐵所作的功。解:同上題。動量守恒得: 得:系統(tǒng)前后能量變化: 即:人做功5一質量為的粒子爆炸成質量相同的三小塊。其中兩塊的飛行方向相互垂直。它們的速率分別是和。求出第三塊的速度和動量的大小。解:設三塊的速度分別為 且:則依動量守恒 :得:則:6重量為的大楔子放在光滑的水平面上,在它的斜面上放置一與它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平邊長分別為和。小楔子自大楔子頂部靜止下滑,求小楔子完全下滑到水平面時,大小楔子完全下滑到水平面時,大小楔子分別移動了多少距離?解:依圖設大小楔子水平位移分別為 且依水平方向動量守恒: 對其積分得:且有代入上式得:7一炮彈以仰角發(fā)射,速率為,當炮彈達到最高點時,爆炸成質量分別為和的兩塊彈片。已知火藥爆炸的能量是。爆炸后的瞬時,兩彈片仍沿原方向飛行。求兩彈片落地時相隔的距離。解:炮彈從空中降下的時間,在最高點處沿飛行方向動量守恒。 設炸后的速率分別為。則有: 可解得: 則:8重量為的人,手里拿著一個重量為的物體,以與地平線成角度的速度向前跳出。當他達到最高點時,將手中的物體以速率向后拋去。問拋出物體后,人向前跳的距離增加多少?解:(同理)設拋去后,人的速率變?yōu)?,由于最高處水平方向動量守恒得:解得:故人向前增加的距離:9質量為的物體沿一直角劈的光滑斜面下滑,直角劈的質量為傾角為,置于光滑水平面上。求(1)物體水平方向的加速度;(2)劈的加速度;(3)劈對物體的反作用力和水平面對劈的反作用力。解:如右圖所示,建立各方向矢量,設劈與物體間的與反作用力為,則:則物體相對于尖劈的水平加速度:在方向上,物體受與的作用:依幾何關系:解得:代入式可得:水平面對劈的反作用力 10質量為,半徑為的光滑半球,其底面放在光滑的水平面上。一質量為的質點沿此半球面下滑。設質點跟球心的連線與鉛直軸之間的夾角為。已知初始時系統(tǒng)是靜止的,求當時,的值。解:如右圖所示,質點相對于半球的速度滿足: 在水平方向動量守恒,聯(lián)立能量守恒得 可解得:則:11質量為的小珠A能在一水平光滑的滑軌上滑動。另有一質量也是的質點B用無彈性的輕繩與A聯(lián)結,質點B可以鉛垂平面內擺動。已知繩長為。初始時系統(tǒng)靜止,繩與鉛直線間的夾角為。證明:當夾角時,有解:證明,如右圖所示。知:水平方向動量守恒:得: 又依能量守恒:代入得:得:12在光滑水平桌面上,有兩個質量都是的質點,用長為的不可伸長的輕繩聯(lián)結。今在其中一個質點上作用與繩垂直的沖量求證此后這兩個質點分別作圓滾線運動,且它們的能量之比為,其中為質點運動時間。證明:如右圖。由于水平光滑,依質心定理與解動量守恒得: 得: 分析可知:則:即兩質點間的能量之比為。13質量為的小環(huán),穿在質量為的光滑圓圈上,此體系靜止地平放在光滑的水平桌面上。今若突然使小環(huán)沿圓圈的切線方向有一速度。試證明圓圈將不發(fā)生轉動,而圓心則繞體系的持贈作等速圓周運動。證明:設圓圈半徑為,以質心C為坐標原點建立坐標系,如右圖所示,且依質心定理有。由于沖量作用在圓圈切線方向,故:。即質心不動。當繞轉過時,有:并代入得:得:即圓圈中心C作圓周運動。由于小環(huán)動時不受切向力作用,故:而: 得:即得:為勻速圓周運動,而依動量守恒知圓圈無轉動。14 一長為的勻質鏈條,縣掛于釘在墻上的光滑釘子上。開始時,掛在釘子兩邊的鏈條長度相同,處在平衡狀態(tài),后因微小擾動,鏈條自一邊滑下。耱在鏈條完全脫離釘子的時刻,鏈條的速度大小。解:依機械能守恒可得: ,故:15長為的勻質鏈條,伸直地平放在光滑水平桌面上,鏈條與桌面的邊緣垂直。初始時,鏈條的一半從桌面下垂,鏈條的一半從桌面下垂,但處在靜止狀態(tài)。求此鏈條的的末端滑到桌子邊緣時,鏈條的速度大小。解:同上題:,得: 16質量為面積為的圓盤,盤心受一與平面垂直的恒力的作用,同時有一股體密度為的塵土以恒定的速度迎面而來,與盤面相遇的塵土皆粘于盤面上。已知圓盤的初速度為零。求時刻圓盤的速度及圓盤移動過的距離。解:取方向為,即:,則依變質量動力方程: 得:而:求導得:將代入得:可化為:積分并代入初始條件得:再積分得(并代入時,):代入式可得: 第五章 剛體力學解題演示如上圖所示.第六章 分析力學滾滾長江東逝水,浪花淘盡英雄。達朗貝爾,拉格朗日,哈密頓等許多前賢相聚于此“力學論劍”,其“沖擊波”使非線性問題也不攻自破。長江后浪推前浪,你也許在此可以更加“得意忘形。微分方程將叱咤風云。要點分析與總結1虛功原理:(平衡時)理想條件下,力學系的平衡條件是各質 點上的主動力所作的虛功之和為零: 用廣義坐標來表述: 2達朗貝爾原理(動力學下的虛功原理): 析,均是在時間未變化()時所設想的量,而廣義坐標可以是角度,長度或其它的獨立的坐標變量。3拉格朗日方程 在保守力下,取拉氏數 方程為: 若拉氏數中不顯含廣義坐標,則:即 循環(huán)積分: 4微振動非線性系統(tǒng)在小角度近似下,對拉氏方程的應用5哈密頓函數與正則方程(1) 哈密頓函數 式中為廣義坐標動量(2) 正則方程 若哈氏函數中不顯含廣義坐標,則:即:循環(huán)積分 在穩(wěn)定條件下(H中不顯含),則有能量積分:6泊松括號 7哈密頓原理與正則變換(1)哈密頓原理保守力系下:定義:為主函數(3) 正則變換通過某種變數的變換,找到新的函數,使正則方程的形式不變(相當于坐標變換)。新的正則變量: 正則變換的條件: 依上亦可得: 為母函數,當 ,不顯含時,以上條件等于:析:正則變換妙在不解方程而使問題出解?!暗靡馔巍钡綐O點了。解題演示1 一長為質量為的勻質棒,斜靠在固定的半球形碗的邊緣,一端置于碗內,如圖。已知碗是光滑的,半徑為;棒在碗內的長度為 。用虛功原理證明棒的全長為。解:如右圖所示,取定。依幾何關系知:依余弦定理:知:桿的勢能:因靜平衡,應用虛功原理得:得:兩邊平方并代入可解得:2 用繩子等距離地在定點O處懸掛兩個相同的勻質球,兩球之上另放置一相同的球體,如圖。已知分別懸掛兩球的繩長都是。用虛功原理求出角與角之間的關系。 解:依受力分析知且: 則:依虛功原理達到平衡時有: 可得: 3 用輕質橡皮圈捆扎三個置于光滑水平桌面上的相同球體,捆扎的高度與還需心的高度相同。將第四個同樣的球體置于三球之上。由虛功原理求出橡皮圈中的張力。已知每個球體的重量為。解:如右圖所示。取三個桌面上球的球心所在面,及四球心立體結構可分析得:皮周長:依虛功原理:則依: 代入: 得:4 一彈性繩圈,它的自然長度為,彈性系數為,單位長度質量(線密度)為。將此彈性圈套在一半徑為的光滑球面上,彈性圈因自重而下滑。用虛功原理法語出平衡時彈性繩圈對球心所張的角度為應滿足的方程。解:易知:繩伸長量 以O為參照點,高度為: 化簡得:5 一半徑為的半球形碗內裝有兩個質量分別為和的球體,它們的半徑同為()。用虛功原理求出這兩個球體在碗中平衡時它們的連心線與水平線間的夾角解:如右圖所示,以o為參照點,取, 與水平線角為。則有: 則: 代入 得: 6 一輕桿長為,一端光滑鉸鏈于固定點O,另一端點及中點分別焊接有質量為和的小球。桿可在鉛直平面內繞固定點擺動。寫出此力學 系統(tǒng)的拉格朗日函數,并求出其作微小擺動時的周期。解:以O為參照點,取桿與豎直方向夾角為。則有: 拉氏函數: 解拉氏方程:微振動,取近似, 得: 積分: (A,B為積分常數)則:7 一半徑為質量為的圓柱形轱轆,其軸線沿水平方向。轱轆上繞有長為的輕繩,繩的自由端系一質量為的重物。初始時繩子完全繞在轱轆上,體系靜止。爾后重物下落帶動轱轆轉動。寫出此力學系列化的拉格朗日函數,并求出繩子完全釋放時轱轆轉動角速度的大小。解:如右圖,取為轉過的角度,為下降的距離。有:。取O為參照點: 則: 得: 積分得:當完全釋放()時:8 上題中,如果繩子具有彈性,彈性勢能為,為繩子的伸長證明重物的運動為維持恒定的加速運動上附加一角頻率為的振動。其中。求出此種振動的振幅。設初始時繩子完全繞在轱轆上,體系靜止,爾后釋放解:參數同上題,則可得:;則: 可得:即: 積分得: 式中 故: 即得恒定加速度值:振動角頻率: 振幅:9 力學系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤,半徑為質量為。懸掛的重物質量分別為和,且。初始時系統(tǒng)靜止(1)導出此力學系列化的運動微分方程;(2)分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離之間的關系。解:如右圖。依幾何關系知:得:取作廣義坐標有: 可得: 可得:即得系統(tǒng)運動的微分方程:再對其進行第一積分:可積得:10 一質量為,半徑為的小圓住體,置于一半徑為R的大圓柱面的內側作純滾動。寫出小圓柱體的拉格朗日函數,并求出在最低點附近小圓柱體作微小振動時的周期解:以O為參照點: 則: 得:即:11 一質量為,半徑為的小圓柱體,放在半徑為的另一大圓柱體上,大圓柱體則置于粗糙的水平面上。兩柱體的軸相互平等,質心在同一豎直平面內,初始時力學系統(tǒng)靜止。若以初始時大圓柱體的質心為固定坐標系的坐標原點,證明此后的任意時刻小圓柱體的質心坐標為 解:由于純滾動則:得: 有: 則:得: 所以: 點評:其實此類題用能量變分法有時更簡單(對或關于變量的變分為零)。此題中:。12 小球1和小球2的質量分別為和,用繩子相連,繩子穿過光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上運動,小球2則垂直懸掛在桌面下。寫出此力學系的拉格朗日函數和所有的第一積分。設繩長為。解:設到孔的距離為。以孔為參照點有: (此式中用到) (1)L中不含積分,循環(huán)積分:(2)能量表達式中不含,能量積分: 13 長為,質量為的勻質棒,兩端分別用長都為的輕繩垂直懸掛。今若突然將其中一根繩子剪斷,用拉格朗格日方程求出棒下落的運動微分方程。解:參量及坐標如右圖所示。則: 故: 得拉氏方程:微分方程為:14 一半徑為,質量為的圓環(huán),用三根長度都為的無彈性輕繩在等弧點處水平懸掛,成一扭擺,如圖所示。求此扭擺繞中心鉛直軸扭轉的微振動周期T。解:易分析得: (用到) 得: 15 如圖所示的耦合擺,若兩擺錘的質量不同,分別為和。求此耦合擺的本征頻率。初始條件為時,僅第一個擺有微小偏移,求第二個擺可能達到的最大擺幅。當第二個擺的擺動最大時,第一個擺的擺幅是否為零?解: 經泰勒展開:關于與的拉氏方程為:令 代入得: ,有解的條件:可解出:且:。則與通解為: 式中代入時,可解出: 且令:則:第二個擺的最大擺幅: 此時:則有:16 擺長為,擺捶質量為的兩個相同單擺串接成為一個雙擺,如圖。求此雙擺在鉛直平面內作微振動時的各個本征頻率。解:易知: (,如右圖)則: 可得拉氏方程:設:可得:有非零解條件:易得:所有本征頻率為: 17 兩質量為和另一個質量為的球體用兩根勁度系數都為的輕質彈簧沿一直線串接,如圖.求出體系的微振動本征頻率解:取彈簧所在方向建立坐標系,且取參量如右圖。有: 依振動特點,取簡正坐標:代入上式得: 得拉氏方程: 設得: 方程有非零解的條件:可解得: 18 一質量為的質點在一光滑錐面的內壁上運動。錐體的半頂角為,錐體口朝上。以質點離錐體頂點的距離及圍繞錐體軸線轉動的角度為廣義坐標,寫出質點的哈密頓函數;當質點繞錐體軸轉動的角速度為多大時,可以繞軸作穩(wěn)定的圓周運動?解:此系統(tǒng)為保守系,參照如右圖所示。則: 定義廣義動量:得: 則: 得: 聯(lián): 當穩(wěn)定時:,此時:代入:可解得: 19 一質量為的質點在三維勢場中運動。以球坐標,和為質點的廣義坐標,寫出此質點的哈密頓函數。哪些廣義坐標為循環(huán)坐標?并寫出相應的循環(huán)積分。解:如右圖取地球中心為坐標原點,取參數如圖.則: 則:哈密頓函數為:廣義動量坐標:得: 代入H得:上式中不含,故為循環(huán)坐標故: 20 寫出對稱陀螺絲繞其頂點O作定點運動的哈密頓量。設陀螺關于對稱軸及橫軸的轉動慣量分別為I,.質心離項點的距離為.解:依題參數如右圖則有:則: 可得: 則:21 力學量A,B和C都是體系正則變量的函數,證明它們的泊松括號存在如下關系: ; 解:證明:(1) (2) (3) 22 證明,任何正則變量的函數,存在如下關系: 證明:(1) 得: (2) 得:23 證明一質點關于坐標原點的位矢,動量和角動量的直角坐標分量存在如下關系: ; ; ; ; ; : 證明:可得:(1) (2) (3) 24 試問變換是正則變換嗎? 解:因為:則:即:是正則變換25 取母函數,求出正則變換關系。 解: 26 試證變換為一正則變換。 證明: 27 證明,變換關系為一正則變換。 證明:依,可得: 28 質量為m的質點豎直上拋,寫出質點運動的哈密頓函數。利用母函數作正則變換,求解此質點的運動。求解此質點的運動。其中為質點上拋的距離,為“新廣義坐標”;在初始時刻。解: 則: 得: 定義新的哈氏函數得: 則有: 積分得: (A,B為常數) 代入原哈氏函數得:代入時。 即可得:- 配套講稿:
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